2021-2022學(xué)年上海市華東師范大學(xué)附屬高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)第 Page * MergeFormat 18 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 頁(yè)2021-2022學(xué)年上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1函數(shù)，正確的命題是（ ）A值域?yàn)锽在 是增函數(shù)C有兩個(gè)不同的零點(diǎn)D過(guò)點(diǎn)的切線有兩條【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)值域、單調(diào)性、零點(diǎn)與切線.【詳解】因?yàn)?，所以，因此?dāng)時(shí)在上是增函數(shù)，即在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)在上是減函數(shù)，因此；值域不為R;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，即只有一個(gè)零點(diǎn)；設(shè)切點(diǎn)為，則，所以過(guò)點(diǎn)的切線只有一條；綜上選B.【點(diǎn)睛

2、】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)值域、單調(diào)性、零點(diǎn)與切線，考查基本分析求解能力，屬中檔題.2已知函數(shù)，那么下列說(shuō)法正確的是（）A在點(diǎn)處有相同的切線B函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)C對(duì)任意恒成立D的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】D【分析】結(jié)合切線的斜率、極值點(diǎn)、不等式恒成立、函數(shù)圖象的交點(diǎn)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，令，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以有極小值也即是有最小值，無(wú)極大值，無(wú)最大值，函數(shù)有個(gè)極值點(diǎn)，所以有個(gè)零點(diǎn)，也即的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，所以BC選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.故選：D3關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）是極大值點(diǎn)；函數(shù)有且僅有個(gè)零點(diǎn)；存在正實(shí)數(shù)，使得成立

3、；對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)、且，若，則.ABCD【答案】D【分析】利用極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷的正誤；利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的極值與單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷的正誤；利用參變量分離法結(jié)合導(dǎo)數(shù)可判斷的正誤；利用對(duì)數(shù)平均不等式結(jié)合基本不等式可判斷的正誤.【詳解】對(duì)于，函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，是極小值點(diǎn)，錯(cuò)；對(duì)于，令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，函?shù)有且僅有個(gè)零點(diǎn)，對(duì)；對(duì)于，若存在正實(shí)數(shù)，使得成立，則，令，其中，則，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則，所以，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，則無(wú)最小值，故不存在正實(shí)數(shù)，使得

4、成立，錯(cuò)；對(duì)于，先證明，其中，即證，令，即證，令，其中，則，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，由，得可得，所以，所以，因此，對(duì).故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.4已知函數(shù)，若的零點(diǎn)都在區(qū)間內(nèi)，當(dāng)取最小值時(shí)，則等于（

5、）A3B4C5D6【答案】C【分析】先求得函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，并用零點(diǎn)存在性定理求得函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間，零點(diǎn)向右移個(gè)單位后得到的零點(diǎn)，即可求解.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，根據(jù)等比數(shù)列求和公式，有，故函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，所以零點(diǎn)在內(nèi)，故當(dāng)取最小值時(shí)，所以.故選：C二、填空題5函數(shù)在上的最大值為_(kāi).【答案】2【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，研究其在給定區(qū)間的單調(diào)性，求出極值，從而可得出最值.【詳解】因?yàn)?，所以，由得或；由得；又即函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值；又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此函數(shù)在上的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查由導(dǎo)

6、數(shù)的方法求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題型.6已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則不等式的解集為_(kāi).【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以，則函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，即，解得.因此，不等式的解集為.故答案為：.7已知函數(shù)，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi).【答案】【分析】先證，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，可得恒成立；當(dāng)時(shí)，可得，即可求解結(jié)果【詳解】由題意可知，令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則恒成立；由，則當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，則對(duì)恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由得或又因?yàn)榍液瘮?shù)為奇函數(shù)，所以可得，解

7、得，則，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為：8若函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是_.【答案】【分析】將題意轉(zhuǎn)化為：，使得，利用參變量分離得到，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解即可【詳解】，其中，則由于函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則，使得，即，構(gòu)造函數(shù)，則，令，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，則，所以，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)，一般來(lái)講，函數(shù)的單調(diào)性可以有如下的轉(zhuǎn)化：（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，；（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，；（3）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，；（4）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，；（5）函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極值點(diǎn)9已知在一次降雨過(guò)程中，某地

8、降雨量（單位：mm）與時(shí)間（單位：mm）的函數(shù)關(guān)系可近似表示為，則在時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度（某一時(shí)刻降雨量的瞬間變化率）為_(kāi)mm/min.【答案】【分析】將函數(shù)關(guān)于求導(dǎo)，再將代入上式的導(dǎo)函數(shù)，即可求解【詳解】解：因?yàn)?，故在時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度（某一時(shí)刻降雨量的瞬間變化率）為mm/min.故答案為：10已知函數(shù)f（x）=ex-2x+a有零點(diǎn)，則a的取值范圍是_【答案】【分析】根據(jù)零點(diǎn)定義，分離出 ，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究的值域來(lái)確定 的取值范圍【詳解】根據(jù)零點(diǎn)定義，則 所以令則，令解得 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)取得最小值，最小值為 所以由零點(diǎn)的條件為 所以，即的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查了

9、函數(shù)零點(diǎn)的意義，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，分離參數(shù)法的應(yīng)用，屬于中檔題11已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是_【答案】【分析】求導(dǎo)，x=0代入求k，點(diǎn)斜式求切線方程即可【詳解】則又故切線方程為y=x+1故答案為y=x+1【點(diǎn)睛】本題考查切線方程，求導(dǎo)法則及運(yùn)算，考查直線方程，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題12寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)：_.在上單調(diào)遞增；曲線存在斜率為4的切線.【答案】（答案不唯一）【分析】由在上單調(diào)遞增，知，曲線存在斜率為4的切線，則有解，知，故滿足即可.【詳解】函數(shù)滿足在上單調(diào)遞增，則恒成立，即曲線存在斜率為4的切線，則有解，即即滿足，解得.故答案為：13已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有

