專題講座5-一維問題

1、專題講座5-一維問題1.自由粒子問題自由粒子（處處V=0 ）。在經(jīng)典理論中它意味著等速運動，但是在 量子力學(xué)中這個問題相當(dāng)微妙。定態(tài)薛定諤方程為：力2 d叩=刖, 2m dx2或者d 叩2mE=-k叩，苴中 k三dx 2h用指數(shù)形式來表示其一般解：v （x） = Aeix + Be x.對自由粒子沒有邊界條件去限制k的取值（E的取值）；自由粒子可以具有任何（正的）能量值。加上標(biāo)準(zhǔn)的時間因子，exp（-iEt/h），hk、 t 2 my+ Be-ik x+I我們知道，任何函數(shù)以特定的組合（x土討）依賴變量x和t （對某個 常數(shù)Q都代表一個具有固定波形的在孩方向傳播的波。波形上一個 固定點（例如，

2、最高點或最低點）對應(yīng)著宗變量的一個固定值，使得 變量x和t滿足_x vt =常數(shù)，或者x = + v +常數(shù) 既然波形上的每一點都以同樣的速度運動，波形的形狀在轉(zhuǎn)播的過程 中是不改變的。這樣2.93式右邊的第一項代表一個向右轉(zhuǎn)播的波， 而第二項代表一個向左的波（能量相同）。既然這兩個波的區(qū)別僅在于 k前面的正負(fù)號，我們也可以寫作hk 2中 k （x, t） = Aei（ k 一 2 mt）, 并讓k可以取負(fù)值以包括向左傳播的波：J2mEJk0 n向右傳播，k =,hk 0 n向左傳播.顯然，自由粒子的“定態(tài)”是傳播著的波；它們的波長是人=2兀/|k|， 按照德布羅意公式（1.39式）它們具有動

3、量p = hk.這些波的速度（t前面的系數(shù)除以x前面的系數(shù)）是VE = 2vm 量子另一方面，一個具有能量E = （1/2）mv2（純動能，既然勢能V = 0）的經(jīng) 典自由粒子的速度是V經(jīng)典2 j8 d% = |A|2 (8).表面看來量子力學(xué)波的傳播速度只有它所代表的粒子經(jīng)典速度的一 半！我們馬上會回到這個佯謬一這里還有一個更嚴(yán)重的問題需要我們 首先面對：這個波函數(shù)是不可歸一化的。因為j8 W* 中 d% = A8 k k8對自由粒子來講，分離變量解并不代表物理上可實現(xiàn)的態(tài)。一個自由 粒子不能存在于一個定態(tài)；或者，換句話說，不存在一個自由粒子具 有確定能量這樣的事情。但是這個并不意味著分離變

4、量解對我們沒有用途，因為它們的數(shù) 學(xué)地位是完全不依賴T它們的物理解釋的。含時薛定鄂方程的一般解 仍舊是分離變量解的線性迭加（此時對連續(xù)變量k的一個積分取代了 對分立指標(biāo)n的求和）：e (k )ei (奴-嚀t) dk.81中(%, t) = j 8.、頃（引入因子1/J2T是為了方便）現(xiàn)在這個波函數(shù)是可以歸一化的（對適 當(dāng)?shù)膃（k）。但是必須是對k的一個范圍，因此能量和速度也有一個范 圍。我們稱這樣的波為波包。在一般的量子力學(xué)問題中，是給出中3,0），求中（%,t）。對自由粒 子的解，僅有的問題是如何確定匹配初始波函數(shù)的e（k）:中（%,0） = _ j e（k）eikxdk.8由傅立葉變換“

5、，、1/ 八、，e (k) =j中(%,0) e - ik%d%.例題1 一個自由粒子初始時刻是局域在區(qū)間a x a放：然后在r=0釋 A,。， 式中A和a是正的實數(shù)。求W(x,t)。 解：首先我們需要歸一化中(x,0):中(x,0)=若 一 a x a,其余地方,1 = J一8 其次計算8 (k):， 2 -|W (x,0) |2 dx = |Adx = 2a A2 nA = _L2a8 (k)=fa eikxdx = J2a - aeika 一 e-ika 一1eikx2Jk aikaa1sin(ka)1k和 最后把8(k)代回2.100式中：中(x, t)=二廣 sin(竺ei(k-去d

