工科數(shù)學(xué)分析ii.part1第15章12.5

1、8 二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性 微分方程一、定義n階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二、二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程解法-特征方程法將其代入上方程, 得故有特征方程特征根 有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為 有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為 有一對(duì)共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為特征根為定義由常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱(chēng)為特征方程法.解特征方程為解得故所求通解為例1解特征方程為解得故所求通解為例2四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫(xiě)出相應(yīng)的特征方程;（2）求

2、出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解. (見(jiàn)下表)思考題求微分方程 的通解.思考題解答令則特征根通解三、n 階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程解法特征方程為特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)注意n次代數(shù)方程有n個(gè)根, 而特征方程的每一個(gè)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng), 且每一項(xiàng)各含一個(gè)任意常數(shù).特征根為故所求通解為解特征方程為例39 二階常系數(shù)非齊次 線(xiàn)性微分方程二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程對(duì)應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見(jiàn)類(lèi)型問(wèn)題：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.一、 型設(shè)非齊方程特解為代入原方程綜上討論注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程（k是重根次數(shù)）.特別地解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程, 得

3、原方程通解為例1利用歐拉公式注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程.解對(duì)應(yīng)齊方通解作輔助方程代入上式所求非齊方程特解為原方程通解為（取虛部）例2解2根據(jù)公式得原方程通解為設(shè)解為解對(duì)應(yīng)齊方通解作輔助方程代入輔助方程例3所求非齊方程特解為原方程通解為（取實(shí)部）注意解對(duì)應(yīng)齊方通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解原方程通解為例4三、小結(jié)只含上式一項(xiàng)解法：作輔助方程,求特解, 取特解的實(shí)部或虛部, 得原非齊方程特解.(待定系數(shù)法)思考題寫(xiě)出微分方程的待定特解的形式. 思考題解答設(shè) 的特解為設(shè) 的特解為則所求特解為特征根（重根）10 歐拉方程解法：歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過(guò)變 量代換可化為常系數(shù)微分方程.一、歐拉方程的方程(其中形如叫歐拉方程.為常數(shù))特點(diǎn)：各項(xiàng)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自 變量的方次數(shù)相同作變量變換將自變量換為用表示對(duì)自變量求導(dǎo)的運(yùn)算上述結(jié)果可以寫(xiě)為將上式代入歐拉方程，則化為以 為自變量的常系數(shù)線(xiàn)性微分方程.求出這個(gè)方程的解后，把 換為 ，即得到原方程的解.一般地，例求歐拉方程的通解解作變量變換原方程化為即或(1)方程(1)所對(duì)應(yīng)的齊次方程為其特征方程特征方程的根為所以齊次方程的通解