大慶2022年高三下第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項(xiàng)，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1如圖，內(nèi)接于圓，是圓的直徑，則三棱錐體積的最大值為（ ）ABCD2若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的值為（ ）A21B63C13D843如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的結(jié)果是（ ）ABCD4如圖，平面四邊形中，為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折，使點(diǎn)移

2、動(dòng)至點(diǎn)，且，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）ABCD5若與互為共軛復(fù)數(shù)，則（ ）A0B3C1D46已知向量滿足,且與的夾角為,則( )ABCD7已知若（1-ai ）( 3+2i )為純虛數(shù)，則a的值為 （ ）ABCD8已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則（ ）A2B3C-2D-39記單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）ABCD10已知雙曲線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是( )ABCD11關(guān)于函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，下列敘述正確的是（ ）A單調(diào)遞增B單調(diào)遞減C先遞減后遞增D先遞增后遞減12執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（ ）A2B3CD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，

3、共20分。13已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為512，其展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)_14某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖的的值_15的展開式中常數(shù)項(xiàng)是_.16點(diǎn)在雙曲線的右支上，其左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓相切于點(diǎn)，線段的垂直平分線恰好過點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線的斜率為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C：，橢圓E：（）的右頂點(diǎn)A在圓C上，右準(zhǔn)線與圓C相切.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)A的直線l與圓C相交于另一點(diǎn)M，與橢圓E相交于另一點(diǎn)N.當(dāng)時(shí)，求直線l的方程.

4、18（12分）在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足bcosAasinB1（1）求A；（2）已知a2，B，求ABC的面積19（12分）如圖，直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，分別為，的中點(diǎn)，為棱上一點(diǎn)，若平面.（1）求線段的長(zhǎng)；（2）求二面角的余弦值.20（12分）已知橢圓的焦距為2，且過點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于兩點(diǎn)，（）證明：平分線段（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（）當(dāng)取最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)21（12分）一張邊長(zhǎng)為的正方形薄鋁板（圖甲），點(diǎn)，分別在，上，且（單位：）.現(xiàn)將該薄鋁板沿裁開，再將沿折疊，沿折疊，使，重合，且重合于點(diǎn)，制

5、作成一個(gè)無蓋的三棱錐形容器（圖乙），記該容器的容積為（單位：），（注：薄鋁板的厚度忽略不計(jì)）（1）若裁開的三角形薄鋁板恰好是該容器的蓋，求，的值；（2）試確定的值，使得無蓋三棱錐容器的容積最大.22（10分）已知曲線：和：（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和的方程化為極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)與，軸交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為.若射線與，交于，兩點(diǎn)，求，兩點(diǎn)間的距離.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1B【解析】根據(jù)已知證明平面，只要設(shè)，則，從而

6、可得體積，利用基本不等式可得最大值【詳解】因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊?又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以平?在直角三角形中，設(shè)，則，所以，所以.又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查求棱錐體積的最大值解題方法是：首先證明線面垂直同，得棱錐的高，然后設(shè)出底面三角形一邊長(zhǎng)為，用建立體積與邊長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系，由基本不等式得最值，或由函數(shù)的性質(zhì)得最值2B【解析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式可求，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解【詳解】解：因?yàn)?，所以，解可得，則故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題3B【解析】列舉出循環(huán)的每一步，

7、可得出輸出結(jié)果.【詳解】，不成立，；不成立，；不成立，；成立，輸出的值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，一般要將算法的每一步列舉出來，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4A【解析】將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，在中，計(jì)算半徑即可.【詳解】由，可知平面將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記的外心為，由為等邊三角形，可得又，故在中，此即為外接球半徑，從而外接球表面積為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理

8、，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.5C【解析】計(jì)算，由共軛復(fù)數(shù)的概念解得即可.【詳解】，又由共軛復(fù)數(shù)概念得：，.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念.6A【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則展開后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.【詳解】.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)可得，根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】由題可知原式為，該復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的分類，屬基礎(chǔ)題.8B【解析】根據(jù)求出再根據(jù)也在直線上，求出b的值，即得解.【詳解】因?yàn)?，所以所以，又也在直線上，所以，解得所以.故選：B【點(diǎn)睛

9、】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.9C【解析】先利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到的值，再根據(jù)的方程組可得的值，從而得到數(shù)列的公比，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)和前項(xiàng)和，根據(jù)后兩個(gè)公式可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，故即，由可得或，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，故符合.此時(shí)，所以或（舍，因?yàn)闉檫f增數(shù)列）.故，.故選C.【點(diǎn)睛】一般地，如果為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）公比時(shí)，則有，其中為常數(shù)且；（3） 為等比數(shù)列（ ）且公比為.10C【解析】先求得的漸近線方程，根據(jù)沒有公共點(diǎn)，判斷出漸近線斜率的取值范圍，由此求得離心率的取值范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為

10、，由于雙曲線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，所以雙曲線的漸近線的斜率，所以雙曲線的離心率.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的取值范圍的求法，屬于基礎(chǔ)題.11C【解析】先用誘導(dǎo)公式得,再根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象可由向左平移個(gè)單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的平移與單調(diào)性的求解.屬于基礎(chǔ)題.12B【解析】運(yùn)行程序，依次進(jìn)行循環(huán),結(jié)合判斷框，可得輸出值.【詳解】起始階段有，第一次循環(huán)后，第二次循環(huán)后，第三次循環(huán)后，第四次循環(huán)后，所有后面的循環(huán)具有周期性，周期為3，當(dāng)時(shí)，再次循環(huán)輸出的,，此時(shí)，循環(huán)結(jié)束，輸出，故選：B【

