工程制圖基礎(chǔ)教程

1、第1章直線和平面的投影 #第1章直線和平面的投影 第1章點(diǎn)、直線和平面的投影內(nèi)容要點(diǎn)本章基于正投影的原理，從三面投影體系的建立開始，論述了空間幾何元素點(diǎn)、線、面的投影及有關(guān)投影的幾個(gè)重要性質(zhì)、定理。討論了點(diǎn)、線、面之間的相對(duì)位置及其在投影圖上的反映。知識(shí)結(jié)構(gòu)圖：點(diǎn)、線、面在第一分角中各種位置的投影特性投影求直線、平面的傾角，線段實(shí)長(zhǎng)、平面圖形實(shí)形點(diǎn)、直線和平面J直線上點(diǎn)的投影特性在平面上取點(diǎn)、取直線的方法相對(duì)位置（平行、相交、交叉兩直線的投影特性及直角定理線、面與特殊位置面平行、相交、垂直的投影作法線、面與一般位置面平行、相交、垂直的投影作法本章習(xí)題圍繞上述內(nèi)容設(shè)置，主要包括：1）求一般位置線

2、段的實(shí)長(zhǎng)和傾角、平面圖形的實(shí)形。2）在已知直線上取點(diǎn)的作圖法（直線上的點(diǎn)的投影具有從屬性和定比性）。3）在已知平面上取點(diǎn)和直線的投影作法（利用點(diǎn)和直線在平面上的幾何條件作圖）4）求直線和平面相交的交點(diǎn)、兩平面相交的交線的投影并判別可見性。5）直線與平面平行、平面與平面平行的基本作圖法。6）直線與平面垂直、平面與平面垂直的基本作圖方法（利用直角投影定理及直線與平面垂直的幾何條件）。7）點(diǎn)、直線、平面之間的定位問題及度量問題。解題要領(lǐng)在解答本章習(xí)題時(shí)應(yīng)從題給條件及要求出發(fā)，根據(jù)投影的基本理論、性質(zhì)、定理，充分運(yùn)用平面幾何、立體幾何知識(shí)分析題給條件的幾何要素在空間的位置，幾何要素之間的相對(duì)位置關(guān)系及

3、它們?cè)谕队皥D上的反映，確定解題方法及步驟。解題時(shí)要求題目理解準(zhǔn)確，理論運(yùn)用熟練，解題思路清晰，作圖步驟清楚。 工程制圖解題分析 #工程制圖解題分析圖1-2題圖1-2題在學(xué)習(xí)本章內(nèi)容時(shí)，既要注重理論知識(shí)的學(xué)習(xí)又要注重空間想象力的培養(yǎng)。一般地，我們研究的對(duì)象與我們生活周圍的常見模型有關(guān)，在學(xué)習(xí)初期，要注意利用生活空間中的一些常見模型（如墻面、地面可看做投影面）來思考問題，以此來鍛煉自己的空間想象、空間分析和空間構(gòu)思能力。其次，對(duì)書本上已經(jīng)歸納起來的投影規(guī)律、定理等應(yīng)認(rèn)真地領(lǐng)會(huì)，并結(jié)合平面幾何、立體幾何知識(shí)，通過著重研究各種圖例，達(dá)到能夠靈活運(yùn)用這些投影規(guī)律和定理的能力，在學(xué)習(xí)的過程中還應(yīng)養(yǎng)成良好的

4、作圖習(xí)慣，勤作圖、作好圖。習(xí)題與解答點(diǎn)的投影1-1第一分角點(diǎn)A與H面的距離等于其與V面的距離，并知a,試畫出其他兩面投影。分析：點(diǎn)A在I分角的角平分面上，故其Z坐標(biāo)值等于Y坐標(biāo)值，據(jù)此可求出a,a。作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：1）由a作OX軸的垂線，垂足為ax,并延長(zhǎng)。2）在該延長(zhǎng)線上量取aax=aax得a。3）利用450輔助線作出a。1-2指出下列各圖中的錯(cuò)誤，并改正。 工程制圖解題分析第1章直線和平面的投影 分析：由a、a可知空間點(diǎn)A在W面上，a應(yīng)同時(shí)在Y軸及H面上，所以a應(yīng)在Yh軸上?？臻g點(diǎn)B在H面上，b應(yīng)同時(shí)在 在X軸上，故c”應(yīng)畫在原點(diǎn)處。Y軸及W面上，所以b應(yīng)在Yw軸上。c、c可知空間

