廣東第二學(xué)院第二屆數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題參考解答

1、廣東第二學(xué)院第二屆數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題參考解答一、原料采購(gòu)(初等最優(yōu)化問(wèn)題)某工廠正常情況下每天需要消耗某種原材料4噸，因此每隔一段時(shí)間需要購(gòu)買一次原材料，原材料的價(jià)格為 2000元/噸，原材料的保管費(fèi)用每天 2元/噸，每次購(gòu)買原材料需要支付運(yùn)費(fèi)1600元.為了保證每天都有原材料供應(yīng)生產(chǎn)，請(qǐng)給出最優(yōu)的原材料采購(gòu)計(jì)劃.解：設(shè)每隔t天購(gòu)買一次原材料，則總的保管費(fèi)用為2 (4 1 4 24 t) 4t(t 1)支付的總費(fèi)用為：Q(t) 4t(t 1) 1600 4t 2000則平均每天支付的費(fèi)用為 TOC o 1-5 h z Q(t)160016004(t 1)4 2000 4t8004ttt從而當(dāng)4t

2、1600,即t=20時(shí)平均每天的支付費(fèi)用最少.于是應(yīng)該20天采購(gòu)一次原材料.t二、運(yùn)輸成本(規(guī)劃類問(wèn)題)某運(yùn)輸公司接受了向抗洪搶險(xiǎn)地區(qū)每天至少送180t支援物資的任務(wù).該公司有8輛載重為6t的A型卡車與4輛載重為10t的B型卡車，有10名駕駛員；每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型卡車4次，B型卡車3次；每輛卡車每天往返的成本費(fèi)A型車為320元，B型車為504元.請(qǐng)為該公司安排一下應(yīng)該如何調(diào)配車輛，才能使公司所花的成本費(fèi)最低？解：根據(jù)題意可得：A型車B型車物資限制載重(t)610共180車輛數(shù)84出車次數(shù)43每車每天運(yùn)輸成本(元)320504設(shè)每天調(diào)出A型車x輛、B型車y輛，公司所花的成本為 z元，則

3、最低成本費(fèi)數(shù)學(xué)模型為min z 320 x 504 y0 x8,St.0 y 4, x y 106 4x 10 3y 180 x, y Z這是一個(gè)整線性規(guī)劃問(wèn)題，現(xiàn)用圖解法進(jìn)行求解可行域（如上圖）為：由直線 11： x+y=10,l2：4x+5y = 30以及x=8,y=4組成的凸四邊形區(qū)域.直線1 : 320 x+504y=c在可行域內(nèi)平行移動(dòng)易知：當(dāng)1過(guò)y=0與12的交點(diǎn)時(shí)，z取最小值.由y 4x 5y 30 x解得y7.50取最近的整點(diǎn)（8, 0）,即只調(diào)配A型卡車8輛，所花成本費(fèi)最低Zmin =320X 8=2560 （元）三、最短路徑（圖論問(wèn)題或離散數(shù)學(xué)問(wèn)題）如下圖，圖中箭頭方向表示

4、可以進(jìn)行移動(dòng)，箭頭上數(shù)字表示行走的距離（單位：km,如6號(hào)位置能夠前進(jìn)到 7號(hào)位置，距離為4km；而7號(hào)無(wú)法前往6號(hào)）.現(xiàn)我們所處1號(hào)位置，因?yàn)樾谐绦枰巴?8號(hào)位置，求最少需要走多少路程能夠到達(dá)，并且寫出具體路線.解：（1）.列舉法（略）（2）.利用迪杰斯特拉算法：X表示行進(jìn)過(guò)的區(qū)域，X=1,第一步:min d i2,di4,di6=min 0+2,0+1,0+3=min 2,1,3二1X=1,4, p 4=1第二步：min d i2,di6,d42,d47=min 0+2,0+3,1+10,1+2=min 2,3,11,3=2X=1,2,4, p2=2第三步：min d i6,d23,d2

5、5,d47=min 0+3,2+6,2+5,1+2=min 3,8,7,3二3 X=1,2,4,6, p6=3第四步：min d 23,d25,c47,d67=min 2+6,2+5,1+2,3+4=min 8,7,3,7二3 X=1,2,4,6,7, p7=3第五步：min d 23,d25,d75,d78=min 2+6,2+5,3+3,3+8=min 8,7,6,11=6X=1,2,4,5,6,7, p5=6第六步：min d 23,d53,d58,d78=min 2+6,6+9,6+4,3+8=min 8,15,10,11=8X=1,2,3,4,5,6,7, p3=8第七步：min d