11、點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的相關(guān)知識(shí)，經(jīng)過幾次循環(huán)找出規(guī)律是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】先令可得其展開式各項(xiàng)系數(shù)的和，又由題意得，解得，進(jìn)而可得其展開式的通項(xiàng)，即可得答案.【詳解】令，則有，解得，則二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，則其展開式中的第4項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題時(shí)需要區(qū)分展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和與各二項(xiàng)式系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題.143【解析】 由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)以直角梯形為底面，梯形上下邊長(zhǎng)為和，高為， 如圖所示，平面， 所以底面積為， 幾何體的高為，所以其體積為 點(diǎn)睛：在由三視圖還原為空間幾

12、何體的實(shí)際形狀時(shí)，要從三個(gè)視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解15-160【解析】試題分析：常數(shù)項(xiàng)為.考點(diǎn)：二項(xiàng)展開式系數(shù)問題.16【解析】如圖，是切點(diǎn)，是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，所以，又，根?jù)雙曲線的定義，有，即，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，所以，因此.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）或.【解

13、析】（1）圓的方程已知，根據(jù)條件列出方程組，解方程即得；（2）設(shè)，顯然直線l的斜率存在，方法一：設(shè)直線l的方程為：，將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去，可得，同理直線方程和圓方程聯(lián)立，可得，再由可解得，即得；方法二：設(shè)直線l的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，可得，將其與圓方程聯(lián)立，可得，由可解得，即得.【詳解】（1）記橢圓E的焦距為（）.右頂點(diǎn)在圓C上，右準(zhǔn)線與圓C：相切.解得，橢圓方程為：.（2）法1：設(shè)，顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：.直線方程和橢圓方程聯(lián)立，由方程組消去y得，整理得.由，解得.直線方程和圓方程聯(lián)立，由方程組消去y得，由，解得.又，則有.即，解得，故直線l的方程為或.分法2

14、：設(shè)，當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，不符題意.設(shè)直線l的方程為：.由方程組消去x得，解得.由方程組消去x得，解得.又，則有.即，解得，故直線l的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線和橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的分析和運(yùn)算能力.18（1） ； （2）.【解析】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得sinBcosAsinAsinB1，結(jié)合sinB1，可求tanA，結(jié)合范圍A（1，），可得A的值；（2）由已知可求C，可求b的值，根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算得解【詳解】（1）bcosAasinB1由正弦定理可得：sinBcosAsinAsinB1，sinB1，cosAsinA，tanA，A（1，），A

15、；（2）a2，B，A，C，根據(jù)正弦定理得到 b6，SABCab6【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題19（1）（2）【解析】（1）先證得，設(shè)與交于點(diǎn)，在中解直角三角形求得，由此求得的值.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值.【詳解】（1）由題意，設(shè)與交于點(diǎn)，在中，可求得，則，可求得，則（2）以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系.，易得平面的法向量為.，易得平面的法向量為.設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，所以.即二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)線面垂直求邊長(zhǎng)，考

16、查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20（1）（2）（）見解析（）點(diǎn)的坐標(biāo)為【解析】（1）由題意得，再由的關(guān)系求出，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）（i）設(shè)，的中點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程中，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合三點(diǎn)共線的方法：斜率相等，即可得證；（ii）利用兩點(diǎn)間的距離公式及弦長(zhǎng)公式將表示出來，由換元法的對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，可得取最小值時(shí)的條件獲得等量關(guān)系，從而確定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】解：（1）由題意得， ，所以，所以橢圓方程為（2）設(shè)， 的中點(diǎn)為，（）證明：由，可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，得，所以，所以，則直線的斜率為，因?yàn)?，所以，所以三點(diǎn)共線

17、，所以平分線段；（ii）由兩點(diǎn)間的距離公式得由弦長(zhǎng)公式得 所以，令，則，由在上遞增，可得，即時(shí)，取得最小值4，所以當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】此題考那可是橢圓方程和性質(zhì)，主要考查橢圓方程的運(yùn)用，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，同時(shí)考查弦長(zhǎng)公式，屬于較難題.21（1），；（2）當(dāng)值為時(shí)，無蓋三棱錐容器的容積最大.【解析】（1）由已知求得，求得三角形的面積，再由已知得到平面，代入三棱錐體積公式求的值；（2）由題意知，在等腰三角形中，則，寫出三角形面積，求其平方導(dǎo)數(shù)的最值，則答案可求【詳解】解：（1）由題意，為等腰直角三角形，又，恰好是該零件的蓋，則，由圖甲知，則在圖乙中，又，平面，平面，；（2）由題意知，在等腰三角形中，則，令，可得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，有最大值由（1）知，平面，該三棱錐容積的最大值為，且當(dāng)時(shí)，取得最大值，無蓋三棱錐容器的容積最大答：當(dāng)值為時(shí)，無蓋三棱錐容器的容積最大【點(diǎn)睛】本題考查棱錐體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于中檔題22（1），；（2）1.【解析】（1）利用正弦的和角公式，結(jié)合極坐標(biāo)化為