5、點(diǎn)C圖1-2解作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：略。1-3 點(diǎn)B在點(diǎn)A之左10mm、之上15mm、之后7mm,點(diǎn)C在點(diǎn)A的正后方且距A點(diǎn)7mm,求作B、C兩點(diǎn)的三面投影，重影點(diǎn)需判別可見性。圖1-3 題分析：在OX軸下方距OX軸越近表明該點(diǎn)越靠后，其 兩點(diǎn)的Y坐標(biāo)值都比 A點(diǎn)小7mm,點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊。 的正前方，故a可見，c不可見。作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：略圖1-3解Y坐標(biāo)值越小。據(jù)題意可知B、CA、C兩點(diǎn)為V面的重影點(diǎn)，A在C1-4 點(diǎn)A與點(diǎn)B(12,10,15)對(duì)稱于OX軸，作出點(diǎn)A與點(diǎn)B的直觀圖及投影圖。分析：點(diǎn)A與點(diǎn)B對(duì)稱于OX軸表示空間點(diǎn) 的坐標(biāo)應(yīng)為(12,-10,-15),即點(diǎn)A在第三分角

6、內(nèi)。作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：1)按坐標(biāo)數(shù)值作點(diǎn)B的投影。2)在同一條投影連線上，在OX軸的上方量取A與點(diǎn)B的連線垂直相交于 OX軸，故點(diǎn)A10mm得a,在OX軸的下方量取15mm得a。1.3.2直線的投影1-5 已知A點(diǎn)的水平投影a,并知AB為鉛垂線且A 點(diǎn)在 B 點(diǎn)上方，AB=BC=25mm, BC為水平線，C點(diǎn)距V面為20mm,距H面為10mm,試完成AB、BC、AC的兩面投影。圖1-5題分析：因?yàn)锽C為水平線，所以其水平投影bc=25mm,正面投影bc平行于OX軸，又知c、c距OX軸分別為20mm、10mm,這樣可先求出C點(diǎn)的兩面投影，再求出b。因?yàn)锳B是正垂線，所以水平投影為一點(diǎn)，正面

7、投影垂直于OX軸且ab=25mm,由此求出a。作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：1）以a為圓心，25mm為半徑畫弧，由OX軸向下量20mm,交所畫弧線于c點(diǎn)。2）由c作投影連線，并在該線上從OX軸向上量10mm得c。3）過c作cb平行于OX軸，得bo4）由b豎直向上量25mm,得a點(diǎn)。1-6在已知線段AB上求一點(diǎn)M（m,m）,使其將AB分成1:3,再求一點(diǎn)N（n,n）,使AN=25mm。圖1-6題圖1-6解分析：M點(diǎn)將AB分為1:3,可先把AB四等分即可求得MoAB上的N點(diǎn)是決定AN=25mm的一點(diǎn)，因此先要利用直角三角形法則求出AB的實(shí)長(zhǎng)才能決定No作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：1）由b任引一斜線，將其四等

8、分，端點(diǎn)Ai與a相連，由第三點(diǎn)作Aa的平行線得m;再作出m。2）在水平投影上作直角三角形求得AB=aB1,量取aN1=25作出Ni,返回投影上得n,n。1-7已知線段AB的兩投影，求AB上與H、V面等距的點(diǎn)C的面兩投影。分析：解法一：點(diǎn)C與H、V面等距，即Yc=Zc,故利用平面幾何原理作ab對(duì)稱于OX軸的線段a1b1,則ab1與ab的交點(diǎn)即為c點(diǎn)的水平投影。解法二：因點(diǎn)的側(cè)面投影能同時(shí)反映其丫、Z兩坐標(biāo)，故也可以借助側(cè)面投影作圖。作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：解法一：1）作出a點(diǎn)對(duì)稱于OX軸的點(diǎn)a1及b點(diǎn)對(duì)稱于OX軸的點(diǎn)4。2）連接ab1交ab與G由c作出c。解法二：1）求出線段AB的側(cè)面投影a”b

9、”。2）過原點(diǎn)作ZOYw的分角線OM,交a”b”于c”,由c”作出c及c。Z圖1-7解圖1-7 題1-8 已知直線 AB及點(diǎn)C,AB上確定距OX軸為30mm的點(diǎn)D,由于OX軸在側(cè)面投影中積分析：本題作圖要點(diǎn)是在直線聚為一點(diǎn)O,因此空間一點(diǎn)與 OX軸的距離可以在側(cè)面投影中得以反映 作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：1）求出AB及C的側(cè)面投影a“b“、c”；2）以O(shè)為圓心，半徑 30mm畫弧交a”b“于d”,由d”作出d及d;3）連接cd、cd、c”d”即為所求。1-9 求AB線段的a角；CD線段的3角。cd分析：求AB的a角須用AB的水平投影和AB兩點(diǎn)的Z坐標(biāo)差組成直角三角形（注意Z差不受線段端點(diǎn)在OX軸

