2011-2012學年第2學期線性代數(shù)答案

1、07-08 第一學期線性代數(shù)A工商類 10-1 班LGS.1.2一、填空題（1） 6A1 = 6 3 A1 123因為AA1 = E A A1 = 1 A1 = 1 ，且 A = 010 ，按照第二行展開得到 A 456 A = 13 = 6 12 = 6，故 = 63 = 63 1 = 36146思路總結： A 6矩陣變換和行列式的變換的區(qū)別（易錯），行列式展開的運算，（技巧是選擇零多的一行）注意本題中逆矩陣的求法（重要）。11（2）已知行列式方程 1X13r2 r11X2 = 0 91112r r按照第一列展開X 1X 1 = 2 X 3 X 1 = 0 =右3 12左邊 0X 102邊，

2、解得X1 = 3，X2 = 1X 1 828思路總結：按照行列式運算法則展開得到關于 X 的多項式求根（基本），行列式展開的運算（基本），本題的出現(xiàn)幾率很高，大家要注意。110010（3）已知A = 011 ，可設B = 001 ，則A = E + B A10 = (E + B)10 001000將右邊按二項式公式展開，右邊= C0 E10 + C1 E9B + + C9 EB9 + C10B10 10100E = E2 = E3 = = E10 = 010 001101010010 010001001 010000計算B2 = 001 001 = 000 ；B3 = 000 001 = 00

3、0 000 000000000B3 = B4 = = B10 = 000 000000 000000所以A10 = E + 10B + 45B2（這里只保留下來了的前兩項，其余項都是三階零矩陣）1000100004511045故A10 = 010 + 0010 + 000 = 0110 001000000001思路總結：本題在最近四年的卷子中出現(xiàn)多次，應該注意這種拆項的方法，建議熟記一下，但應該注意計算時不要丟掉二項式系數(shù)。（4）已知A2 + 3A = 4E ；可設 A + E A + A = E ；展開式可以得到A2 + + 1 A = （ ）E + 1 = 3 = 21與比較待定系數(shù)得到方

4、程組：，故為 A + E A + 2E = E = 4 = 661= 1 (A + 2E)又因為 A + E A + E 1 = E；故（A + E）61思路總結：本題求解逆矩陣的題目是基本題型之一，注意這種待定系數(shù)的方法。（5）本題中方程個數(shù)為 1，未知數(shù)個數(shù)為 n，變量個數(shù)=基礎解系中所含向量個數(shù)=未知數(shù)個數(shù)方程個數(shù)= n 1思路總結：注意各個量之間的關系，發(fā)散地聯(lián)系一下秩的有關類似性質，應該將四套卷子維數(shù)、變量、基礎解系中所含向量個數(shù)的題目總結起來，加以區(qū)分。二、計算題010100123（1）設A = 100 ；B = 001 ；C = 456 001010789A1右乘B1故原式等價于

5、AXB = C，在等式兩邊同時即A1AXBB1 = A1CB1 X = A1CB1接下來求A1和B1方法 1：（比較復雜，但卻是基本定義，較為適合于二、三階方陣）11根據(jù)逆矩陣定義A1 = A；B1 = B A B 0因為 A = 1；A = 101同理 B = 1；A = 0010000100100 ，所以A1 = 100 100101001 ，所以B1 = 001 0010方法 2：（方法的思路比較簡單，就是行變換，但是容易計算出錯，適合三階以上方陣）A1，故組合矩陣右邊也相當將(A，E)行變換得到(E，P)時，組合矩陣左邊相當于A1，即P = A1E = A1，從而得到A1。于0故將 A

6、，E = 101同理 B，E = 001000010 10 01 00 11 00 0010010010100100 00 11 00 10 01 010000100 = (E，A1)101 = (E，B1)00 r1r2 010010 r3r2 0100010A1 = 1010101 056123 089000 ；B1 = 0同樣也0100101故X = 100 40017231004001046556 001 = 18901071 = 132 07981111（2.1）解法 1：設A = 11 ，B = 211注意這種由陣變換得到的方陣的逆矩陣就是它本身2r2 r11111故有 A，B =

