指導(dǎo)書第七章信源編碼習(xí)題詳解_第1頁
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文檔簡介

1、 第七章 信源編碼7-1已知某地天氣預(yù)報狀態(tài)分為六種:晴天、多云、陰天、小雨、中雨、大雨。 若六種狀態(tài)等概出現(xiàn),求每種消息的平均信息量及等長二進制編碼的碼長N。 若六種狀態(tài)出現(xiàn)的概率為:晴天0.6;多云0.22;陰天0.1;小雨0.06;中雨0.013;大雨0.007。試計算消息的平均信息量,若按Huffman碼進行最佳編碼,試求各狀態(tài)編碼及平均碼長。解: 每種狀態(tài)出現(xiàn)的概率為因此消息的平均信息量為等長二進制編碼的碼長N。各種狀態(tài)出現(xiàn)的概率如題所給,則消息的平均信息量為 Huffman編碼樹如下圖所示:由此可以得到各狀態(tài)編碼為:晴0,多云10,陰天110,小雨1110,中雨11110, 大雨1

2、1111。平均碼長為:7-2某一離散無記憶信源(DMS)由8個字母組成,設(shè)每個字母出現(xiàn)的概率分別為:0.25,0.20,0.15,0.12,0.10,0.08,0.05,0.05。試求: Huffman編碼時產(chǎn)生的8個不等長碼字; 平均二進制編碼長度; 信源的熵,并與比較。解:采用冒泡法畫出Huffman編碼樹如下圖所示可以得到按概率從大到小8個不等長碼字依次為:平均二進制編碼長度為信源的熵。比較:7-3一離散無記憶信源每毫秒輸出符號集A,B,C,D,E,F(xiàn),G,H中的一個符號,符號集中各符號出現(xiàn)的概率分別為0.01,0.03,0.35,0.02,0.15,0.18,0.19,0.07。 =

3、1 * GB3 試求信源的熵; = 2 * GB3 進行Huffman編碼; = 3 * GB3 求平均信源編碼輸出比特速率; = 4 * GB3 在有和無信源編碼時所需的最小二進制信道比特速率。解: = 1 * GB3 信源的熵為 = 2 * GB3 Huffman編碼樹如下圖所示可以得到各符號的Huffman編碼為:A011111,B01110,C00,D011110,E010,F(xiàn)11,G10,H0110。 = 3 * GB3 已知碼元速率為,而碼元平均信息量(即信源熵)為,因此平均信源編碼輸出比特速率為 = 4 * GB3 對于信源總共8個符號,無信源編碼時,每個符號最少用3bit表示,

4、因此最小二進制信道比特速率為有信源編碼時,最小二進制信道比特速率為。7-4某一DMS有5種信源符號,每種符號出現(xiàn)的概率均為1/5,試計算以下幾種編碼情況下的有效性(效率)。 每個符號分別進行等長二進制編碼; 每兩個符號組合進行等長二進制編碼; 每三個符號組合進行等長二進制編碼。解:編碼效率定義為每符號信息量H(x)與每符號平均編碼長度的比值。對于等長編碼的擴展編碼,編碼效率可表示為其中表示符號數(shù),J表示對連續(xù)J個符號統(tǒng)一編碼。7-5已知基帶信號為,對其進行理想抽樣,并用理想低通濾波器來接收抽樣后信號。 試畫出基帶信號的時間波形和頻譜; 確定最小抽樣頻率; 畫出理想抽樣后的信號波形及頻譜。解:基

5、帶信號可表示為,可將視作低頻包絡(luò),將視作高頻振蕩,作圖如下:?;鶐盘杅(t)由兩個余弦信號相加構(gòu)成,因此其頻譜為兩對離散譜線,如下圖所示:7-6已知信號。 = 1 * GB3 畫出用沖激序列對其抽樣后的頻譜,抽樣速率如下:(a)35樣值/秒 (b)15樣值/秒 (c)10樣值/秒 = 2 * GB3 假設(shè)進行以上抽樣后的信號通過一重建低通濾波器,低通濾波器的傳遞函數(shù)為 求出每種情況下的輸出信號。當(dāng)抽樣信號中存在混疊時,指出輸出信號中哪些是混疊成分,哪些是所希望的信號成分。解:,信號角頻率,信號頻率。(a)抽樣頻率,根據(jù)奈奎斯特抽樣定理,可以得到抽樣后的信號的頻譜如下圖所示:再經(jīng)過重建低通濾波

