數(shù)理方程與特殊函數(shù)：3熱傳導(dǎo) 拉普拉斯方程化簡

1、三維熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)問題三類邊界條件Laplace方程與Laplace算子微分方程(化簡)分類方法 數(shù)理方程3高斯公式(曲面積分與三重積分的聯(lián)系)取 P=ux , Q= uy , R = uz , 則 Px=uxx , Qy= uyy , Rz = uzz 其中, k 是導(dǎo)熱系數(shù), u(x, y, z, t ) 是導(dǎo)熱體中的溫度付里葉熱傳導(dǎo)定律:在dt時段內(nèi),通過面積元ds流入體積元的熱量 dQ 與沿面積元外法線方向的溫度變化率 成正比, 也與 ds 和dt成正比通過曲面進(jìn)入導(dǎo)熱體的總熱量:其中:通過曲面進(jìn)入導(dǎo)熱體的總熱量:溫度升高所需熱量:Q1 = Q2記 a2 = k/(c) 一維熱傳導(dǎo)方

2、程: ut = a2uxx二維熱傳導(dǎo)方程: ut = a2uxx + uyy三維熱傳導(dǎo)方程: ut = a2uxx + uyy + uzz 熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題(第一類邊界條件) u = u(x, y, z , t ) u = u(x, y, t ) u = u(x, t )初始條件: u(x, y, z, 0)= (x, y, z)ut = a2uxx + uyy + uzz II. 第二類邊界條件:III. 第三類邊界條件:I. 第一類邊界條件:(已知邊界溫度)(邊界上有熱流進(jìn)入)(邊界上有熱交換)L長的細(xì)桿邊界上有熱流進(jìn)、出u(x, t )LO1. 在 x = L 處有熱流 q 流出

3、ux | x=L = q / k2. 在 x = L 處有熱流 q 流入 ux | x=L = q / k3. 在 x = 0 處有熱流 q 流出 ux | x=0 = -q / k4. 在 x = 0 處有熱流 q 流入 ux | x=0 = q / k 這里 為沿?zé)崃鞣较虻姆较驅(qū)?shù)邊界上有熱交換拉普拉斯方程與拉普拉斯算子三維熱傳導(dǎo)方程: ut = a2uxx + uyy + uzz 熱傳導(dǎo)問題中,如果物體內(nèi)部沒有熱源,物體外圍溫度不隨時間變化,經(jīng)過相當(dāng)長時間以后,物體內(nèi)部的溫度將不再改變,趨于穩(wěn)定狀態(tài)。ut = 0uxx + uyy + uzz =0 (Laplace方程)記(Laplac

4、e算子)則有正方形區(qū)域上第一邊值問題 準(zhǔn)確解:O1x1y方程通解舉例(未知函數(shù)為二元函數(shù)) u(x, y) = f(y) u(x, y) = g(x) u(x, t) = f( x at)1.2.4. u(x, y) = f(x) + g(y)3.驗證: u(x, t) = g( x + at)5.6. u(x, t ) = f( x at ) + g( x + at )二階線性偏微分方程(兩個自變量)分類通過自變量的非奇異變換簡化主部，進(jìn)而分類求解。主部二次曲線分類回顧: a11x2 + 2a12 x y + a22 y2 +b1x + b2y + C = 0 0, 橢圓 0,稱微分方程為雙曲型的3. 若 a122 a11a22 0,稱微分方程為橢圓型的2. 若 a122 a11a22= 0,稱微分方程為拋物型的稱 a122 a11a22 為判別式a11uxx+ 2a12uxy + a22uyy + b1ux+b2uy+cu = f二階偏微分方程分類uxx+ uyy = 0utt = a2uxxut = a2uxx雙曲型拋物型橢圓型習(xí)題 2.2（P.26）1、4思考