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1、一、基本概念微分方程的定義及其解的定義(解、通解和特解,以及奇解);微分方程解的結(jié)構(gòu)(包括非齊次線性微分方程(組)與齊次線性微分方程(組)解的結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系、解空間的維數(shù)和高階線性微分方程與線性微分方程組之間的等價(jià)關(guān)系轉(zhuǎn)化等);函數(shù)組(向量函數(shù)組)的線性相關(guān)性;微分方程的通解中含有任意常數(shù)的個(gè)數(shù)是多少?判斷在整個(gè)數(shù)軸上函數(shù)組,;以及向量函數(shù)組的線性相關(guān)性 二、填空題1、一階微分方程通過(guò)點(diǎn)的特解是 ;2、若是方程的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,則方程的通解是 3、若,是方程的兩個(gè)解,則 是方程的解4、設(shè)是的基解矩陣,是的某一解,則的任一解可表為 三、求微分方程的一些基本方法1、分離變量方法求解微分方程,例如
2、:;2、 恰當(dāng)方程的求解方法(積分因子):;3、參數(shù)求解方法:4、高階微分方程的求解方法(階的結(jié)構(gòu)):降階方法、歐拉待定指數(shù)方法(特征根方法)、常數(shù)變易方法、比較系數(shù)方法、拉普拉斯變換法等,例如:求解微分方程:;5、微分方程組的求解(基解矩陣的求法:特征根方法):,其中四、近似計(jì)算1、方程定義在矩形域上,試?yán)么嬖谖ㄒ恍远ɡ泶_定通過(guò)點(diǎn)的解的存在區(qū)間,求第三次近似解,并給出在解的存在區(qū)間的誤差估計(jì);2、歐拉數(shù)值方法五、證明題1、基解矩陣的驗(yàn)證等,例如:試證 是方程組在任何不包含原點(diǎn)的區(qū)間上的基解矩陣2、試證階非齊線性方程至多存在個(gè)線性無(wú)關(guān)的解3、試證n元非齊次線性微分方程組之多有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解4、給定方程,其中在實(shí)數(shù)軸上連續(xù),設(shè),是該方程的兩個(gè)解,證明極限存在5、證明:如果在區(qū)間上是某一個(gè)線性齊次微分方程組的基解矩陣,那么此方程組必為并求做一個(gè)線性齊次微分方程組,使它的基解矩陣為6、證明:若和是的解,它們構(gòu)成的朗斯基行列式記為, 則滿足一階線性微分方程7、設(shè)和是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),證明:如果在區(qū)間上有常數(shù)或常數(shù),則和在區(qū)間上線性無(wú)關(guān) (注:
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