6、 38,d58,d78=min 8+6,6+4,3+7=min 14,10,11=10X=1,2,3,4,5,6,7,8, p8=101至ij 8的最短路徑為1, 4, 7, 5, 8,長(zhǎng)度為10km.四、隔熱厚度（微積分應(yīng)用問(wèn)題）為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂廠和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用 C （單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度 x （單位：cm）滿足關(guān)系：一 kC(x) (0 x 10) (k為一未知待定系數(shù))，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為3x 58萬(wàn)元.設(shè)f (x)為隔熱層建造費(fèi)用

7、與 20年的能源消耗費(fèi)用之和.(I )求k的值及f (x)的表達(dá)式；(n)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用 f(x)達(dá)到最小，并求最小值.解：(I )設(shè)隔熱層厚度為 xcm ,由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)再由 C(0)=8 ,得 k=40 ,因此 C(x)-(0 x 10),3x 5403x 5而建造費(fèi)用為Ci(x)=6x ,最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為八一40f (x) 20C(x) C1(x) 20* 6x3x 58003x 56x (0 x 10)(n ) f(x)2400(3x 5)2令 f (x)=0 ,即 2400 26 ,解得 x 5,x(3x 5)223一(舍

8、去)，5當(dāng) 0vxv5 時(shí)，f (x) 0,當(dāng) 5x0,故x=5是f(x)的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為地f (5) 6* 5 -800- =7015 5某車間體積為12000立方米，開(kāi)始時(shí)空氣中含有0.1%的CO2,為了降低車間內(nèi)空氣中五、車間通風(fēng)(一階微分方程應(yīng)用問(wèn)題)CO2的含量，用一臺(tái)風(fēng)量為每分鐘 2000立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含 0.03%的CO2的新鮮空氣同時(shí)以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出，問(wèn)鼓風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)6分鐘后，車間內(nèi)CO2的百分比降低到多少？解：設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)后t時(shí)刻CO2的含量為x t %在t, t dt內(nèi)，氣量變化關(guān)系為：CO2的通入量2000 dt 0.03 ； CO2的排出量20

9、00 dt x(t)；CO2的改變量CO2的通入量 CO2的排出量.故可得到：12000dx 2000 dt 0.03 2000 dt x(t),1-(x 0.03),dx進(jìn)一步有：dx dtx|t 0 0.1,二 t求解以上微分方程得到：x 0.03 Ce 6 ,結(jié)合初值條件:1t得到：C 0.07,故有：x 0.03 0.07e 6 ,1計(jì)算在6分鐘后，有 x|t6 0.03 0.07e0.056,于是，鼓風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)6分鐘后，車間內(nèi)CO2的百分比降低到0.056%.、六、最大面積（初等數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題）工廠里有一塊半圓形鐵板，其半徑為R.半圓的一部分有破損，破損位置如圖所示，其中BC=R/2 ,

10、并且破損位置在以 B所在的水平線右側(cè).現(xiàn)要在半圓鐵板剩余的部分上切割出一個(gè)直角三角形，如圖甲乙兩個(gè)方案：甲方案是以半圓的直徑所在邊作為斜邊，乙方案是選取半圓的直徑所在邊為直角邊.哪種方案所切割的直角三角形最大？并說(shuō)明理由甲方案乙方案解：我們根據(jù)甲、乙的方案，分別求出兩種方案所能切割出直角三角形的最大面積對(duì)于甲方案，以AB或者比AB短的線段作為直徑的半圓內(nèi)接三角形.顯然，選取AB作 為直徑時(shí)能夠保證三角形盡量的大，此時(shí)內(nèi)接半圓的半徑為 TOC o 1-5 h z 3:以O(shè)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，此時(shí)O (0,0),A( R,0 ),B(空,0 ).設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為 4-(一 一).則三角形的面積一二-22:4關(guān)于8求導(dǎo)后可知，當(dāng)3 = 9,時(shí)，SlniflB = jk 1alicLn_i*L*| 對(duì)于乙方案，以 O為圓心，0(0,0).設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為 闡除dRCO56).則三角形的面積-.1一 -關(guān)于S求導(dǎo)，R工且工S； = Ccos9)co-s9 (1 - sln) ( sinG)= fcos2