14.2.1平方差公式17

1、14.2乘法公式（第一課時(shí)）一內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容平方差公式內(nèi)容解析“平方差公式”是人教版義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書（八年級上冊）第14.2“乘法公式”的第一課時(shí). 平方差公式是在學(xué)習(xí)了有理數(shù)運(yùn)算、整式的加減、一次方程及不等式及整式乘法等知識的基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)的，是多項(xiàng)式相乘的延伸與升華，是以后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)的運(yùn)算與化簡中有著廣泛的應(yīng)用。平方差公式是多項(xiàng)式乘法中的一種特殊形式，即多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，其結(jié)果為，把這種特殊形式作為公式，今后遇到這種形式的多項(xiàng)式相乘時(shí)，可直接寫出結(jié)果，簡化其運(yùn)算過程，這就是平方差公式這個(gè)核心概念的本質(zhì)。從多項(xiàng)式乘法到乘法公式是從一般到特殊的認(rèn)知過程，平方差公式的結(jié)構(gòu)與特

2、征的學(xué)習(xí)與研究對學(xué)習(xí)完全平方公式具有一定的指導(dǎo)意義。從幾個(gè)具體的多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算，經(jīng)過觀察，比較，抽象概括岀一般的形式，并通過符號推理獲得公式的符號表示及語言表述。體現(xiàn)了抽象、概括的數(shù)學(xué)基本思想。綜上的分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：平方差公式的抽象過程及對公式的結(jié)構(gòu)、特征的理解，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算.目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）理解、掌握平方差公式，能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算；（2）經(jīng)歷平方差公式的探索過程，體會從具體到抽象的研究問題的方法，在驗(yàn)證公式時(shí)體會數(shù)形結(jié)合思想。發(fā)展學(xué)生的符號感和抽象概括、推理能力；（3）通過公式的應(yīng)用，使學(xué)生養(yǎng)成仔細(xì)認(rèn)真的做事習(xí)慣.2.目標(biāo)解析學(xué)生在經(jīng)歷“特例歸納猜想

3、驗(yàn)證用數(shù)學(xué)符號表示”這一數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中，體會平方差公式的結(jié)構(gòu)、特征及公式中字母的廣泛含義，理解平方差公式的意義，掌握運(yùn)用平方差公式解決問題的方法.并在練習(xí)中，對發(fā)生的錯(cuò)誤做具體分析，加深對公式的理解.在數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)符號感，培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括、歸納、推理能力. 通過幾何圖形說明公式的意義，體會數(shù)形結(jié)合的思想，在解決問題過程中養(yǎng)成獨(dú)立思考及與他人合作交流的習(xí)慣.三教學(xué)問題診斷分析學(xué)生在進(jìn)行多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)常常會確定不好某些項(xiàng)、項(xiàng)的符號及漏項(xiàng)等問題因此，學(xué)習(xí)平方差公式的困難在于對公式的結(jié)構(gòu)、特征以及公式中字母的廣泛含義的理解。找準(zhǔn)哪個(gè)數(shù)或式相當(dāng)于公式中的“第一個(gè)數(shù)”a，找

4、準(zhǔn)哪個(gè)數(shù)或式相當(dāng)于公式中的“第二個(gè)數(shù)”b,有時(shí)會有困難因此，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生分析公式的結(jié)構(gòu)特征，并運(yùn)用變式訓(xùn)練揭示公式 的本質(zhì)特征，以加深學(xué)生對公式的理解本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：平方差公式的變式應(yīng)用.教學(xué)條件支持分析借助多項(xiàng)式乘法的相關(guān)法則，加深對乘法公式概念本身的理解，為平方差公式的推導(dǎo)提供服務(wù)，借助多媒體的使用，幫助學(xué)生直觀的感受平方差公式的幾何意義，通過多媒體展示學(xué)生的典型的解法及解題時(shí)出現(xiàn)的問題，作為范例進(jìn)行指導(dǎo)，使學(xué)生們互相借鑒.五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）.復(fù)習(xí)引入問題：在上節(jié)的學(xué)習(xí)中我們學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式的乘法，知道了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，根據(jù)所學(xué)知識計(jì)算下列多項(xiàng)式的積.（1）（x+1）（x-1）=

5、 ；（2）（m+2）（m-2）= ；（3）（2x+1）（2x-1）= 師生活動(dòng)：學(xué)生計(jì)算，三位學(xué)生到黑板上板書，小組內(nèi)互相交流、互評，學(xué)生講解。設(shè)計(jì)意圖：通過對特殊的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)算，既復(fù)習(xí)了舊知，又為下面學(xué)習(xí)平方差公式作了鋪墊.（二）.探究新知問題：觀察以上算式及其計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？師生活動(dòng)：先由學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立觀察、思考，然后，同學(xué)們合作交流.最后，教師引導(dǎo)學(xué)生回答發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：相乘的兩個(gè)多項(xiàng)式中，一個(gè)多項(xiàng)式可看成兩個(gè)數(shù)的和，另一個(gè)多項(xiàng)式可看成是這兩個(gè)數(shù)的差，其結(jié)果是這兩個(gè)數(shù)的平方差.即： .教師引導(dǎo)學(xué)生一起運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法來驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論是否正確.之后，教師揭示這個(gè)運(yùn)算規(guī)律作為平