7、 11 1111 1 2 1 0 10211r3 r1 00 11）當 1時，R A = R A，B = 3，故原方程組有唯一解2）當 = 1時，R A = R A，B = 1 3，故原方程組有無窮多解法則知解法 2：因為系數(shù)矩陣A 是方陣，故有當 A 1時，原方程組有唯一解r2 r11111112=r3 r1故 A = 11 11 0 10 = （ 1） 00 1 0，即 1時原方程有唯一解（2.2）由（2.1）解法 1 可知，當 = 1時原方程有無窮多解111 1故當 = 1時，（A, B） 000 0 000 01）先求原方程對應的方程的通解X110令 = 及 ，則對應有 X1 = 1

8、及 1 X20111= 0 1故原方程對應方程的基礎解系為 ，= 1012X111原方程對應方程的通解為 X2 = C1 1 + C2 0 ，(C1，C2 R)X3方程的特解012）再求一個非X20令 = ，則得到 X1 = 1 X30X11方程的特解為 X2 = 0 故一個非X30綜上所述：當 = 1時，對應的非方程組的通解為X1111 X2 = C1 1 + C2 0 + 0 ，(C1，C2 R)X3010（3）由題意可知 112110034 21r2 r111211012r1 + r2= 1012 03 1 0131 r4 r3 r3 + r40131100000000000000r (

9、1)0132由上式R 12 34 = 2，故 12 為列向量的一個最大無關組關于法則詳見第一章 22 頁注意如何寫矩陣，是一列一個向量，而不是一排一個向量，切記！最大無關組也可取為 1 3 ，或 1 4 ，或 2 3 ，或 2 4 3則另外兩個向量可用所選的最大無關組表示為：3 = 1 + 32，4 = 21 2（4）r1 12 1 n 111 212n 2n200021A = = T 1n = r2 2r2 2 0n 00 n 22n 1n rn nrn因 A 與對角陣= diag 1，2， ，n 相似，其中1，2， ，n是 A 的全部特征值R A = 1從而R = 1，于是只有一個非零對角

10、元，即 = 0是A 的n 1重特征值其次，求 A 唯一的非零特征值，不妨設1 0，由特征值的性質1 + 2 + + n = 2 +12 + 2， + 0 + + 0 = 2 + 2 + 2 = T = 12n112n綜上所述：A 的全部特征值為 1，2， ，n = （1，, 0,0， ，0）（5）首先1與n1 個 02，3正交即等價于2，3是方程TX = 0的解112該方程系數(shù)矩陣A = 000 000X210令 = 及 ，則 X1 = 1 及 1 X3012210故方程的兩個線性無關解為= 0 ，= 1 121212再使 ， 正交化1201 2 ， 1 5 2令2 = ，3 = 3 2 =

11、1 1 0 =1 2 ，2 125 1522311綜上所述得：2 = 0 ，3 = 1 5 1252三、解矩陣方程AX A = 2X A 2E X = A X = (A 2E)1Ar2 r1100 3，A = 110 1111 100100 3001 A 2E30 r3 r1 010 230 = E，(A 2E)A 13001 023r3 r23故X = (A 2E)1A = 20四、證明題0030 23（1）證明：設A = 1，2， ，r ，B = e1，e2， ，er 一方面，由題設條件 e1，e2， ，er = （1，2， ，r）C知，向量組 B 能被向量組 A 線性表示另一 方面 ，

