應(yīng)力應(yīng)變分析與強度理論課件

1、第7章 應(yīng)力應(yīng)變分析與強度理論 7.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念 7.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法 7.3 平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法 7.4 三向應(yīng)力狀態(tài)簡介 7.5 平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變分析 7.6 廣義胡克定律7.7 強度理論概述7.8 四個常用的強度理論7.9 莫爾強度理論 7.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念 受力物體內(nèi)一點各個斜面上的應(yīng)力變化情況，亦即一點的應(yīng)力狀態(tài)。 7.1.1 一點的應(yīng)力狀態(tài) 軸向拉壓桿件，斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為 任一橫截面上各點的應(yīng)力分布情況 (1) 隨點在截面上的位置不同而變化(2) 同一點不同方向上的應(yīng)力情況 7.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念 為了研究受力桿件內(nèi)一點的應(yīng)力狀態(tài)，圍繞該點

2、切取一個“宏觀上無限小，微觀上無限大”的單元體 如果單元體各面上的應(yīng)力已知，則該點任意方向的應(yīng)力都可由此計算出來。這樣切取的單元體稱為原始應(yīng)力單元體。 7.1.2 原始應(yīng)力單元體 7.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念2. 扭轉(zhuǎn)桿件中的應(yīng)力單元體 1. 拉壓桿件中的應(yīng)力單元體 7.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念3. 平面彎曲桿件中的應(yīng)力單元體 7.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念4. 受內(nèi)壓薄壁容器中的應(yīng)力單元體 1) 橫截面上的正應(yīng)力 軸線方向的平衡方程 2) 容器環(huán)向的正應(yīng)力 鉛垂方向的平衡方程 7.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念5. 車輪與鋼軌接觸點處的應(yīng)力單元體 7.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念1. 主平面 7.1.3 主平面 主應(yīng)力 主單元體 在

3、單元體上，切應(yīng)力等于零的平面 2. 主應(yīng)力 主平面上的正應(yīng)力 3. 主單元體 各個面都是主平面的單元體 主應(yīng)力通常用s1、 s2 和 s3 表示，它們的順序按代數(shù)值大小排列，即 。 7.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念1. 單向應(yīng)力狀態(tài)7.1.4 應(yīng)力狀態(tài)的分類 三個主應(yīng)力中，只有一個不等于零 2. 二向應(yīng)力狀態(tài) 有兩個應(yīng)力不等于零3. 三向應(yīng)力狀態(tài) 三個主應(yīng)力都不等于零 (簡單應(yīng)力狀態(tài) )(復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài) )(復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài) )7.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法 求任意斜面ef上的應(yīng)力 7.2.1 斜面上的應(yīng)力 平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力單元體 規(guī)定正應(yīng)力以拉伸為正，切應(yīng)力以使單元體有順鐘向轉(zhuǎn)動趨勢時為正。 斜面方位

4、角 ，并規(guī)定自x軸正向逆鐘向轉(zhuǎn)至斜面外法線方向所形成的角為正。 沿斜面法向n和切向t的平衡方程 三角形微體ebf為研究對象 7.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法注意到 ，得 得極值條件為 正應(yīng)力是求極值 7.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法(1) 極值正應(yīng)力所在的斜面，恰好是切應(yīng)力等于零的平面，即主平面。 7.2.2 主應(yīng)力 主方向 一、主應(yīng)力(2) 極值正應(yīng)力就是主應(yīng)力。 三、最大、最小正應(yīng)力 主方向角 7.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法二、主方向 從同一點所切取的不同方位的應(yīng)力單元體，其互相垂直面上的正應(yīng)力之和是一個常量，稱為應(yīng)力不變量。 四、應(yīng)力不變量得7.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法二、最大、最

5、小切應(yīng)力 7.2.3 極值切應(yīng)力及其作用面 一、極值切應(yīng)力方位角 極值切應(yīng)力等于極值正應(yīng)力差的一半。 則7.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法所以 注意到 即最大和最小切應(yīng)力所在平面與主平面的夾角為 三、極值切應(yīng)力和主平面夾角 7.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法例7-1 圖7-8a所示圓截面桿同時承受扭轉(zhuǎn)和拉伸變形，已知桿的直徑 ,扭轉(zhuǎn)力偶矩 ,軸向載荷 。試求：(1) 桿件表面上K點處圖示斜面上的應(yīng)力。(2) K點處的主應(yīng)力及主方向。 解 (1) 取應(yīng)力單元體 7.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法(2) 求斜面上的應(yīng)力 代入 K點處圖示斜面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為 7.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法(3)