6、方差公式使用，今后遇到時(shí)，可直接寫出計(jì)算結(jié)果.1.平方差公式：.設(shè)計(jì)意圖：1.讓學(xué)生體會由具體到一般的抽象的過程，即觀察，比較，抽象，概括，推理的過程;2.讓學(xué)生感受從一般到特殊的認(rèn)識規(guī)律，引出乘法公式-平方差公式問題3：在平方差公式中，觀察其結(jié)構(gòu)有哪些特征？特征為：1.左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，其中“a與a”是相同項(xiàng)，“b與-b”是相反項(xiàng)；右邊是二項(xiàng)式，相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方，即；2.字母a和b，代表一個(gè)數(shù)或代表一個(gè)字母或代表一個(gè)代數(shù)式.師生活動(dòng)：結(jié)合上面的3個(gè)練習(xí)，讓學(xué)生說明3個(gè)算式中，哪些式子相當(dāng)于公式中的a和b，明確公式中a和b的廣泛含義，歸納得出：a和b可能代表數(shù)或式設(shè)計(jì)意圖：通過

7、觀察平方差公式，體驗(yàn)公式的簡潔性并通過分析公式的本質(zhì)特征掌握公式在認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步剖析a、b的廣泛含義，使學(xué)生在公式的運(yùn)用中能得心應(yīng)手，起到事半功倍的效果問題4：你能用文字語言表示平方差公式嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生回答問題，有不全面的學(xué)生之間互相補(bǔ)充，最后教師完整的簡潔的給出其語言表達(dá).語言表述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差設(shè)計(jì)意圖：通過語言的表述，將符號語言轉(zhuǎn)化為文字語言加深學(xué)生對公式的理解，同時(shí)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力2平方差公式幾何意義問題5：如圖1所示，計(jì)算它的陰影部分面積，你有什么好方法嗎？師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生獨(dú)立思考，然后小組合作交流，

8、學(xué)生代表發(fā)言.大部分同學(xué)都能想到分別計(jì)算兩個(gè)矩形的面積再求和,即：；教師追問，哪位同學(xué)有補(bǔ)充？部分學(xué)生能想到先分別求出兩個(gè)正方形的面積再求差,即：；教師繼續(xù)追問，還哪位同學(xué)有補(bǔ)充？學(xué)生可能短時(shí)間想不出來，教師啟發(fā)學(xué)生思考，可以不可以把小矩形剪下來補(bǔ)在大矩形的短邊上呢？同學(xué)們思考一會后教師給出圖2，此時(shí)可以整體計(jì)算其面積，即：.最后教師引導(dǎo)學(xué)生，不同的方法算的都是同一個(gè)圖形的面積，結(jié)果應(yīng)該是相等的.由此可得：=從而驗(yàn)證了=的成立設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生獨(dú)立思考、小組合作及教師引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生完成此項(xiàng)活動(dòng),利用這些圖形面積的相等關(guān)系,進(jìn)一步從幾何角度驗(yàn)證了平方差公式的正確性,滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生認(rèn)識

9、到平方差公式的幾何意義，使學(xué)生更好地理解這一公式(三)應(yīng)用舉例、鞏固練習(xí)例1 運(yùn)用平方差公式計(jì)算：（1）（3x +2）（3x2）；（2）（- x + 2y）（- x2y）師生活動(dòng)：師生共同分析解答，教師板書（1），一名學(xué)生到黑板板書（2），其它學(xué)生寫在練習(xí)本上；教師和學(xué)生一起審核學(xué)生的解法（公式中的a和b運(yùn)用的是否準(zhǔn)確）；其它學(xué)生的典型解法或出現(xiàn)的問題投影展示，教師引導(dǎo)解決.在（1）的講解過程中引導(dǎo)學(xué)生明確本題中哪一個(gè)數(shù)或式子相當(dāng)于公式中的a和b. 然后依照公式，寫出平方差，再化簡得出結(jié)果. 在展示（2）的過程中，注意學(xué)生是否能按上述做法講述出來，還有沒有其它解法。解：（1） （2） (- x

10、 + 2y)( -x - 2y)=(-x)2 - (2y)2 = x2- 4y2設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生熟悉公式的結(jié)構(gòu)特征，找準(zhǔn)a ,b.也可用不同方法計(jì)算，以體現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)造性練習(xí)1 判斷下列計(jì)算是否正確,若不正確，如何改正.（1）（x+2）（x2）= x2 - 2 （ ）（2）（2a+3b）（2a3b）= 2a23b2 （ ）（3）（x 3b ）（x 3b）=x2-9b2 ( ) （4） （ ）（5） （ ）(6)（3a2）（3a2）= 9a24 （ ）師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，教師提問。對錯(cuò)誤問題相互交流，教師引導(dǎo)，糾正錯(cuò)誤。設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生常出現(xiàn)的錯(cuò)誤，作具體的分析，加深學(xué)生對公式的結(jié)構(gòu)理解，準(zhǔn)