6、器,得到輸出信號為(b)抽樣頻率,根據(jù)奈奎斯特抽樣定理,可以得到抽樣后的信號的頻譜如下圖所示:再經(jīng)過重建低通濾波器,得到輸出信號為(c)抽樣頻率,根據(jù)奈奎斯特抽樣定理,可以得到抽樣后的信號的頻譜如下圖所示:再經(jīng)過重建低通濾波器,得到輸出信號為 7-7已知信號f(t)的最高截止頻率為,若用圖E7.1所示的q(t)對f(t)進行自然抽樣,q(t)是周期為的周期三角波。試確定已抽樣信號的頻譜表示式,并畫出其示意圖。圖E7.1解: 其中,令,則。則已抽樣信號頻譜。作圖如下7-8已知低通信號最高頻率為,若用高度為1、寬度為、周期為的周期性三角脈沖對其進行自然取樣。 = 1 * GB3 畫出已抽樣信號的波

7、形圖; = 2 * GB3 求已抽樣信號的頻譜,并畫出頻率草圖(低通信號及其頻譜的形狀可自己假設(shè)); = 3 * GB3 若改為用周期性沖激函數(shù)進行抽樣,重復(fù)步驟 = 1 * GB3 、 = 2 * GB3 ,并比較兩者在波形和頻譜上的差別。解: = 1 * GB3 低通信號、周期三角脈沖信號及已抽樣信號的時域波形分別如下所示 = 2 * GB3 三角脈沖及其頻譜可表示為,則周期三角脈沖信號及其頻譜可表示為,其中因此已抽樣信號的頻譜為作出頻譜草圖如下所示: = 3 * GB3 周期性沖激函數(shù)可表示為可以做出低通信號、周期性沖激函數(shù)及已抽樣信號的時域波形分別如下所示周期性沖激函數(shù)的頻譜為作出頻譜

8、草圖如下所示: 比較:時域:一系列三角窄脈沖和一系列沖激函數(shù)。 頻域:抽樣信號有一包絡(luò)和抽樣信號包絡(luò)為一水平直線。7-9 = 1 * GB3 畫出用4 kHz的速率對頻率為1 kHz的正弦波進行自然抽樣所獲得的PAM信號的波形; = 2 * GB3 若要獲得平頂PAM波形,重復(fù)步驟 = 1 * GB3 。解:頻率為1 kHz的正弦波和抽樣脈沖串的波形如下圖所示:自然抽煙信號和平定抽樣信號如下圖所示:7-10已知信號的頻譜如圖E7.2所示,對其進行理想抽樣。 若用理想低通濾波器接收,試確定抽樣頻率; 若采用RC濾波器接收,要求抑制寄生頻譜并且具有2kHz的過濾帶,試確定抽樣頻率。 圖E7.2解:

9、由于信號最高頻率為,因此理想抽樣頻率為。RC濾波器結(jié)構(gòu)如圖E3.2所示,其傳輸函數(shù)為以其3dB帶寬作為RC濾波器的帶寬,在其兩側(cè)取2kHz的過渡帶。如下圖所示:可以得到抽樣頻率最小為7-11模擬語音信號的頻譜如下圖E7.3所示,以10kHz的速率對這一波形進行抽樣,抽樣脈沖寬度=50s。 1-44f(kHz)|W(f)|圖 E7.3 = 1 * GB3 找出自然抽樣PAM波形頻譜的表達式,并畫出所得到的結(jié)果; = 2 * GB3 找出平頂PAM波形頻譜的表達式,并畫出所得到的結(jié)果。解: = 1 * GB3 自然抽樣信號為其中p(t)是矩形脈沖,脈沖寬度=50s;是抽樣間隔。該信號的傅里葉變換為

10、其中矩形脈沖p(t)的傅里葉變換為因此自然抽樣PAM信號為其頻譜為頻譜如下: = 2 * GB3 先做理想抽樣,得到抽樣信號為該脈沖串信號通過脈沖形成器(形成脈沖p(t)),得到平頂抽樣PAM信號為其頻譜為:頻譜圖如下:7-12一低通信號,它的頻譜由下式給出: 其他若對進行理想抽樣,抽樣頻率,試畫出抽樣后信號的頻譜圖; 若抽樣頻率,重復(fù)步驟。解:F(f)的頻譜圖如下所示其理想抽樣信號頻譜為據(jù)此,對抽樣頻率和,其抽樣后信號頻譜分別如下所示7-13均勻抽樣定理告訴人們:一個帶限信號完全可以由它在時域上的抽樣值確定。與此對應(yīng),對一個時域上受限的信號(即時,),試說明的頻譜完全可以由頻域上的抽樣值確定