10、上或下的位置影響），水平投影長(zhǎng)和斜邊的夾角為a;求CD的3角，須用CD的正面投影長(zhǎng)和CD兩點(diǎn)的Y坐標(biāo)差組成三角形，這里的Y差就等于cd,正面投影長(zhǎng)和斜邊的夾角為3。O其3=30。，且已知ab的部分投影，試補(bǔ)全線段AB3角可組成直角三角形， 利用AB實(shí)長(zhǎng)已知可求 A、B圖1-9作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：略。1-10已知線段AB實(shí)長(zhǎng)等于38mm,的兩投影。分析：由線段AB的部分正面投影和兩點(diǎn)的Y坐標(biāo)差，由此可作出b和b點(diǎn)。作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：1）在ab的部分投影上任取一點(diǎn)c,作投影連線cCo,過a作aC0，cC0,并在其延長(zhǎng)線上截取CoAo=ac,以CoAo為一直角邊作30的直角三角形定出c點(diǎn)。

11、2）延長(zhǎng)Aoc到Bo,使AoBo=38mm,過Bo作aCo的平行線，在ac的延長(zhǎng)線上定出b。3）延長(zhǎng)正面投影ac至b。b圖1-10題圖1-10解1-11作一直線平行于線段EF,且與AB、CD兩線段都相交。分析：所給線段EF為一般位置線，線段c(d)且與ef平行即得直線KL的正面投影kT;線段AB是側(cè)平線，要確定其上的點(diǎn)L的水平投影1,則要用點(diǎn)分線段成比例的特性引比例線段求得。第1章直線和平面的投影 第1章直線和平面的投影 圖1-13 題圖1-13 題作圖過程或作圖要點(diǎn)說明1-12作直線:略。EF正交，且與AB、CD兩直線都相交。MN與直線圖1-12分析：直線MN與AB為鉛垂線，交線MN題EF正

12、交，且EF為水平線，由直角投影定理可知其水平投影上成直角，而的水平投影mn必過a(b),由此可先作出水平投影。作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：1)過a(b)作mn垂直于ef,垂足為n,過n引投影連線交ef于n。2)再確定MN與CD的交點(diǎn)1-13作兩交叉直線的公垂線實(shí)距離。L的正面投影EF,分別與l,連n、l并延長(zhǎng)至ab得m。AB、CD交于E、F,并標(biāo)出AB、CD間的真c（一）d 工程制圖解題分析第1章直線和平面的投影 CD為一般位置線，但與分析：（一）中AB線段為鉛垂線，與其垂直的線段必定是水平線,之垂直的水平線可以在水平投影中表現(xiàn)為直角。a（b）,且CD為側(cè)平線，與之垂直的線段必定是側(cè)（二）中AB是

13、正垂線，EF的正面投影必過垂線。作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：由f引投影連線交cd于f ,過f 做OX軸的平（一）中：過a（b）作cd的垂線交cd于f,行線交ab于e,即得EF的兩面投影。cd于f ,在cd上確定f點(diǎn)（利用點(diǎn)分線段成比（二）中：過a（b）作OX軸的平行線交的特性作圖），過f作OX軸的平行線交ab于e。,N點(diǎn)在直線AB上。O1-14圖1-14解圖1-14題分析：N點(diǎn)在水平線AB上，從正面投影可看出MN兩端點(diǎn)的Z坐標(biāo)差無論N點(diǎn)在AB的哪一處都是一樣的，以該坐標(biāo)差為一直角邊和口角構(gòu)成一直角三角形，另一直角邊即為要求的MN的水平投影。作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：1）由m點(diǎn)c引ab的垂線，以此垂線