6、k.兀 W，2a 8 k探討極限情況很有啟發(fā)。如果a非常小，初始波函數(shù)為很窄的針 狀。在這種情況下，有sin(ka) - ka，因此有8 (k) ra ；丸這是不確定原理的一個例子：如果坐標(biāo)的彌散很小，動量的彌散(因 此k的)必須很大。在另一種極限下(a很大)，坐標(biāo)的彌散很大，而a sin(ka)k ka現(xiàn)在，sin z/z的最大值在z = 0，并當(dāng)z = 兀時為零(這對應(yīng)k = 兀/a)。 所以對較大的a，8(k)是以k = 0為中心的一個窄峰。此種情況下，有 一個較確定的動量，但是坐標(biāo)不再很好確定?，F(xiàn)在我們回到前面提到的佯謬：表示一個粒子的分離變量解中（以）以一個”錯誤”的速度傳播。嚴(yán)格來

7、講，這樣的問題是不存在的，因為我們發(fā)現(xiàn)中不代表一個物理上可實現(xiàn)的態(tài)。不過，發(fā)現(xiàn)自由粒一 一 一k子的波函數(shù)1k 2、中（x, t）=j 8。（ k）e s 氟）dk.、環(huán)-8包含有速度的什么信息是令人感興趣的?；镜乃枷胧牵阂粋€波包是 正弦函數(shù)的迭加，其振幅由）調(diào)制；在一個“包絡(luò)線，內(nèi)含有“波紋，。對應(yīng)粒子速度的不是一個個別波 紋的速度（所謂的相速度），而是包絡(luò)線的速度（群速度）一這個速 度，取決T波包的本質(zhì)，可以比組成波包的波紋的速度大或小。對一 個弦波，群速度等于相速度。對水波，當(dāng)你向水塘扔進一塊石頭，也 許曾注意到，群速度是相速度的一半（如果你注意一個個別波紋，你 會發(fā)現(xiàn)它在后部生成，向

8、前運動越過群體，在前面衰減，而群體則以 個別波紋的一半速度傳播）。我們現(xiàn)在要證明的是在量子力學(xué)中自由粒子波函數(shù)的群速度是相速 度的兩倍一正好代表經(jīng)典粒子的速度。現(xiàn)在的問題是確定一般形式波包中(, t) = _ j 8 e (k)ei(k%-ot)dk J2 兀 8的群速度。(對我們的情況o= ( k2/2m)，但是現(xiàn)在講的對所有種類的 波包都適用，無論它的色散關(guān)系一o對k的依賴關(guān)系一如何。)讓我們 假定e(k)是在某個k處的一個狹窄分布。(一個寬的分布也是允許的， 但是這樣的波包波形變化很快一因為不同的組分有不同的速度一所 以具有一個很好定義的速度的“群”的整體概念就會失去意義。)既 然除了

9、k附近外積分可以被忽略，我們可以在這一點對o (k)做泰勒展 開，并僅保留到一次項：o(k) = o +o(k 一k ),式中o 是o對k的導(dǎo)數(shù)在k的值。做變量變換從k到s或-k0 (使積分區(qū)間的中心在k0)，我們有 TOC o 1-5 h z 、1，中(,t) =j e (k + s )ei(k0+s) %-(o0 +o0s)t) ds.頁80在t=0時， HYPERLINK l bookmark56 o Current Document 、1，中(,0)=8。(k + s)ei (k0+s) %ds,寸我80在以后時刻中 3,t) = _1_ ei(%t+k001)j 8 e (k + s