11、(其中)。解:時域上受限的信號可表示為令其傅立葉變換為,對進行頻域抽樣得(f0為抽樣頻率)則對應(yīng)時域信號為可以看出,是x(t)的周期延拓。當(dāng),即時,中沒有時域的混疊,因此可由其中取出x(t):讓xs(t)與理想矩形信號g(t)相乘 得到對該式取傅立葉變換,可得可見,當(dāng),即時,X(f)僅由X(kf0)決定。得證。7-14 12路載波電話的頻帶范圍為60108Hz,對其進行理想抽樣,試確定最低抽樣頻率值,并畫出理想抽樣后的頻譜。解: = 1 * GB3 復(fù)合信號為帶通信號,其下截止頻率和上截止頻率分別為。因此信號帶寬為。上截止頻率與帶寬的關(guān)系為。因此,由教材式(7.39)可以得到抽樣頻率滿足 =

12、2 * GB3 帶通信號及其理想抽樣后的頻譜圖如下7-15已知某量化器量化特性如圖E7.4(a)所示,設(shè)。試: 畫出誤差特性; 若輸入,畫出波形;若輸入信號如圖E7.4(b)所示,試畫出此時的量化失真波形,并求其平均功率。 圖E7.4解:誤差特性如下圖所示當(dāng)輸入時,、和波形分別如下,其中用實線表示,用虛線表示。輸入信號可表示為。vi的分段區(qū)間可表示為,則每一段上的voi。設(shè)vi的i的取值范圍是i=,每段區(qū)間長T=1,則vo的取值范圍是N,N,輸入信號的持續(xù)時間為(2N+1)T。那么,vo(t)的平均功率為量化失真輸出波形如下7-16若采用對數(shù)壓縮律編碼,=100,。 試求相應(yīng)的擴張?zhí)匦裕?若劃

13、分為32個量化級,試計算壓擴后對小信號量化誤差的改善程度。解:依題意,律的壓縮特性為:整理為因此,可以得到律的擴張?zhí)匦詾椋涸O(shè)x為輸入,y為壓縮輸出,則壓縮特性為若劃分為32個量化級,則相當(dāng)于y均勻量化為32個量化級,即量化臺階為。代入上式,則在小信號時(即零值附近),有對應(yīng)x的最小量化級為比較:均勻編碼時x的最小量化臺階。壓擴后小信號量化誤差小了20倍左右。7-17采用13段折線A律編碼,設(shè)最小量化級為一個單位,已知抽樣脈沖為+635個單位。 試求此時編碼器輸出碼組,并計算量化誤差(段內(nèi)碼用自然二進制碼); 寫出對應(yīng)于該7位碼(不含極性碼)的均勻量化11位碼。解:采用逐位比較反饋型編碼規(guī)則,設(shè)

14、8位碼為。1)確定極性碼D1。+6350,D1=12)確定段落碼。 635125,D21 635512,D31 6351024,D403)確定段內(nèi)碼。635512+832, D50 635512+232, D71 635512+23232608,D81 故輸出碼組11100011。 量化誤差為6356082732。608=512+64+32,因此對應(yīng)于量化值608的均勻11位碼為01001100000。7-18采用13折線A律譯碼電路,設(shè)接收端受到的碼組為01101100,最小量化級為一個單位。 = 1 * GB3 試求譯碼輸出為多少個單位。寫出對應(yīng)于該7位碼(不含極性碼)的均勻量化11位碼。

15、解: = 1 * GB3 設(shè)711轉(zhuǎn)換后的輸出為I1)極性碼為0,I0。2)段落碼為110,量化值落在第7段。該段起始電平為512單位,量化臺階為32單位。3)段內(nèi)碼為1100,因此 I=-(512+1232)-896單位。由于譯碼時采用712轉(zhuǎn)換,還需外加單位以減少量化誤差。故譯碼器輸出為量化單位 = 2 * GB3 896512256128,故對應(yīng)均勻量化11位碼為01110000000。7-19將一個帶寬為4.2 MHz的模擬信號轉(zhuǎn)換成二進制的PCM信號以便在信道上傳輸。接收機輸出端的信號峰值與量化噪聲功率比至少為55 dB。 = 1 * GB3 求PCM碼字所需的比特數(shù)目以及量化器所需