6、 確定主應(yīng)力和主方向 最大、最小正應(yīng)力為 K點處的三個主應(yīng)力分別為 主方向角 一個主應(yīng)力 7.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法例7-2 低碳鋼和鑄鐵扭轉(zhuǎn)試件的破壞斷口分別如圖7-9a、b所示。低碳鋼試件沿橫截面破壞，鑄鐵試件沿與軸線成 角的螺旋面破壞。試分析其破壞原因。 解 (1) 取應(yīng)力單元體 (2)極值應(yīng)力 a) 正應(yīng)力最大和最小值 b) 切應(yīng)力最大和最小值 和 7.3 平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法 圓上任一點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),分別代表單元體相應(yīng)面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力,此圓稱為應(yīng)力圓或莫爾(O.Mohr)圓。 7.3.1 應(yīng)力圓方程 斜面應(yīng)力計算公式 二式各自平方后再相加 7.3 平面應(yīng)力狀態(tài)分析的

7、圖解法(2)連接Dx和Dy兩點,與橫軸交于C點, C為應(yīng)力圓的圓心。 7.3.2 應(yīng)力圓的畫法 (1)建立坐標(biāo)系，按選定的比例尺，量取OG=x，GDx=xy，確定Dx點,類似地,確定Dy點 。 (3)以C為圓心，以 為半徑作圓，與橫軸分別交于A、B兩點，即為相應(yīng)的應(yīng)力圓。 C點坐標(biāo)7.3 平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法 將半徑 沿方位角 的轉(zhuǎn)向旋轉(zhuǎn) 至CE處，所得E點的橫坐標(biāo)OF和縱坐標(biāo)FE 即分別代表面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力 7.3.3 應(yīng)力圓的應(yīng)用 1. 求任意斜面上的應(yīng)力 證明 :則令圓心角 同理 7.3 平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法 應(yīng)力圓上A點的橫坐標(biāo)代表max 2. 確定主應(yīng)力和主方向 同理,

8、B點的橫坐標(biāo)代表min 方位角 ,從 開始，順鐘向轉(zhuǎn)到 ,即得 角。 類似地可以確定min作用面的方位角。 單元體的主單元體的方位如圖所示。 7.3 平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法 應(yīng)力圓上K和L兩點的縱坐標(biāo)分別代表最大和最小切應(yīng)力。 3. 確定極值切應(yīng)力及其作用面 在應(yīng)力圓上，從 到 所對圓心角為逆鐘向的/2；在單元體中，從max所在主平面的法線到max所在平面的法線應(yīng)為逆鐘向的/4。 和 都是應(yīng)力圓的半徑 7.3 平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法 (1) 單元體每個面上的應(yīng)力都可以在應(yīng)力圓上找到相應(yīng)的位置。 4. 應(yīng)力圓與單元體的點-面對應(yīng)關(guān)系 (2) 當(dāng)單元體上斜面A和斜面B的夾角為 時，應(yīng)力圓上相應(yīng)

9、點a和b所對應(yīng)的圓心角為 ，且兩角的轉(zhuǎn)向相同。 7.3 平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法 (3) 圍繞一點的單元體面上的應(yīng)力隨單元體切取方位的不同而各異，但其應(yīng)力圓是唯一的。 a) 受扭圓軸表面K點切取應(yīng)力單元體,可以得到應(yīng)力圓上的C、D點 b) 根據(jù)45面切取的應(yīng)力單元體,可以得到應(yīng)力圓上的A、B點 7.3 平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法例7-3 試用圖解法求解圖7-13a所示應(yīng)力單元體的主應(yīng)力，并確定主平面的方位。 解 (1) 畫應(yīng)力圓 選取比例尺 在- 坐標(biāo)系中定出D1, D2點 以 為直徑繪出的圓就是所要作的應(yīng)力圓。 7.3 平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法(2)求主應(yīng)力 (3)主平面的方位 主平面的法線與

10、x軸間的夾角 主應(yīng)力3所在的主平面與1所在的主平面垂直。 在應(yīng)力圓上,與x面對應(yīng)的點為D1,與主應(yīng)力1所在主平面對應(yīng)的點為A1 7.4 三向應(yīng)力狀態(tài)簡介 在坐標(biāo)平面中，必位于由1和2所確定的應(yīng)力圓上 。 7.4.1 三向應(yīng)力圓 主應(yīng)力單元體 與3平行的斜面m-m上的應(yīng)力僅與1和2有關(guān)，而與3無關(guān)。 同理，與主應(yīng)力2 (或1)平行的各斜面的應(yīng)力，則位于由1與3(或2與3)所確定的應(yīng)力圓上。 這樣組成的三個應(yīng)力圓稱為三向應(yīng)力圓。 與三個主應(yīng)力都不平行的任意斜面ABC上的應(yīng)力 、分別代表斜面ABC的外法向與1、2、3方向的夾角。 斜面上的應(yīng)力對應(yīng)的點K(n ,n)，位于三向應(yīng)力圓的大圓之內(nèi)，兩小圓之