14、為一直角邊和a角構(gòu)成直角三角形；2）以另一直角邊的長(zhǎng)為半徑，以m為圓心作圓弧交ab于n,由n引投影連線交ab于n。1-15作線段CD的垂直平分線EF,點(diǎn)E距V面40mm,EF=CD且同時(shí)也被CD平分。分析：CD為正平線，EF的正面投影必在CD正面投影的垂直平分線上；E點(diǎn)距V面40mm,則E點(diǎn)到CD中點(diǎn)O的Y坐標(biāo)差是一定的，由于EF=CD,且同時(shí)也被CD平分，則OE=OC,由OE的Y差和實(shí)長(zhǎng)構(gòu)造直角三角形即可求得OE的正面投影長(zhǎng)。作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：1）作cd的中垂線得o點(diǎn)并作投影連線交cd于o點(diǎn)。2）延長(zhǎng)oo并在其上截取到OX軸40mm的點(diǎn)Eo,以O(shè)E。為一直角邊，oc長(zhǎng)為斜邊作一直角三角

15、形，則另一直角邊為oe長(zhǎng)，由e得出e。3）由OE=OF定出f和f。平面的投影1-16完成等腰直角三角形ABC的兩面投影。已知AC為斜邊，頂點(diǎn)B在直線NC上。分析：ABC是等腰直角三角形，故兩腰AB、BC垂直且相等。圖中NC是水平線,B在NC上，故水平投影ab，bc且bc=BC,再利用直角三角形法作出a。作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：1）由a作ab垂直于cn,垂足為b,在cn上定出b。2）以AB的Y坐標(biāo)差為直角邊及AB的實(shí)長(zhǎng)（=bc）為斜邊作直角三角形，則另一直角邊為ab長(zhǎng)。分析：等邊三角形的高垂直且平分各邊。圖中EF為正平線，BC又在EF上，則BC邊的高AD在V面上的投影ad垂直于ef。因此先作出高

16、AD的兩投影并求出其實(shí)長(zhǎng)，再由AD實(shí)長(zhǎng)作出該等邊三角形的實(shí)形，得實(shí)長(zhǎng)BC。作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：1）由a引垂線交ef于d,同時(shí)得do以ad坐標(biāo)差和ad作直角三角形，求得AD實(shí)長(zhǎng)aD1。2）以AD實(shí)長(zhǎng)為直角邊作一60三角形ADB,斜邊AB為等邊三角形的邊長(zhǎng)，另一直角邊BD為邊長(zhǎng)BC的一半。1-18補(bǔ)全平面圖形的水平投影。分析：該平面圖形為五邊形，由題可知其中A、B、C三點(diǎn)的兩面投影，所以該五邊形平面已確定，又知屬于這個(gè)平面的另外兩個(gè)頂點(diǎn)的正面投影，所以只要根據(jù)點(diǎn)在平面上的幾何條件作圖，就可求出這兩點(diǎn)的水平投影，從而完成平面圖形的水平投影。作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：略。圖1-18 解1-19已知A

17、B為正平線，試補(bǔ)全平面圖形ABCDE的水平投影。圖1-19題分析：該題的關(guān)鍵是如何把握AB是正平線這個(gè)條件。雖然AB的水平投影無法直接作出,但在該平面內(nèi)，過E同樣可作出與AB平行的正平線。作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：1）過e引e2平行于ab交cd于2,過4e2平行于OX軸，用點(diǎn)分線段成定比的特性作出c;2）由ab、e2的交點(diǎn)1求出1,連di延長(zhǎng)求出a,過a作ab/OX軸得b,連接abcd,完成水平投影。1-20在ABC平面內(nèi)取一點(diǎn)M,使其距H面16mm,距V面28mm。圖1-20題圖1-20解分析：M點(diǎn)在距H面16mm且在ABC面內(nèi)的一條水平線上，同時(shí)M點(diǎn)滿足距V面28mm?？上茸鞒鏊骄€，然后在

18、此線上找一距V面28mm的點(diǎn)即可。作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：1）距OX軸上方16mm引平行OX軸的線交ab于1,bc于2;2）距OX軸下方28mm引平行OX軸的線交12與m。由m作投影連線在12上定出m。1-21過4ABC的頂點(diǎn)A,作屬于該平面的兩直線，此兩直線與H面都成60角。圖1-21 題圖1-21 解分析：作屬于ABC的直線需過A點(diǎn)及ABC面上的另一點(diǎn)。據(jù)題意，該點(diǎn)可在BC邊上取，因?yàn)锽C邊是水平線，其上任一點(diǎn)距點(diǎn)A的Z坐標(biāo)差是定值，可利用該坐標(biāo)差及a角構(gòu)成直角三角形，另一直角邊就是所求線段水平投影的長(zhǎng)度。作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：1）以點(diǎn)a和直線bc上任一點(diǎn)的Z坐標(biāo)差及a=60。作一直角三

