高量15-時間平移和時間反演ppt課件

1、21 時間平移和時間反演21-1 時間平移、量子力學(xué)中的時空觀在量子力學(xué)中，系統(tǒng)或粒子的空間坐標(biāo)是物理量，有厄米算符與之對應(yīng)，有本征值和本征矢量，但是時間卻不是物理量，沒有算符與之對應(yīng)，它在實(shí)際中的位置只是一個實(shí)數(shù)參數(shù)，所以系統(tǒng)的哈密頓量在時間變換方面的不變性或?qū)ΨQ性，與對空間變換的不變性是不完全一樣的。1二、時間平移操作以及對態(tài)函數(shù)和算符的作用在位置表象中 時間平移算符及對態(tài)函數(shù)的作用設(shè)系統(tǒng)處于某一含時態(tài) 中，其態(tài)函數(shù)滿足Schrdinger方程 態(tài)的時間平移態(tài) 是一個運(yùn)動變化完全與 一樣，但全面推遲時間 發(fā)生的態(tài)，即 2定義 為作用于時間參量上的時間平移操作，即定義 為作用于時間函數(shù)上的時

2、間平移算符，這是一個函數(shù)空間上的幺正算符，其對函數(shù)的作用可寫為2. 時間平移算符對其他算符的作用Hilbert空間中的算符 的時間平移 為3不顯含時間的算符不受時間平移的影響，如用時間平移算符作用于Schrdinger方程兩邊：即 此式普通來說與原來Schrdinger方程不同，由于不一定與 一樣，因此 不一定是系一致個能夠?qū)崿F(xiàn)的形狀。4三、哈密頓具有時間平移對稱性的情況具有時間平移對稱性，即假設(shè)系統(tǒng)的對一切成立，那么Schrdinger方程任何形狀的時間平移態(tài)也是系統(tǒng)的一個能夠的形狀，哈密頓具有時間平移的對稱性即是要求它不明顯依賴于時間，不顯含時間的哈密頓本身是一個守恒量，因此說：系統(tǒng)的哈密

3、頓假設(shè)具有時間平移的不變性 那么導(dǎo)致系統(tǒng)的能量守恒。5留意：時間平移與時間演化是兩個不同的概念。波函數(shù)經(jīng)時間平移后不一定再滿足Schrdinger方程，而時間演化算符作用后的波函數(shù)要服從Schrdinger方程。時間平移算符：( 不顯含時間演化算符：所以： 621-2 時間反演一、態(tài)函數(shù)的時間反演化換1時間反演算符設(shè)系統(tǒng)的 為實(shí)算符不含虛數(shù)，且不含時，無自旋。系統(tǒng)的態(tài)滿足Schrdinger方程： t換成-t：兩邊取復(fù)共軛： 7令 那么 為時間反演態(tài)， 稱為時間反演算符。每一個含時態(tài)都有一個時間反演態(tài)與之對應(yīng)，當(dāng)哈密頓在時間反演下不變時，時間反演態(tài)與原形狀滿足一樣的Schrdinger方程。滿

4、足以下條件： 8的時間反演是位置算符，動量算符和軌道角動量Proof: 取恣意函數(shù)，有所以， 9假設(shè)無自旋系統(tǒng)的不顯含時間，又是動量的二次式，那么有 此時該系統(tǒng)及其哈密頓具有時間反演不變性或時間反演對稱性。這時系統(tǒng)的每一個含時態(tài)的時間反演態(tài)也是系統(tǒng)的一個能夠?qū)崿F(xiàn)的形狀。 10 在經(jīng)典力學(xué)中，假設(shè)單粒子所受的外力 只是位置的函數(shù)而與速度無關(guān)，那么其運(yùn)動方程滿足牛頓第二定律，即2. 時間反演態(tài) t 換成-t：令粒子的時間反演態(tài)為 那么滿足與一樣的運(yùn)動方程。11反演態(tài)的物理圖象：當(dāng)粒子從初始態(tài) 經(jīng)過 時間運(yùn)動到 點(diǎn)，動量為 時，那么其時間反演態(tài)如以 為初始態(tài)，經(jīng)過時間 后，粒子將按原途徑回到 ，而那

5、時動量為 ，情況與將原過程拍成電影倒過來放映一樣。12在量子力學(xué)中，以無自旋粒子系統(tǒng)為例，原來的含時態(tài)Schrdinger方程，而的最普通解是 與其時間反演態(tài)兩者都滿足同一個式中 是能級的簡并度。 時間反演態(tài): 可見：13所以，當(dāng)中不含虛數(shù)的情況下， 雖然仍舊滿足原Schrdinger方程，但不一定等于原過程的倒放。 其緣由是：經(jīng)典力學(xué)只涉及實(shí)數(shù)，而量子力學(xué)涉及復(fù)數(shù)；量子力學(xué)中有形狀疊加原理； 與 之間有較為復(fù)雜的關(guān)系。 143. 時間反演算符的數(shù)學(xué)性質(zhì)無自旋系統(tǒng)的時間反演算符可以寫成不尋常的數(shù)學(xué)性質(zhì)：1時間反演算符不是線性算符，它是反線性算符。 它雖然滿足 但是 152時間反演算符在單一空間