16、的量化臺階數(shù); = 2 * GB3 求等效的比特率; = 3 * GB3 如果采用矩形脈沖波形傳輸,則所需的信道零點帶寬是多少?解: = 1 * GB3 已知量化信噪比與每樣值比特數(shù)N的關(guān)系為因此有,取。則量化器所需量化臺階數(shù)。 = 2 * GB3 = 3 * GB3 設(shè)矩形脈沖寬度為,采用不歸零脈沖,因此。所需零點帶寬為7-20用一個850 MB的硬盤來存儲PCM數(shù)據(jù)。假設(shè)以8 千樣本/秒的抽樣速率對音頻信號進行抽樣,編碼后的PCM信號的平均SNR(信噪比)至少為30 dB。問此硬盤可以存儲多少分鐘的音頻信號所轉(zhuǎn)換的PCM數(shù)據(jù)?解:,因此,取N=5。比特率因此,存儲信號時長為7-21給定一個

17、模擬信號,它的頻譜成分在頻帶300 Hz到3000 Hz的范圍內(nèi),假設(shè)利用7 kHz的抽樣頻率對其進行PCM編碼。 = 1 * GB3 畫出PCM系統(tǒng)的方框圖(包括發(fā)送機、信道與接收機); = 2 * GB3 假設(shè)接收機輸出端所需的峰值信號與噪聲功率比至少為30 dB,并且使用極性矩形脈沖波形傳輸,試計算所需的均勻量化臺階數(shù)以及零點帶寬; = 3 * GB3 討論如何采用非均勻量化以提高系統(tǒng)的性能。解: = 1 * GB3 PCM系統(tǒng)的方框圖如下 = 2 * GB3 ,所以,取N=5。量化臺階數(shù)。假設(shè)采用不歸零矩形脈沖,即脈沖寬度,為抽樣間隔。那么零點帶寬為 = 3 * GB3 均勻量化由于量

18、化臺階固定,量化噪聲不變,因此當(dāng)信號較小時,信號的量化信噪比也就很小。這樣對小信號來說量化信噪比就難以達到給定的要求。在給定信噪比要求時的信號取值范圍(即信號動態(tài)范圍)受到較大限制。 非均勻量化使得小信號時量化臺階較小,大信號時量化臺階較大,信號的量化信噪比在一定信號取值范圍內(nèi)保持相對變化較小。換言之,在給定信噪比要求時的信號取值范圍(即信號動態(tài)范圍)相比均勻量化時要大。7-22在一個PCM系統(tǒng)中,由于信道噪聲所引起的誤碼率為。假設(shè)恢復(fù)出的模擬信號的峰值信號與噪聲功率比至少為30 dB。 = 1 * GB3 試求所需的量化臺階的最小數(shù); = 2 * GB3 如果原始的模擬信號的絕對帶寬為2.7

19、 kHz,那么采用雙極性矩形脈沖波形傳輸時,PCM信號的零點帶寬是多少?解: = 1 * GB3 輸出信號的總信噪比可表示為根據(jù)題目條件,可以得到解得取L=41。 = 2 * GB3 每樣值比特數(shù)。假設(shè)采用不歸零矩形脈沖,即脈沖寬度,為抽樣間隔。那么零點帶寬為7-23對10路帶寬均為04000Hz的模擬信號進行PCM時分復(fù)用傳輸,抽樣速率為8000Hz,抽樣后進行16級量化,并編為自然二進制碼。試求傳輸此時分復(fù)用信號所需帶寬。解:已知抽樣頻率為,每樣值編碼比特數(shù)為,復(fù)用路數(shù)為,那么可以得到時分復(fù)用信號傳輸帶寬為7-24設(shè)有23路模擬信號,每路均帶限于3.4 kHz,以8 kHz的抽樣頻率對其進

20、行抽樣,并與1路同步信道(8 kHz)一起復(fù)用為TDM PAM信號。 = 1 * GB3 畫出系統(tǒng)的方框圖,并指出復(fù)接器的工作頻率fs以及TDM PAM信號總的脈沖速率; = 2 * GB3 計算信道所需的零點帶寬。解: = 1 * GB3 系統(tǒng)方框圖如下可以將這23路模擬信號和一路同步信號看做24路信號作時分復(fù)用,每路抽樣速率均為8kHz,因此復(fù)接頻率為也就是說,每秒鐘依次讀取192個脈沖。因此,TDM PAM信號總的脈沖速率為 = 2 * GB3 設(shè)脈沖寬度為,信道所需的零點帶寬為7-25設(shè)13折線A律編碼器的過載電平為5V,輸入抽樣脈沖的幅度為-0.9375 V,若最小量化級為2個單位,