12、因 為e1，e2， ，er 是 n 維坐 標向 量 ， 故存 在矩陣 P ，4 1，2， ，r = e1，e2， ，故向量組 A 能被向量組B 線性表示故綜合上述兩點，向量組 A 和向量組 B 可以相互表示，可知向量組 A 與向量組 B 等價，可知C 為可逆矩陣，且C1 = P。A 與向量組 B 等價，故R A = R B = r，故向量組（2）證明：由（1）可知向量組A = 1，2， ，r 線性無關。五、用正交變換化二次型為2二次型矩陣為A = 121222 21由題設r1 + r2=r1 + r3r1 5 2 12 2221 111特征多項式為 A E = (5 ) 12 2 12221

13、r2 r1=r3 2r21111 11 1 5 01 00 = 5 1 = + 1 1 ( 5)0特征值為1 = 1，2 = 1，3 = 53121101 01）當1 = 1時，解方程 A + E X = 0，由A + E = 132 022220011得特征向量p1 = 1 62112）當2 = 1時，解方程 A E X = 0，由A E = 112221102 001 00001 1 01 2得特征向量p2 =33）當3 = 5時，解方程 A 5E X = 0，由A 5E = 1212111001 032 02401 1 11 3得特征向量p3 =令P = p1，p2，p3 ，則 P 為正

14、交陣，再做正交變換X = PY1 6 1 61 21 3 1 3 1 3X1即 X2 =Y1 Y2 Y1 20X3 1 63 f = Y2 + Y2 + 5Y2綜上所述：化 f 為123508-09、09-10、10-11 第一學期線性代數(shù) ALGS.H.0工商類 10-1 班（08-09）一、填空題b1b3b2（1）84；（2）1 或 3；（3） A + 2E 1 = 1 A 3E ；（4）n 2；（5）X = a1a3a2 4c1c3c2二、計算題a10（1）An = 010a945a8a1010a9 ； a1000（2）當 1且 2時，原方程組有惟一解；當 = 1時，原方程組無解；當 =

15、 2時，X101原方程組有無窮多解，通解為 X2 = C 1 + 2 X31011（3）X = C 2 + 1 ，C R；提示：因為，線性無關，所以() ，1011又因為能由，線性表示，所以，線性相關，所以() ；() = ；所以原方程的基礎解所含列向量個數(shù)為 = ，又因為 = + = ，所以 = (, , , ) 是 = 的解；又因為 = + + + ，所以 = (, , , )是 = 的特解；所以 = 的通解為 = + ， 1= （4）證明過程只需說明矩陣的行列式不為 0 即可， A B0A10 CB1CA1B1（5）x = 3；提示：特征值為1 = 2 = 1，3 = 6三、求行列式的值

16、n1Dn = 1 + i1 n!i=1四、證明題（1）證明由三個已知列向量組成的列向量組的秩為 3 即可（2） 1 = 21 + 32 32 = 31 32 23五、用正交變換化二次型為1 21 6 11 3 1 3 1 1特 征 值 為 = = 1， = 1 ； 正 交 陣 為 P =； 二 次 型 為123 20 6 1 3 6 3f = y2 y2 + y2；提示：這道題中有重根1 = 2 = 1，當代入求其對應方程的根時，要1236注意求出兩個線性無關的解，并將這兩個解向量正交化、化，具體公式可參照書上第114 頁正交化公式。（09-10）一、簡單計算1104513216510（1）1

17、 或 3（2）4（3）A= 0110 （4）A 001= 29799 （5）99 個二、X = 211 474三、a = 1或a = 2；提示：判斷線性相關，方法一是使得列向量組成的矩陣的秩小于維數(shù) n（即一個列向量中數(shù)字個數(shù)，本題是 3），或者，當矩陣式方陣時使用由矩陣的行列式等于 0 求的 X 的數(shù)值。法則，四、當 1且 10時，原方程組有惟一解；當 = 10 時，原方程組無解；當 = 1時，1X101原方程組有無窮多解，通解為 X2 = C1 0 + C2 1 + 0 12X1031 6 2 61 31 20 1 1五、D = 3 1 3 1 6 24X11790X201六、非方程組的一