6、的函數(shù)空間中不存在厄米共軛算符。根據(jù)定義，的厄米共軛算符 無論是什么算符，都不能上式成立。所以不存在。 但滿足 因此，時間反演算符是反幺正算符。163由于不存在厄米共軛，時間反演算符不是厄米算符，所以沒有物理量與之對應(yīng)，沒有守恒律與之對應(yīng)4. Hilbert空間中的時間反演算符1反線性算符對左右矢的作用：對線性算符， 對反線性算符，?= 例如：可以設(shè) 那么對反線性算符，有 17假設(shè)對恣意 , ,成立，那么，且有那么必需求求不符合矢量的恣意性，所以對反線性算符，所以對反線性算符要分別表示：和182時間反演算符對態(tài)矢量的作用： 在Hilbert空間中，無自旋系統(tǒng)的時間反演算符對右矢的作用：利用：

7、左乘并積分，得 在Hilbert空間中仍有仍可寫成 左矢方式 其中19內(nèi)積 3Hilbert空間中算符之間的關(guān)系定義一個符號“*： 用這個符號可以把 寫成 所以 與函數(shù)空間中的 對應(yīng)20利用 有那么 以上關(guān)系只需處于左右矢之間時才有意義。由此可見反幺正算符與幺正算符的異同之處。在Hilbert空間中，位置算符，動量算符和軌道角動量算符的時間反演化換為21三、自旋1/2粒子系統(tǒng)的時間反演算符取常用的表象來討論，自旋1/2粒子的時間反演算符除了符合所滿足的21.10式或21.19式之外，還應(yīng)滿足 S是粒子的自旋算符。令 其中 ,是一個矩陣，為自旋空間中的算符。22在表象中， 和都是實(shí)矩陣，而是純虛

8、的，所以應(yīng)滿足才干使 取 即可 時間反演算符 為滿足23四、哈密頓本征函數(shù)的時間反演態(tài)在時間反演下不變，有時可以討論哈密頓本征函數(shù)的時間反演。假設(shè)態(tài)不含時，時間反演實(shí)踐上是 起作由于定態(tài)中的時間因子用取復(fù)共軛。對無自旋粒子，對兩邊取復(fù)共軛，得即的時間反演態(tài)， 可見，當(dāng)哈密頓量具有時間反演不變性時，它的本征函數(shù)的時間反演仍是其本征函數(shù)，而本征值不變。2421-3 實(shí)表示和復(fù)表示引見了如何判別他們之間的關(guān)系屬于哪種類型。主要內(nèi)容：討論了一個空間對稱變換群Q的d 維表示矩陣D(Q)與其復(fù)共軛表示D*(Q)之間的關(guān)系,并重點(diǎn)、變換算符的矩陣表示設(shè)D(Q)是群Q的一組幺正的不可約表示，其基函數(shù)為,其中n

9、是一個給定的數(shù)，i=1,2,3,d25兩邊取復(fù)共軛，得 在上式中，算符的復(fù)共軛的定義為：在位置及表象中將算符中的所以因此，空間對稱變換中的平移，轉(zhuǎn)動和反演算符都滿足 26例如： 所以有 上式闡明：矩陣元為的一組矩陣也是群的一組幺正的不可約表示，其基函數(shù)是27類型1：對一切的 ， 全是實(shí)矩陣，二、表示矩陣的分類 或者雖然不全是實(shí)矩陣，但與一個實(shí)表示等價，這種表示稱為實(shí)表示；這時可以說 是本質(zhì)上的實(shí)表示。另有：當(dāng)表示不全是實(shí)矩陣，但與實(shí)表示等價時，必定與等價。28類型2. 這種表示稱之為贗實(shí)表示。與不等價，類型3.與等價，但不存在一個實(shí)表示與之等價，為群的復(fù)表示。那么2921-4 時間反演引起的附

10、加簡并、附加簡并的一組本征函數(shù)共d 個是其對稱性群Q的d 維幺正不可約表示D(Q)的基函數(shù)設(shè)系統(tǒng)的哈密頓為，知某一特定能級E 30將證明: 這一能級的簡并度只需d 和2d 兩種能夠?？梢园l(fā)生后一種情況，沒有時間反演對稱性時，一定是前者；當(dāng)當(dāng)具有時間反演對稱性時，在一定條件下，這時時間反演引起了多一倍的附加簡并。31附加簡并的解釋: 當(dāng)具有時間反演對稱性時，它的恣意一個本征函數(shù)假設(shè)這些時間反演態(tài)都在原來的表示空間之內(nèi)，那么能級E的簡并度仍為d。假設(shè)一切的時間反演態(tài)都在原來的表示空間之外，又構(gòu)成一個新的d維空間，這個能級的簡并度是2d。的時間反演也是同一能級的本征函數(shù)。32二、結(jié)論三、例子 對于沒有自旋的系統(tǒng)，當(dāng)表示D(Q)屬于類型1時不發(fā)生附加簡并，而當(dāng)表示D(Q)屬于類型2或類型3時，那么發(fā)生附加簡并。1.一維自在粒子： 哈密頓具有平移不變性。33一維位形空間中的平移算符的作用為Hilbert空間(函數(shù)空間)中的平移算符及其作用為一維平移群它有無窮多個不可約表示，都是一維的，其方式取是一個單參量的延續(xù)Abel群，k = 實(shí)數(shù) 34這是一個11矩陣。與不等價，屬于類型3。因此表示所以有附加簡并，每一能級的簡并度為2。及的表示基矢1維分別是乘以時間因子表示向正負(fù)兩個方向