10、)ei(k0 + s)(%t)ds.、環(huán)80除了 變換到(% o t)外，這個積分同中(%,0)的積分是一樣的。所以 0中(, t)蘭 ei(-o0+k0o)t 中( 一 o t ,0).除了前面的一個相因子(它在任何方面都不影響|T |2)外，這個波包顯I然以速度o 0運動：dt(在k=k0取值)。這和普通的相速度相 k是不一樣的。在我們情況中，o=2/2m)，所以o /k =/2m)，而 心/dk=(方k/m)，正好是相速度的2倍。這證實了與經(jīng)典粒子速度相匹 配的是波包的群速度而不是定態(tài)的相速度：V經(jīng)典=群=%2 5 函數(shù)勢阱狄拉克(Dirak)5函數(shù)是原點處一個無限高，無限窄的峰尖，其面

11、積是1：e0,如果x豐0e5(x)= ,且 j 5(x)dx = 1.手,如果x = 0J-家稱它為推廣函數(shù)，或廣義函數(shù))。不過，它在理論物理中非常有用。(例如，在電動力學(xué)中一個點電荷的電荷密度就是一個5函數(shù)。)注 意到5 (x a)是在點a面積為1的一個尖峰。如果你把5 (x a)乘以一個 普通函數(shù)f (x)，這與乘以f (a)是一樣的，f (x )5 (x 一 a) = f (a )5 (x 一 a),因為除了點。外乘積處處為零。特別有，5 (x - a) dx = f (a).j f (x)5 (x - a)dx = f(a)j一這是5函數(shù)最重要的性質(zhì)：在積分號下它“挑選出” f (x)

12、在a點的值。(當(dāng)然，積分不必從3到3；重要的是積分要包含點Q，所以對任何 0，從Q f積到Q +就行。)讓我們考慮下列形式的勢V3)=商 3),其中a為某個正的常數(shù)。固然，這是一個模擬勢(同無限深方勢阱一 樣)，但是它十分簡單便于處理，可以以最少的數(shù)學(xué)來闡明基本理論。8函數(shù)勢阱的薛定鄂方程為力2 d叩_a8 (x)w = By;2m dx2由它可以得到束縛態(tài)(E 0)。首先來看束縛態(tài)。在x 0區(qū)域，V(x) = 0，所以d 叩2mEL = y =K 叩,dx 2力 2式中,2mEK 三 .力(由假設(shè)E為負(fù)值，所以k是正的實數(shù)。)方程的一般解是y (x) = AeK x + BeK x,但是當(dāng)x

13、 r8時第一項趨于無限大，所以我們必須令A(yù) = 0 :y (x) = BeK x,(x 0區(qū)域，V(x)同樣為零，一般解的形式時Fe-Kx + GeKx ；不過此時 當(dāng)xr+8時第二項趨于無限大，所以y (x) = FeK x ,(x 0).現(xiàn)在僅需利用在x = 0的適當(dāng)邊界條件把兩個函數(shù)接合在一起。用 y應(yīng)滿足的標(biāo)準(zhǔn)邊界條件：y總是連續(xù)的；dy /dx 除了勢是無窮大點外是連續(xù)的在現(xiàn)在的情況下，第一個邊界條件告訴我們F = B，所以.=嚴(yán)七3叫I Be -kx, 3 0)；第二個邊界條件不告訴我們?nèi)魏问虑?；這是由于V在結(jié)合處為無 窮大的例外情況，從圖中可以清楚看出函數(shù)在X = 0處有一個彎折

14、。另 外，除了 x = 0點外，8函數(shù)對我們的問題沒有任何影響。顯然w的導(dǎo) 數(shù)在x = 0的不連續(xù)是由8函數(shù)決定的。現(xiàn)在來看8函數(shù)的作用，作為 一個副產(chǎn)物我們將明白為什么通常情況下dw /dx是連續(xù)的?；舅枷胧菍ρΧǘ醴匠虖?e 到e積分，然后取e - 0的極限：-如卜 d2Wdx+ 2m -s dx2卜 V (x)w (x)dx =Efs w (x)dx.-s第一個積分是dw /dx，并在兩個端點處取值；最后一個積分在s 0 極限下為零，因為它是一個高度有限寬度為零的長條的面積。這樣awdx2m一=lirfis V x(w)x dx ) 力2 s 0 -s-s俘+sV dx J一般情況下，