11、確的運(yùn)用公式。問題6：從以上的幾道題中，你認(rèn)為運(yùn)用公式時(shí)應(yīng)注意哪些地方？師生活動(dòng)：學(xué)生回答，并相互補(bǔ)充，教師綜合學(xué)生所說歸納出以下幾點(diǎn)：1.先看是否具備公式特征；2.找準(zhǔn)哪些數(shù)或式子相當(dāng)于a, 找準(zhǔn)哪些數(shù)或式子相當(dāng)于b；3.存在相同項(xiàng)和相反項(xiàng)；4.公式中的a,b可以是數(shù)，字母，單項(xiàng)式，多項(xiàng)式；5.不要忘記寫右邊的平方.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生熟悉公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，找準(zhǔn)a,b。通過此過程，突破本節(jié)課難點(diǎn)例2：計(jì)算：（1）； （2）98102師生活動(dòng)：師生共同分析：得出（1）中前兩個(gè)多項(xiàng)式的積可以直接用公式，而后兩個(gè)多項(xiàng)式的積不滿足公式特征，則不能用。（2）是兩個(gè)數(shù)乘積的簡便運(yùn)算，這兩個(gè)因數(shù)恰好都可以分解成1

12、00與2的和或差。此題對一部分學(xué)生來說有一定難度，要注意引導(dǎo)學(xué)生并及時(shí)總結(jié)規(guī)律。設(shè)計(jì)意圖：一個(gè)題是平方差公式與一般多項(xiàng)式乘法的綜合，不能用公式的仍按多項(xiàng)式乘法法則進(jìn)行；另一題是把相乘兩數(shù)轉(zhuǎn)化成兩數(shù)和與兩數(shù)差的乘積形式，此題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)式通性，宗旨，使學(xué)生增強(qiáng)知識應(yīng)用的靈活性練習(xí)2：運(yùn)用平方差公式計(jì)算：（1） （2） （4） 師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考、練習(xí)，教師巡視指導(dǎo)，而后，小組內(nèi)師生交流，最后教師將學(xué)生的解答規(guī)范的及典型錯(cuò)誤的投影出來，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行講評.設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)、指導(dǎo)，使學(xué)生進(jìn)一步理解、掌握平方差公式，并靈活運(yùn)用解決有關(guān)計(jì)算問題 (四).歸納小結(jié)問題7：這節(jié)課你有哪些收獲？還

13、有什么困惑？設(shè)計(jì)意圖：從知識和情感態(tài)度兩個(gè)方面加以小結(jié)，使學(xué)生對本節(jié)課的知識有一個(gè)系統(tǒng)全面的認(rèn)識（五）.課后作業(yè) 1.（全體都做）教科書第112頁，習(xí)題14.2 中 第1題2.（部分學(xué)生）補(bǔ)充.計(jì)算：（1） （2） （3）19982002設(shè)計(jì)意圖：作業(yè)分層處理有較大的彈性，體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性原則，尊重學(xué)生的個(gè)體差異，滿足多樣化的學(xué)習(xí)需要，讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展六、目標(biāo)檢測一、選擇題：1下列多項(xiàng)式乘法中，可以用平方差公式計(jì)算的是（ ）A.B.C. D.二、填空題：2計(jì)算： ；3計(jì)算：；4(_4b)(_+4b)=9a216b2三、計(jì)算：5. 6； 75347 8.設(shè)計(jì)意圖：對本節(jié)重

14、點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行檢測，及時(shí)了解教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成情況本節(jié)課我從復(fù)習(xí)舊知入手，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)提供充分探索與交流的空間，使學(xué)生經(jīng)歷觀察，猜測、推理、交流、等活動(dòng)。（1）學(xué)生剛接觸這類乘法，對于公式中的字母a、b用其他代數(shù)式替換，學(xué)生很難理解，所以就讓學(xué)生記憶左邊為兩數(shù)的和乘以兩數(shù)的差，在這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)(a)完全相同，另一項(xiàng)(b與-b)互為相反數(shù)。右邊為這兩個(gè)數(shù)的平方差即完全相同的項(xiàng)的平方減去符號相反的平方。公式中的a,b不僅可以表示具體的數(shù)字，還可以是單項(xiàng)式，多項(xiàng)式等代數(shù)式。 提醒學(xué)生利用平方公式計(jì)算，首先觀察是否符合公式的特點(diǎn)，這兩個(gè)數(shù)分別是什么，其次要區(qū)別相同的項(xiàng)和相反的項(xiàng)，表示兩數(shù)平方差時(shí)要加括號。 2、我知道培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方