10、極值，則函數(shù)在上的最大值為_(kāi).【答案】13【解析】由題可得在的導(dǎo)數(shù)值等于0，可求得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，即可求出最值.【詳解】，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，在處取得極大值，且，在上的最大值為13.故答案為：13.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上最值的方法：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）求出極值，端點(diǎn)值，即可判斷出最值.14已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)、.如圖，則下列說(shuō)法正確的是_當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值；有兩個(gè)極值點(diǎn);當(dāng)時(shí)函數(shù)取得極小值；當(dāng)時(shí)函數(shù)取得極大值；【答案】【分析】由導(dǎo)函數(shù)的圖像判斷出函數(shù)

11、f(x)的單調(diào)性，從而得到極值的情況，即可得到正確答案.【詳解】由圖象可知,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .所以函數(shù)f(x)在上單增，在上單減，在上單增，無(wú)最大最小值，所以錯(cuò)；f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)1和2，且當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)取得極小值，當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取得極大值，所以正確.故答案為：.15若對(duì)恒成立，則的取值范圍是_;【答案】【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，即，設(shè)，再利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，最后求出的取值范圍【詳解】解：設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，由對(duì)恒成立，得，即，則，即設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故的取值范圍是故答案為：16設(shè)函數(shù)，若存在的極大值點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_;【答案】【分析】求出函數(shù)

12、的導(dǎo)數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出以及的值，得到關(guān)于的不等式，解出即可【詳解】解：因?yàn)樗?，令，解得或，令，解得，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故是的極大值點(diǎn)，即，而，故，即，即，解得：，故答案為：三、解答題17已知函數(shù)(1)求曲線在處的切線方程；(2)若不等式恒成立，求的范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，進(jìn)而得到，寫(xiě)出切線方程；（2）將不等式在恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，令，求得其最小值即可.【詳解】(1)解:，切線方程為.(2)不等式在恒成立，即恒成立，令，令，在區(qū)間為增函數(shù)，且，滿足，則為減函數(shù)，為增函數(shù)，所以，又因?yàn)?，又因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)所以，18已知的圖象在處的切線與

13、直線平行（1）求函數(shù)的極值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）極大值為，無(wú)極小值；（2），【分析】(1)可利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出a的值,然后利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)的極值;(2)所給不等式含有兩個(gè)變量,通過(guò)變形使兩個(gè)變量分別在不等式兩側(cè),然后構(gòu)造新函數(shù)g(x),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性即可求解m的范圍.【詳解】（1）的導(dǎo)數(shù)為，可得的圖象在，（1）處的切線斜率為，由切線與直線平行，可得，即，由，可得，由，可得，則在遞增，在遞減，可得在處取得極大值為，無(wú)極小值；（2）可設(shè)，若，可得，即有，設(shè)在為增函數(shù)，即有對(duì)恒成立，可得在恒成立，由的導(dǎo)數(shù)為得：當(dāng)，可得，在遞減，在，遞增，即有在處取得

14、極小值，且為最小值，可得，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解參數(shù)的值和范圍,屬于中等難度題型,第一問(wèn)解題中關(guān)鍵是導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用;第二問(wèn)中關(guān)鍵是將不等式轉(zhuǎn)化,然后構(gòu)造新函數(shù),再利用新函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)m的范圍.19已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求k的值；(3)記函數(shù)，設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，且恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出切線方程；（2）求出的導(dǎo)數(shù)，判斷的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理判斷即可；（3）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，依題意

15、方程有兩不相等的正實(shí)根、，利用韋達(dá)定理，結(jié)合的取值方程，即可求出的取值范圍，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，從而得解【詳解】(1)解：因?yàn)?，所以，切線斜率為，又，切點(diǎn)為，所以切線方程為；(2)解：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以的極小值為，在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)；又，在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)綜上，的值為0或3；(3)解：函數(shù)，所以，由得，依題意方程有兩不相等的正實(shí)根、，又，解得，構(gòu)造函數(shù)，所以，在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，所以20某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B，及CD的中點(diǎn)P處，已知km,為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD

16、的區(qū)域上（含邊界），且A，B與等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO，BO，OP，設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為ykm（I）按下列要求寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式：設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式（）請(qǐng)你選用（I）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排水管道總長(zhǎng)度最短【答案】（I）（）選擇函數(shù)模型，P位于線段AB的中垂線上且距離AB邊處【詳解】（I）由條件可知PQ垂直平分AB，則故，又，所以，則，所以，所以所求的函數(shù)關(guān)系式為（）選擇函數(shù)模型令得，又，所以當(dāng)時(shí)，是的減函數(shù)；時(shí)，是的增函數(shù)所以當(dāng)時(shí)當(dāng)P位于線段AB的中垂線上且距離AB邊處21已知函數(shù)（），為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).(1)若為函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值;(2)當(dāng)有且只有兩個(gè)整數(shù)滿足不等式時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)對(duì)任意時(shí)，任意實(shí)數(shù)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】(1)或(2)(3)【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意，即可得到方程，解得，再代入檢驗(yàn)即可；（2）依題意有且只有兩個(gè)整數(shù)滿足不等式，再分和兩種情況討論，分別得到不等式組，解得即可；（3）由，令利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，即可得到，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】(1)解：因?yàn)?，所以，依題意，解得或；當(dāng)時(shí)，則，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)