15、右邊的極限也是零，這就是為什么在通常情況下dw /dx 是連續(xù)的。但是，當(dāng)V (x)在邊界上是無窮大時，這個結(jié)論不再成立。 具體有，如果V(x) = -a8 (x)，2.113式給出2 maW (0).力2對現(xiàn)在的情況dW /dx = -Bke-kx, (x 0),所以 dW /dxdW /dx = + Bke+kx, (x 0的散射態(tài)如何？當(dāng)x 0薛定鄂方程為 HYPERLINK l bookmark173 o Current Document d 2W2mE,=-W =- k 叩,dx 2 方 2其中k三E力是實的和正的。一般解是w (x) = Aeikx + Be-ikx,這一次兩項都不

16、能丟掉，因為它們都不趨于無窮大。類似的，對x 0), 所以 dw /dx = ik(F - G), dw /dx = ik(Aeikx - Be-m), 對(x V則T _ 1,R _ 0 粒子越過 勢壘；如果則7 = 0,夫=1它爬上山坡動能耗盡，然后按原路返 回。而量子散射觀象卻非常豐富：即使是&(xp - px).2/zmCDp2 + (mCDx)2-x,/?. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark225 o Current Document 2/zmco2/z利用上面式子，方程2.49可寫為 HYPERLINK l bookmark32 o Curren

17、t Document 11a a =H + _,- +加2(1)H =加 a a .I - + 2 J注意Q和次序非常重要，如果在左邊，則有+口 1a a =H - _.+ - 加 2特別有所以哈密頓量還可以等價的寫成：口1）H 加 a a + 一2）利用a，諧振子的薛定諤方程可寫為如下形式:.1)-枷a a_ 土 2戶刖.現(xiàn)在，下面是關(guān)鍵步驟：如果寸能夠滿足能量為E的薛定諤方程 （即HW理），則a滿足能量為（E +枷）的薛定諤方程： H （a W） （E + 力）（a W）。證明:+H (a W)力 a a(a W)力 a a a +1 _a2 +r1 a、+ W a+k +2 J+r一 1

18、 網(wǎng)aa +1+_ W _ k+ -2 j _=h3a+=a （H + 力）W a （E + 力）W （E + 力）（a W）.同樣可證，a w是能量為（E-枷）的解：H (a W)尬 a a 一(a W)力3aaa1 一 2 JWr. 1 、 一、a 力 3aa -1 - _W=a (H -力 3 )W a (E -力 3 )W- k - +2 J -(E -力3)(a W).所以這是一種生成新解的極好方法，如果我們得到了一個解，通過升 降能量就可以得到其它的解。我們把a叫作階梯算符，因為它們能使 我們升降能級；a+是升階算符，a是降階算符.如果反復(fù)應(yīng)用降階算符，那又會怎樣呢？最終，我們會到

19、達(dá)一個 低于零的能量狀態(tài)，而（根據(jù)一般定理EV.）這根本是不存在！在某個地方這個機制必定是失效的。為什么會出現(xiàn)這種情況？我們知道 aW是薛定諤方程的一個新解，但這并不能保證它是歸一化的一它可 能是零或者它的平方積分可能是無限大的。事實上它是前者：有一個 最低的階梯（稱為w ）使得a 0*我們可以利用這個確定J2力m3 I dxw (x):0d力一+ m3x W = 0,dwm3w=r x o-這個微分方程很容易解：j也竺xdx = mw 竺x2 +常數(shù)， dx 力02力所以，、，m3 “2w （x） = Ae 2h .我們現(xiàn)在對它進行歸一化：1 = A2 j e - m3 x2/ h dx =