11、外的區(qū)域內(nèi)。 7.4 三向應(yīng)力狀態(tài)簡介7.4 三向應(yīng)力狀態(tài)簡介(2)切應(yīng)力 7.4.2 最大與最小正應(yīng)力和切應(yīng)力 (1)正應(yīng)力a)平行于 的所在斜面上 b)平行于 的所在斜面上 c)平行于 的所在斜面上 其所在平面與 和 所在主平面成 7.4 三向應(yīng)力狀態(tài)簡介例7-4 試畫出圖7-17a所示應(yīng)力狀態(tài)的三向應(yīng)力圓，并求該點的三個主應(yīng)力及最大切應(yīng)力。 解 (1) 畫三向應(yīng)力圓 確定A (80,35)點和B (20, -35)點 以AB為直徑畫圓得兩個主應(yīng)力 取E(-40, 0)以對應(yīng)主平面z上的應(yīng)力。 分別以ED和EC為直徑畫圓，即得三向應(yīng)力圓。 7.4 三向應(yīng)力狀態(tài)簡介(2) 主應(yīng)力與最大應(yīng)力

12、三個主應(yīng)力分別為 最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力分別為 7.5 平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變分析 推導(dǎo)：設(shè)變形前矩形單元斜邊OB的長度為ds 7.5.1 任意方向的應(yīng)變 已知線應(yīng)變x、y和切應(yīng)變xy，求與x軸成角的線段OB的線應(yīng)變以及直角 的切應(yīng)變。 方向角 以逆鐘向為正，切應(yīng)變以使直角增大為正 a)發(fā)生線應(yīng)變,成為矩形OA1B1C1 b)發(fā)生剪切變形 ,成為平行四邊形OA1B2C2 小變形情況下 對 由余弦定理，得 化簡，得 軸方向的線應(yīng)變 7.5 平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變分析進一步改寫成 軸方向的線應(yīng)變 ex可表示為7.5 平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變分析代入 和 得 1. 應(yīng)變圓 圓心 半徑7.5 平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變分析

13、1)通過應(yīng)變圓，可以得到該點任意方向的線應(yīng)變和任兩相互垂直方向的切應(yīng)變 7.5.2 應(yīng)變圓與主應(yīng)變2)一定存在兩個相互垂直的方向，線應(yīng)變分別取得極大值和極小值，而切應(yīng)變等于零，這樣的極值線應(yīng)變稱為主應(yīng)變。 2. 主應(yīng)變7.5 平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變分析一般先測出一點處三個選定方向上的線應(yīng)變，聯(lián)立求解，便可求得x，y和xy 7.5.3 應(yīng)變花及其應(yīng)用(2)直角應(yīng)變花測量線應(yīng)變 三個應(yīng)變片的方向分別為 (1)三個應(yīng)變分量x，y，xy的測量 確定一點處主應(yīng)變的數(shù)值和方向時 7.5 平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變分析例7-5 用直角應(yīng)變花測得構(gòu)件表面某點O處的三個線應(yīng)變分別為 ， ， ，試求該點處的切應(yīng)變、主應(yīng)變及其

14、方向。 解(1)切應(yīng)變令 (2)主應(yīng)變 (3)主應(yīng)變的方位角 或7.6 廣義胡克定律 正應(yīng)力方向的線應(yīng)變 7.6.1 廣義胡克定律一、 單向應(yīng)力狀態(tài) 二、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài) 單獨作用，在該方向引起的線應(yīng)變垂直于正應(yīng)力方向的線應(yīng)變 和 單獨作用，在 方向引起的線應(yīng)變疊加 同理可求得 切應(yīng)變?yōu)?式(7-18)和(7-19)稱為廣義胡克定律 三、一般空間應(yīng)力狀態(tài) 7.6 廣義胡克定律(7-18)(7-19)1.變形前體積 3.體積應(yīng)變 主應(yīng)力表示的體積應(yīng)變 2.變形后的體積為 7.6 廣義胡克定律7.6.2 體積應(yīng)變 為三個主應(yīng)力的平均值 若三個主應(yīng)力的代數(shù)和等于零，則體積不變。 7.6 廣義胡克定律例7

15、-6 圖7-21a所示圓軸的直徑 ,材料的彈性模量 ，泊松比 。今測得圓軸表面K點處與母線成 角方向的線應(yīng)變 。試求作用在圓軸兩端的扭轉(zhuǎn)力偶矩 。 解 圍繞K點取應(yīng)力單元體 方向上的正應(yīng)力 方向上的線應(yīng)變 聯(lián)立，得 7.6 廣義胡克定律例7-7 在圖7-22所示槽形剛體內(nèi)，放置一邊長為a =10 mm的正方形鋼塊，鋼塊頂面承受合力為F=16 kN的均布壓力作用。已知鋼塊的彈性模量E=200 GPa，泊松比 。試求鋼塊的三個主應(yīng)力。 解 頂面的壓應(yīng)力 根據(jù)廣義胡克定律 考慮到 ，得 三個主應(yīng)力分別為 1. 應(yīng)變能 2. 應(yīng)變能密度 單位體積的應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度，用 表示。 彈性體在外力作用下發(fā)