19、角形，得所求線段水平投影的長(zhǎng)度。2）以a為圓心、所求線段水平投影的長(zhǎng)度為半徑畫弧，交bc于e、f兩點(diǎn)，再定出e、f。AE、AF為所求兩直線。1-22已知直線AB為某平面內(nèi)對(duì)H面的最大斜度線，試作該平面，并求該平面對(duì)H面的傾角和對(duì)V面的傾角。并且AB和垂直相交于AB的水平線可構(gòu)成平面，再找出該平面上對(duì)V面的最大斜度線，從而求出該平面對(duì)V面的傾角3。作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：1）過A作水平線AC且使ACLAB,則ABC構(gòu)成一平面，即為所求平面。2）過C作正平線CI,再作ADLCI。3）求出AB與H面的夾角a；AD與V面的夾角3。1-23已知平面ABC與H面夾角a=30,AB邊平行于H面，試通過求最大

20、斜度線的方法作出co分析：由于AB是水平線，過C作AB的垂線，該垂線就是ABC平面對(duì)H面的最大斜度線。作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：過c作ab的垂線，以垂線的長(zhǎng)度及“角作一直角三角形；以另一直角邊的長(zhǎng)度為Z坐標(biāo)差從ab向上或向下量得c（兩解）。1-24已知線段MN與/ABC平面交于點(diǎn)N,且點(diǎn)N距V面20mm,補(bǔ)全MN的兩面投影。圖1-24題圖1-24解分析：該題所給的平面ABC是一般位置面，點(diǎn)N是MN與平面的交點(diǎn)，既在線上又在面上，可利用屬于面上的點(diǎn)的投影特性及N點(diǎn)距V面20mm投影作圖。作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：先作出距V面20mm且屬于ABC面的輔助線的兩面投影。利用已知的mn部分投影，在該輔助線

21、的正面投影上定出n,再作出n,連接mn、mn。1-25已知ABC為等邊三角形，且ABC平面與EFG平面平行，求ABC的兩面投分析：因?yàn)榈冗吶切蜛BC的邊AB為鉛垂線，所以由AB=ab為已知條件可作出ABC實(shí)形。因?yàn)锳B上的高CD垂直于AB,所以CD應(yīng)為水平線，即cd=CD,又因?yàn)锳BC平行于鉛垂面EFG,所以abc/efg,這樣可求出c;由d為ab的中點(diǎn)且cd/OX,求出cd。作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：1）以ab（=AB）為邊長(zhǎng)作出等邊三角形ABC的實(shí)形，并彳AB的高CD。2）在ab、ab上分別定出中點(diǎn)D的兩投影d、d。過abd作直線平行于efg,在該直線上量得cd=CD,得c點(diǎn)。3）由d點(diǎn)作

22、cd/OX軸，交c點(diǎn)的投影連線于c點(diǎn)。直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置1-26求ABC與DEF的交線KL,并判別可見性。分析：題中所給ABC為正平面，4DEF為一般面。由于正平面ABC的水平投影abc有積聚性，故交線的水平投影一定在abc上，交線的正面投影可利用在一般面上取線的方法求出。作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：1）由正平面的水平投影abc定出與一般面交線的水平投影12。2）在一般面上定出12,兩面共有部分為kT、kL3）再判別可見性，如圖1-26解所示。1-27求ABC與口DEFG的交線KL,并判別可見性。圖1-27題分析：四邊形DEFG為水平面，V面投影有積聚性，因此兩平面交線為水平線，且與

23、AB平行，其V面投影已知。空間分析A作圖過程或作圖要點(diǎn)說明1）延長(zhǎng)defg交ac于1,在ac上作1,過1作ab的平行線，交dg于k,交bc于1。求出kl,LK即為兩平面交線。2）利用重影點(diǎn)（II、III）判別可見性。1-28求直線與平面的交點(diǎn)K,并判別可見性。圖1-28題分析：題中所給直線與平面的兩面投影均無積聚性，故求交點(diǎn)需作輔助平面。先過一般線作一輔助平面P,求出平面P與已知平面的交線III,III與已知直線的交點(diǎn)K,即為所求。P為把直線某投影作為積聚性投影的特殊面。作圖過程或作圖要點(diǎn)說明：略。1-29求兩平面的交線KL,并判別可見性。圖1-29題分析：本題所給兩平面均為一般位置面。利用一平面上兩直線（盡可能是投影重疊部分的直線）與另一平面產(chǎn)生