20、8所以A2 = m3/丸h，因此,、(m3)1/4wo(x)= 1向 Jem3 22 h x *我們把它代入薛定諤方程以確定相應(yīng)的能量（以方程2.57的形式），h3（a a + 1/2）w = Ew，利用 a w = 0，有：+ -00 0- 0 1E = 2 h現(xiàn)在我們安全地站在梯子的最底部（量子諧振子的基態(tài)），從而我們 可以反復(fù)應(yīng)用升階算符生成激發(fā)態(tài)，每一步增加能量h 3 :W (x) = A (a ) W ,r 1、 氣=n + 2忡,（原則是置常子通揣階算符時反制%，我需確 定所允許的能量.例題 求出諧振子的第一激發(fā)態(tài)。解：利用方程J2 力 m3r _ dy力+ m3 xId人1/ 4

21、_m3把 e 2力(m3 r2 m3_ m 3xe 2 方 x力我們可以直接“手算”對它進行歸一化：W |2dx = A 2,叵r2m3x2e-13%= A 2,1 丫兀力I力）.1恰好，4=1。我們甚至可以用代數(shù)的方法得到歸一化常數(shù)，不過需要一些精巧的步 驟，請留意。我們知道叩是正比于W H的.a W = c W , a“W = d W+ n n n+1一 n n n1但是比例因子c和d是什么？首先注意到a是a的厄密共軛。nn+ 土所以有：卜(a W )*(a W )dx = J* (a a W )*W dx.一8 士 n - n一8 + 士 n n但是:a a V =叩， a a V =

22、(n + 1W ,+ n n + nn所以：JJ (a V )*(a V )dx = |c J + n + nnJJ (a V )*(a V )dx = d nsnJ/J n+12 J卬J n-12dx = (n + 1)Js V 2dx, -J n2 dx.2 dx = nJ陽n s但是由于寸和V 已是歸一化的，可知c |2 = n +1，|d F = n，因此: TOC o 1-5 h z a V = n+1V , a V = nV-+ nV n+1 一 nNn1這樣11 , 、V = a V , V =a V =(a )2V ,V 4=3 a+V 3=f (+ )4V 0，1+ 02,.

23、T + 1 ry +0V = ；=a V =,(a )3V ,33 + 2 v3 - 2 +0依此類推。顯然有1 ，Vn 一 F (a+ )nV0，2.67例題求出諧振子第n態(tài)勢能的期待值。解：:V： = i m 2 x2 I = ! m 2 J J v * x叩 dx.-；22 J n n計算這類積分有非常簡潔的辦法（有關(guān)x和p的冪次的）:根據(jù)定義（方 程2.47）利用升降階算符來表示x和p :x = I工(a + a ); p = iy (a - a ) 2 m w +- V 2+-在日前這個例子中，我們對x 2感興趣:力x2 =1 (a )2 + (a a ) + (a a ) + (a

24、 )22m+ - +-所以(V)=力 j W *(a )2 + (a a ) + (a a ) + (a )2w dx. -4 n + - +- n但是(a )2寸(除了歸一化常數(shù)外)等于甲，它和w是正交的，同樣 (a可 正化于w是。所以這些項被去除；2我們可以利用方程2.65計 算余下的兩項：-2V=年(n+n+1)=2 方小+2 .可以看出，勢能的期待值正好是總能量的一半(另一半當(dāng)然是動能)， 這是線性諧振子的一個特征，后面我們還會看到。4.有限深方勢阱考慮有限深方勢阱：V, a v x v a ,V (x)= a,嚴(yán))a3其中V是(正的)常數(shù)。和8函數(shù)勢阱一樣，這個勢允許有束縛態(tài)(E 0

25、)。我們首先來看束縛態(tài)。在xa區(qū)域，勢為零，所以薛定諤方程為：力2 d2Wd叩K2w-= Ey ,成 一_K 叩，2m dx2i dx 2其中J-2mEK三是正的實數(shù)。一般解是w=4exp(-Kx) + Bexp(Kx)，但是，當(dāng)xr-8時，解的第一項趨于無窮大，所以物理所許可的解是W (x) = B exp(K x),x -ad叩 =-l 叩, dx 2因此，i是一個正的在-a x a區(qū)域，勢仍然為零；其一般解是W (x) = Fexp(-kx) + Gexp(Kx)，但是當(dāng)x 8，第二項趨于無窮大，所 以解為w (x) = Fe-K x ,x a.下一步是加上邊界條件：w和dw / dx在