18、個解 X3 = 14 ；基礎解系 1 = 7 ， 2 = 7 ；提21X004示：本題詳解過程可參考第四章練習 26（2）的。七、 v1 = 21 + 32 3v2 = 31 32 + 232 523 5八、特征值為1 = 2 = 2，3 = 7 ； 正交陣為P =； 二次型為 23 3 5f = 2y2 + 2y2 7y2；提示：這道題中有重根 = = ，當代入求其對應方程的根時，要123注意求出兩個線性無關的解，并將這兩個解向量正交化、化，具體公式可參照書上第114 頁正交化公式。（10-11）一、填空題1（1）32；提示： 2A = 2 A A1 = (2 A )3 A1 = 8 A 3

19、 = 8 A 2 = 32 A a1010a945a8（2）A10 = a1010a9 ；解答方法參見 07-08 卷a10000（3）(A + 2E)1 = 1 (A 3E)；解答方法參見 07-08 卷47 = ( )，（4）X = 3；提示：設為特征值， = 解得 = ， = = ，當 = = 時， = ，根據(jù)題目要求有 = ，故 = ，解得 = （5）3 維；提示：維數(shù)為變量，故維數(shù)為 3 維二、計算題變量個數(shù)，這里，為變量，為非1（1）X = 245（2）X = 4212 ；解答方法參見 07-08 卷72232 ；解答方法參見 07-08 卷23（3） A 3A + 2E = 25

20、；提示：因為三階矩陣 A 的特征值為 1,2,3，所以 = = ；先化簡原式 + = + = + ；再設多項式 = + ；故 = ， = ， = ；所以原式=25（4）(1 + n1 ) n ai；i=1 aii=11 + a11a1a20100 r2 r1=1 + a1 11111 + a提示：Dn = 2 a1a10a3 1 + an rn r11100anc + c2 an11a210 0 ann111 + a1 + a1 aa2nn1=ii=2= 1 + a1 + a1 aiai c + cn ai=2i=20n1annnn11= a1 1 + ai ai = (1 + ai) aii

21、=1i=2i=1i=11（5） A0= A10 ；提示：可以用待定系數(shù)法和行變換法兩種方法 CBB1CA1B1方法 1：待定系數(shù)法設 A0 DF = E0 ；左邊打開得到 ADAF = E0 ；進而得到CBGH0AD = EECD + BECF + BH0ED = A1 F = 0G = B1CA1 H = B11= AF = 0；故 A B0A10方程組 ；解得 CD + BE = 0 CF + BH = 0CB1CA1B1方法 2：行變換法8設P = A0 ；CBA1r1B1r210 r2 CAr1 A0 A0 A1 P，E = A0E E00B1 0BCA1BCB0E0EB1CA1三、計

22、算題當 1 且 2時，原方程組有惟一解；當 2時，原方程組無解；X115（3）當 1時，原方程組有無窮多解，通解為 X2 = C1 1 + 2 ；提示：這里通解X310結果不一定相同，但是總是一個原方程組對應的相應的解答過程可參照 07-08 卷方程的通解加上一個原方程的特解。四、求最大無關組并把其余向量用最大無關組表示R A = 3 ，故 A 的一個最大無關組為a1，a2，a3 ，用a1，a2，a3 表示a4，a5 為a4 = a1 + 3a2 a3 ；提示：最大無關組的取法不同，也就不同。a5 = a2 + a3五、用正交變換將二次型化1 31 2 特 征 值 為 1 = 2，2 = 3 = 1 ， 正 交 陣 為 P =， 二 次 型 為 2 6f = 2y2 y2 y2；提示：這道題中有重根 = = ，當代入求其對應方程的根時，要123注意求出兩個線性無關的解，并將這兩個解向量正交化、化，具體公式可參照書上第114 頁正交化公式。另附 07-08一、填空題（經濟版）：11045= 0110 ；（ 0011110（1）36；（2）1 或 3；（3）A4）（A + E） = 6 (A + 2E)；（5）n 1二、計算題X14651（1）X = 132 （2）當 1時，原方