21、最大量化器的分層電平為4096個單位。 = 1 * GB3 試求此時編碼器輸出碼組,并計算量化誤差; = 2 * GB3 寫出對應(yīng)于該碼組(不含極性碼)的均勻量化編碼。解: = 1 * GB3 A律編碼器的電平范圍為-5 , 5,因此最小量化級(即量化臺階)為,而,所以輸入抽樣脈沖對應(yīng)為I-192。1)I128,故D21 384512,故D30 384256,故D40 即落在第五段,該段量化臺階為8。3)19212888,即第5段內(nèi)的中點(第9段起點),故段內(nèi)碼為1000。故編碼器輸出碼組為01001000。量化誤差為0。 = 2 * GB3 19212864,故對應(yīng)該碼組的均勻量化11位碼為

22、00011000000。7-26簡單增量調(diào)制系統(tǒng)中,已知輸入模擬信號,抽樣速率為,量化臺階為。 = 1 * GB3 求簡單增量調(diào)制系統(tǒng)的最大跟蹤斜率; = 2 * GB3 若系統(tǒng)不出現(xiàn)過載失真,則輸入信號幅度范圍為多少? = 3 * GB3 如果接收碼序列為1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1,請按斜變信號方式畫出譯碼器輸出信號波形(設(shè)初始電平為0)。解: = 1 * GB3 簡單增量調(diào)制系統(tǒng)的最大跟蹤斜率。 = 2 * GB3 系統(tǒng)不出現(xiàn)過載失真的條件是,即,因此得到另外,最小編碼電平為。所以輸入信號幅度范圍為 = 3 * GB3 斜變信號方式的譯碼器輸出信號波形如下圖實線所示7-27

23、為了測試一個DM系統(tǒng),在系統(tǒng)的輸入端饋送峰-峰值為1 V的10 kHz正弦波信號,并以10倍于奈奎斯特速率的抽樣速率對信號進行抽樣。試問: = 1 * GB3 為了預(yù)防出現(xiàn)斜率過載噪聲并且使量化噪聲最小,所需的量化臺階為多大? = 2 * GB3 如果接收機的輸入端帶限于200 kHz,那么量化信噪比是多少?解: = 1 * GB3 對峰-峰值為1 V的10 kHz正弦波信號,信號最大振幅為Amax=0.5 V,其奈奎斯特速率為,實際抽樣速率為。為預(yù)防出現(xiàn)斜率過載,應(yīng)有因此量化臺階應(yīng)滿足而量化噪聲功率,欲使量化噪聲功率最小,應(yīng)使量化臺階取最小值,因此V = 2 * GB3 已知抽樣頻率,信號頻

24、率f=10 kHZ,輸入端帶限頻率。因此根據(jù)教材式(7.80),可以得到量化信噪比為7-28設(shè)語音信號的動態(tài)范圍為40dB,語音信號的最高截止頻率,若人耳對語音信號的最低信噪比要求為16dB,試計算DM編碼調(diào)制時,對頻率為的信號而言,滿足動態(tài)范圍的采樣頻率是多少?解:由DM的信噪比公式知欲使最低信噪比為16dB,應(yīng)有,由此解得滿足最低信噪比要求時采樣頻率應(yīng)為。動態(tài)范圍,而,故。 已知,由此解得。同時應(yīng)滿足最低信噪比要求,可得滿足動態(tài)范圍的采樣頻率為。7-29對信號進行簡單DM增量調(diào)制。試證明,在既保證不過載,又保證信號振幅不小于編碼電平的條件下,量化臺階和抽樣頻率的選擇應(yīng)滿足: 。證明:要保證不過載,應(yīng)有;另外,要保證信號振幅不小于編碼電平,應(yīng)有。綜上:。得證。7-30對信號進行簡單增量調(diào)制,采樣頻率為40kHz,量化臺階為。 若,試求發(fā)生過載的條件; 若編碼時二進制碼0和1出現(xiàn)概率分別為1/3和2/3。試問系統(tǒng)的平均信息速率為多少? 系統(tǒng)可能的最大信息速率為多少?解:發(fā)生過載的條件是:信源熵即每符號平均信息量為,而傳碼率為因此系統(tǒng)的平均信息速率為。對二進制,每符號最大平均信息量H(x)=log22=1bit/符號。在傳碼率RB一定的情況下,系統(tǒng)可能的最大信息速率Rbmax=RBH(x)40kbit/s。7

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