26、-a和a處連續(xù)。但是注意 到勢能是一個偶函數(shù)，不失一般性，我們可以假設(shè)解要么是奇函數(shù)要 么是偶函數(shù)來簡化問題。這樣做的優(yōu)點是我們僅需要考慮一側(cè)的邊界 條件(比如說在+a處)即可；由于寸(-x) = w(x)，另一側(cè)自動滿足邊 界條件。這里我們僅討論偶函數(shù)解，你們可自己討論奇函數(shù)解。由于 余弦是偶函數(shù)(正弦是奇函數(shù))，所以我們要求的解可以寫為：Fe-心，x a,W (x) = D cos(lx),0 x a,W (-x),x 0 )。在勢阱左邊，V(x) = 0，我們有v (x) = A eikx + B e*,( x -a)其中(和通常一樣)k =2mE.在勢阱內(nèi),hV =-V，v (x)蘭

27、C sin(lx) + D cos(lx)(-a x 0.05 nm 0.05 nm解：這是一道標(biāo)準(zhǔn)的透射題，只不過多了一個勢壘,按步驟 做就行把勢壘表示為0, x 0U ,0 x a = 0.05nma x 2a2a x1U 2,0,在每個區(qū)寫出薛定鄂方程 TOC o 1-5 h z d叩 2o八+ 即=0, x 0dx 2方 2劃 + 空(E - U 卸=0,0 x adx 2方 21d叩2u _-+ (E - U )W = 0,a x 2adx 2方 22d叩2u+即=0,2a xdx 2方 2有題給E =1eV U 2 = 2eV U、= 5eV設(shè)；半,k =廣丫E),七=；*E)得到

28、解為 HYPERLINK l bookmark185 o Current Document W = Aeik0 x + Be-ik0 x,x 0= Cekx + De-kx,0 x aW = Fek2x + Ge-k2x,a x 2a= Keik,x,2a x(此區(qū)域只有透射波(向右的)用波函數(shù)連續(xù)及導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件把K和A聯(lián)系起來，透射幾率為T =段AI2在x=0出A + B = C + D,ik0(A - B) = k(C - D)A. (1+ k / ik )/2* B 廠(1-k：/ik0)/2(1k 2 q(1+ kJ ik) 2人 D )Ceka + De-k,a = Feka +

29、Ge-Ka,k (Ceka De-ka) = k (Feka Ge-Ka)12(1+ k /k )e(k2-k1)a/2* (1-k：/k + k1) a/2(1-kJ k1)e - (k1 + k2) a/2 )F (1+ kJ k)e-(k2-k1) a/2 人 G /Fe2k2a + Ge-2k2a = Kei2k0a ,k (Fe2k2a Ge-2k2a ) = ik Kei2k0a20 TOC o 1-5 h z F.(1+ ik /k )e(ikQ-k2)2a/2 e20所以 HYPERLINK l bookmark400 o Current Document 0V K 0(1 i

30、k / k )e(ik()+ 勺)2a / 2 八 0 j027(1 -k /ik )/2)“1+ k /k 即2-匕)a/21021(1+ k /ik )/2八(1-k /k )e(k2+*/210 八 21(1-k /k )e-(k1 + 勺a/2 (1 + k Ik)e-(k2-恥/2) 21(1+ ik /k )e(ik0-k2)2a/20 200 W K (1 ik / k )e(ik0 +k2)2a / 2八 0 JA_f(1+ k /ik )/2、B 廠(1-k / ik)/210(1 -k /ik )/2)“1+ k /k 即2-匕)a/21021(1+ k /ik )/2JI (1-k /k )e(k2+*/210 八 21(1-k /k )e-(匕+ k2)a /2 (1 + k /k)e-(k2-k1)a/2) 21(1+ ik /k )e(ik0-k2)2aK/2、I 0 20A (1+丫 ik0)/2B J (1-kJ ik0)/2.k2 -