16、生變形，載荷在相應(yīng)位移上作功，從而在彈性體內(nèi)儲存了能量，稱為應(yīng)變能。 7.6 廣義胡克定律7.6.3 應(yīng)變能與畸變能密度 單向應(yīng)力狀態(tài)下三向應(yīng)力狀態(tài)下 主應(yīng)力表示的應(yīng)變能密度 3. 畸變能密度 1) 在圖b示三向等值應(yīng)力狀態(tài)下，單元體三個棱邊的變形相同，因而只有體積改變而沒有形狀改變。 7.6 廣義胡克定律2)圖c示的應(yīng)力單元體，三個主應(yīng)力之和等于零，單元體將只有形狀改變而沒有體積改變，這種情況下的應(yīng)變能密度稱為畸變能密度，用符號vd表示。 單向應(yīng)力狀態(tài)下 7.7 強度理論概述 通過實驗直接確定危險點正應(yīng)力和切應(yīng)力的極限值，并以此為依據(jù)建立強度條件。 一、 簡單應(yīng)力狀態(tài) 二、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài) 危險

17、點處的三個主應(yīng)力可以有無數(shù)種組合形式三、強度理論 所謂“強度理論”，就是關(guān)于材料破壞原因的各種假說。根據(jù)這些假說，有可能利用簡單應(yīng)力狀態(tài)的試驗結(jié)果，建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件。 7.8 四個常用的強度理論 最大拉應(yīng)力理論認為：無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)，只要危險點處的最大拉應(yīng)力 ，達到材料單向拉伸時拉應(yīng)力的極限值 ，材料就發(fā)生脆性斷裂。 7.8.1 關(guān)于脆性斷裂的強度理論 1. 最大拉應(yīng)力理論(第一強度理論) 破壞條件為 強度條件為破壞條件 用主應(yīng)力表示的斷裂破壞條件為 最大拉應(yīng)變理論認為：無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)，只要危險點處的最大拉應(yīng)變 ，達到材料單向拉伸斷裂時拉應(yīng)變的極限值 ，材料就發(fā)生

18、脆性斷裂。 7.8 四個常用的強度理論2. 最大拉應(yīng)變理論(第二強度理論) 強度條件為 最大切應(yīng)力理論認為：無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)，只要危險點處的最大切應(yīng)力 ，達到材料單向拉伸屈服時切應(yīng)力的極限值 ，材料就發(fā)生屈服破壞。 7.8.2 關(guān)于塑性屈服的強度理論 1. 最大切應(yīng)力理論(第三強度理論) 破壞條件為 強度條件為7.8 四個常用的強度理論主應(yīng)力表示的屈服破壞條件為 破壞條件 用主應(yīng)力表示的斷裂破壞條件為 畸變能密度理論認為：無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)，只要危險點處的畸變能密度 ，達到材料單向拉伸屈服時畸變能密度的極限值 ，材料就發(fā)生屈服破壞。 7.8 四個常用的強度理論2. 畸變能密度理論

19、(第四強度理論) 強度條件為 7.8.3 相當(dāng)應(yīng)力四個強度理論的強度條件可統(tǒng)一寫為 主應(yīng)力的組合稱為相當(dāng)應(yīng)力，用符號 表示。 7.8 四個常用的強度理論7.8 四個常用的強度理論例7-8 某鑄鐵桿件危險點處的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，若許用拉應(yīng)力 ，試校核其強度。 解 應(yīng)力分量 主應(yīng)力計算 三個主應(yīng)力 按第一強度理論 桿件滿足強度條件 7.8 四個常用的強度理論例7-9 某塑性材料桿件中危險點處的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。試求出該點處的第三、第四強度理論的相當(dāng)應(yīng)力表達式。 解 由主應(yīng)力公式得 三個主應(yīng)力 第三、第四強度理論的相當(dāng)應(yīng)力表達式 7.9 莫爾強度理論 2. 兩個面之間產(chǎn)生與切應(yīng)力方向相反的內(nèi)摩擦力。 一、莫爾強度理論1. 切應(yīng)力是使材料達到危險狀態(tài)的主要因素。 3. 材料的滑動破壞不一定發(fā)生在最大切應(yīng)力所在的截面上。 對在一定應(yīng)力狀態(tài)下的材料，當(dāng)界面上的正應(yīng)力為壓應(yīng)力時，應(yīng)力值越大，材料越不容