線性代數(shù)模擬題(II)

1、PAGE 1184線性代數(shù)模擬試題(II)一 填空題1 設(shè)有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則應(yīng)滿足的關(guān)系為【提示】按題意是可對(duì)角化的，求其特征值，重根的重?cái)?shù)應(yīng)滿足什么關(guān)系？ 參照教材P125例112 設(shè)是3階實(shí)對(duì)稱矩陣且，則的二次型經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形為【提示】設(shè)的特征值為，它必滿足：，由于實(shí)對(duì)稱矩陣特征值全是實(shí)數(shù)，故的特征值全是2。3 設(shè)3階方陣的特征值為，則【提示】參考教材P122例94 設(shè)矩陣的各行元素之和都等于2，則必有特征值為 2 ，對(duì)應(yīng)的特征向量為【提示】5 設(shè)非齊次方程組系數(shù)矩陣的秩為，且它的三個(gè)解向量滿足，則的通解為【提示】這是教材P111的第29題二 選擇題1 設(shè)都是階方陣，如果，

2、必有（）（）或； （）；（）與有一個(gè)不可逆；（）與有一個(gè)可逆【提示】取行列式2方陣與相似的充分條件是（）() ； （）；() 與有相同的特征值且這些特征值互異； （）與有相同的特征值【提示】注意題中是充分條件，而（）（）（）都是必要條件如果（）成立，則與都可對(duì)角化到同一個(gè)對(duì)角矩陣，3 設(shè)，則與（）() 不合同但相似 () 合同但不相似() 合同且相似 () 既不合同也不相似【提示】是對(duì)稱矩陣，易求得的特征值為和（三重）參見教材P139第21題A可正交對(duì)角化（既合同又相似），對(duì)角矩陣對(duì)角元就是其特征值。 設(shè)是非齊次線性方程組的兩個(gè)不同的解，是的基礎(chǔ)解系，則的通解是() （）；（）（）；（）【提示

3、】與線性無關(guān)，仍然是的基礎(chǔ)解系。是的一個(gè)解。雖然（）有可能是通解，但選擇題應(yīng)選肯定的，故（）不能選。設(shè)，則下面說法不對(duì)的是( )（）的行組與的行組等價(jià) （）與等價(jià)（）的列組與的列組等價(jià) （）的列組與的列組有相同的線性關(guān)系【提示】由題設(shè)（）是對(duì)的，見教材85最上一段（）是對(duì)的，這是矩陣等價(jià)的特征例見教材P59定義（）是對(duì)的，見教材P95第行這也是我們求最大無關(guān)組的依據(jù)三 計(jì)算題1 計(jì)算行列式提示 這是教材P28習(xí)題7（6）從第2列開始每一列減第1列得“爪形”行列式，然后再化三角形得2 解矩陣方程，其中提示 ，可逆，化簡(jiǎn)方程為注意 上三角矩陣的逆矩陣一定是上三角3 設(shè)3階對(duì)稱矩陣陣的特征值為，與特

4、征值對(duì)應(yīng)的特征向量為，（1）求正交矩陣使成為對(duì)角矩陣；（2）計(jì)算提示 這是教材P139習(xí)題20此題是對(duì)稱矩陣正交對(duì)角化的問題，但對(duì)應(yīng)對(duì)的特征向量未知，利用對(duì)稱矩陣的性質(zhì)可求之，與正交的非零向量必是對(duì)應(yīng)于的特征向量，解方程組得基礎(chǔ)解系（最好直接求得正交的，見下面做法），取（是待定參數(shù)）得，令這樣就得正交的基礎(chǔ)解系，也就是對(duì)應(yīng)于的特征向量只要再它們單位化，拼成矩陣即為所求的正交矩陣此時(shí)，注意 上面要非零，才能保證兩個(gè)向量無關(guān)，如果求不出要求再換一種方式。4 設(shè)為三階矩陣，是線性無關(guān)的三維列向量，且滿足（1）求矩陣，使得；（2）求矩陣的特征值；（3）求可逆矩陣，使得為對(duì)角矩陣。提示 ，即上式右邊就是

5、要求的得的特征值就是的特征值，你來求一下。5 求一齊次線性方程組，使其基礎(chǔ)解系為，提示 這是教材P110習(xí)題24設(shè)所求方程組為，由題設(shè)，如果記，則即，這說明的列都是方程組的解。把的解（只需要基礎(chǔ)解系）作為列拼成即可。解方程組，得基礎(chǔ)解系為，令，四 證明題1 設(shè)階矩陣（1）求的全部特征值；（2）證明是正定矩陣；（3）證明提示 （1），由教材P139習(xí)題21知其全部特征值，這里再做一下： 由知有一個(gè)非零特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量就是。另外是對(duì)稱矩陣且知，從而可對(duì)角化，利用秩相等，就知對(duì)角矩陣對(duì)角元必為一個(gè)非零元（即）和個(gè)零，這說明是的重特征值。當(dāng)然也可直接求到此結(jié)論。（2）首先易知是對(duì)稱矩陣，其次特征

6、值為，得證。也可這樣，（3）記，是對(duì)稱矩陣，可對(duì)角化，要證，只需證的特征值全是零（想想這是為什么？）易知的特征值為，下面繼續(xù)算一算是否都是零。了解 你來直接驗(yàn)證結(jié)論：設(shè)，則可逆的充要條件是，此時(shí)，2 設(shè)階矩陣滿足，證明必可對(duì)角化提示 這一題實(shí)質(zhì)上就是教材P110習(xí)題26：下面分析一下二者的關(guān)系：由知的特征值為或1；對(duì)應(yīng)于特征值的無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)為，對(duì)應(yīng)于特征值的無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)為，二者之和說明有個(gè)無關(guān)的特征向量，從而可對(duì)角化。下面再證：一方面，由得，從而見教材P101例13另一方面，由得，了解 如果也有類似的結(jié)論，你來試一試。3 設(shè)是一組維的向量，證明它們線性無關(guān)的充要條件是：任一維向量都可由它們線性表示。教材P110習(xí)題17提示 如果它們線性無關(guān)，則對(duì)任一維向量，線性相關(guān)（n+1個(gè)n維向量），由P90定理5（3），得可由唯一表示。反之，設(shè)任一維向量都可由它們線性表示，特別取坐標(biāo)向量當(dāng)然也可由它們表示，這樣，推得，說明線性無關(guān)（注：這里秩看成是矩陣的秩或向量組的秩都可以）提醒 上述每一步的依據(jù)你都要想清楚，這會(huì)大有好處的。4 設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣，如果它既是正交矩陣又是正定矩陣，證明只能是單位矩陣。提示 對(duì)稱，則