專題十：參數(shù)的取值問題的題型及方法

1、專題十：參數(shù)取值問題的題型與方法（4課時）求參數(shù)的取值范圍的問題，在中學(xué)數(shù)學(xué)里比比皆是，這一講，我們分四個方面來探討一、若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解.例1已知當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.分析：在不等式中含有兩個變量及，其中的范圍已知()，另一變量的范圍即為所求，故可考慮將及分離.解：原不等式即：要使上式恒成立，只需大于的最大值，故上述問題轉(zhuǎn)化成求的最值問題.，即，上式等價于或，解得.說明：注意到題目中出現(xiàn)了及，而，故若把換元成，則可把原不

2、等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次函數(shù)類型.另解：即，令，則，整理得，恒成立.設(shè)，則二次函數(shù)的對稱軸為，在內(nèi)單調(diào)遞減.只需，即.(下同第一種解法)例2已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，問是否存在實數(shù)，使不等式對一切實數(shù)恒成立？并說明理由.分析：由單調(diào)性與定義域，原不等式等價于對于任意恒成立，這又等價于 對于任意恒成立.不等式（1）對任意恒成立的充要條件是，即-(3)不等式（2）對任意恒成立的充要條件是，即或，-(4)由（3）、（4）求交集，得，故存在適合題設(shè)條件.說明：抽象函數(shù)與不等式的綜合題常常需要利用單調(diào)性脫掉函數(shù)記號.例3設(shè)直線過點，和橢圓順次交于、兩點，試求的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：

3、，但從此后卻一籌莫展, 問題的根源在于對題目的整體把握不夠. 事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個（或某幾個）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對應(yīng)的思想實施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個不等關(guān)系.思路1:從第一條想法入手，=已經(jīng)是一個關(guān)系式，但由于有兩個變量、，同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個變量直線的斜率. 問題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去得出關(guān)于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范圍把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA= f（k），xB

4、= g（k）得到所求量關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍解1：當(dāng)直線垂直于軸時，可求得；當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得，解之得 因為橢圓關(guān)于軸對稱，點在軸上，所以只需考慮的情形.當(dāng)時，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，綜上 .把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）構(gòu)造所求量與k的關(guān)系式關(guān)于所求量的不等式韋達定理AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍思路2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是

5、產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來. 一般來說，韋達定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達定理，原因在于不是關(guān)于的對稱關(guān)系式. 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于的對稱關(guān)系式.解2：設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 （*）則 令，則，在（*）中，由判別式可得 ，從而有 ，所以，解得.結(jié)合得. 綜上，.說明：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.二、直接根據(jù)圖像判斷若把等式或不

6、等式進行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷.例4當(dāng)時，不等式恒成立，求的取值范圍.xyo12y1=(x-1)2y2=logax分析：若將不等號兩邊分別設(shè)成兩個函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，圖象是拋物線，右邊為常見的對數(shù)函數(shù)的圖象，故可以通過圖象求解.解：設(shè)：，則的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切，恒成立，顯然，并且必須也只需當(dāng)時的函數(shù)值大于等于的函數(shù)值.故，10.則原方程有解即方程有正根。 即解得.解法2（利用根與系數(shù)的分布知識）：4oxy即要求有正根,設(shè).10.，即,或.時，得，不合題意；時，得,

7、符合題意。.20. ，即或時，故只需對稱軸，即.，綜合可得.三、求參數(shù)的取值范圍在解析幾何中的應(yīng)用解析幾何中確定參變量的取值范圍歷來是各級各類測試及高考命題的熱點。由于此類問題綜合性強，且確定參變量取值范圍的不等量關(guān)系也較為隱蔽，因而給解題帶來了諸多困難。為此，我們有必要總結(jié)和歸納如何尋找或挖掘不等量關(guān)系的策略和方法.在幾何問題中，有些問題和參數(shù)無關(guān)，這就構(gòu)成定值問題，解決這些問題常通過取參數(shù)和特殊值來確定“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式來證明該式是恒定的.解析幾何中的最值問題，一般先根據(jù)條件列出所求目標(biāo)函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式手特征選用參數(shù)法，配方法，判別式

8、法，應(yīng)用不等式的性質(zhì)，以及三角函數(shù)最值法等求出它的最大值或最小值.充分運用各種方法學(xué)會解圓錐曲線的綜合問題（解析法的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，圓錐曲線與圓錐曲線的位置關(guān)系，與圓錐曲線相關(guān)的定值問題，最值問題，應(yīng)用問題和探索性問題）.研究最值問題是實踐的需要，人類在實踐活動中往往追求最佳結(jié)果，抽象化之成為數(shù)學(xué)上的最值問題，所以最值問題幾乎滲透到數(shù)學(xué)的每一章.解析幾何中的最值問題主要是曲線上的點到定點的距離最值，到定直線的距離最值，還有面積最值，斜率最值等，解決的辦法也往往是數(shù)形結(jié)合或轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值.而一些函數(shù)最值，反而可以通過數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為解析幾何中的最值問題.1幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯

9、體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決。2代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值。求函數(shù)最值常用的方法有配方法、判別式法、重要不等式法、三角函數(shù)的值域法、函數(shù)的單調(diào)性法.例9已知橢圓:和點，過作直線交橢圓于、兩點，在線段上取點，使，求動點的軌跡所在曲線的方程及點的橫坐標(biāo)的取值范圍.分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達，最后通過消參可達到解題的目的.由于點的變化是由直線的變化引起的，自然可選擇直線

10、的斜率作為參數(shù)，如何將，與聯(lián)系起來？一方面利用點在直線上；另一方面就是運用題目條件： 將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達定理利用點Q滿足直線AB的方程：y = k (x4)+1，消去參數(shù)k點Q的軌跡方程來轉(zhuǎn)化.由、四點共線，不難得到，要建立與的關(guān)系，只需將直線的方程代入橢圓的方程，利用韋達定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).在得到之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識到：所謂消參，目的不過是得到關(guān)于，的方程（不含），則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程.解：設(shè)，則由可得：，解之得： （1）設(shè)直線的方程為：，代入

11、橢圓的方程，消去得出關(guān)于的一元二次方程： （2） 代入（1），化簡得： (3)與聯(lián)立，消去得：在（2）中，由，解得 ，結(jié)合（3）可求得 故知點的軌跡方程為： （）.說明：由方程組實施消元，產(chǎn)生一個標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達定理模塊思維易于想到. 這當(dāng)中，難點在引出參，活點在應(yīng)用參，重點在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.例10已知，試討論的值變化時，方程表示的曲線的形狀.解：（1）當(dāng)時，方程化為，它表示兩條與軸平行的直線； （2）當(dāng)時，方程化為，它表示兩條與軸平行的直線； （3）當(dāng)時，方程化為，它表示一個單位圓； （4）當(dāng)時，

12、方程化為，因為，所以它表示一個焦點在軸上那個的橢圓； （5）當(dāng)時，方程化為，因為，所以它表示一個焦點在軸上那個的橢圓； （6）當(dāng)時，方程化為，因為，所以它表示一個焦點在軸上那個的雙曲線.五、強化訓(xùn)練1（南京市2003年高三年級第一次質(zhì)量檢測試題） 若對個向量存在個不全為零的實數(shù)，使得成立，則稱向量為“線性相關(guān)”依此規(guī)定， 能說明，“線性相關(guān)”的實數(shù)依次可以取 （寫出一組數(shù)值即可，不必考慮所有情況） 2已知雙曲線，直線過點，斜率為，當(dāng)時，雙曲線的上支上有且僅有一點到直線的距離為，試求的值及此時點的坐標(biāo).3設(shè)函數(shù)，若當(dāng)0時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.4已知關(guān)于的方程有唯一解，求實數(shù)的取值范圍.5試

13、就的不同取值，討論方程所表示的曲線形狀，并指出其焦點坐標(biāo).六、參考答案1分析：本題將高等代數(shù)中維向量空間的線形相關(guān)的定義，移植到平面向量中，定義了個平面向量線性相關(guān)在解題過程中，首先應(yīng)該依據(jù)定義，得到，即，于是，所以即則所以，的值依次可取（是不等于零的任意實數(shù)）2分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點B作與平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設(shè)計如下解題思路：把直線l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式 直線l在l的上方且到

14、直線l的距離為 解題過程略.分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達，即所謂“有且僅有一點B到直線的距離為”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計出如下解題思路：轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題求解問題關(guān)于x的方程 有唯一解解：設(shè)點為雙曲線C上支上任一點，則點M到直線的距離為： 于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于的方程.由于，所以，從而有于是關(guān)于的方程， ， 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等價于.由如上關(guān)于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .說明：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.3分析與解：從不等式分析入手，易知首先需要判斷的

15、奇偶性和單調(diào)性，不難證明，在R上是奇函數(shù)和增函數(shù)，由此解出.令，命題轉(zhuǎn)化為不等式，-(*)恒成立時，求實數(shù)的取值范圍。接下來，設(shè)，按對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分類使，綜合求得.本題也可以用函數(shù)思想處理，將（*）化為，當(dāng)時，；（2）時，由函數(shù)在上是減函數(shù)，易知當(dāng)時，,綜合（1）、（2）知。說明：本題涉及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、二次函數(shù)的條件極值、不等式等知識，以及用函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化和化歸的思想方法解題，是綜合性較強的一道好題。4分析：方程可轉(zhuǎn)化成，從而得，注意到若將等號兩邊看成是二次函數(shù)xyl1l2l-20o及一次函數(shù)，則只需考慮這兩個函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點即可。解：令，則如圖所示，的圖象為一個定拋物線，的圖象是一條斜率為定值8，而截距不定的直線，要使和在x軸上