多層增透膜的理論解釋

1、II多層增透膜的理論解釋4.1入/4增透膜入/4的光學(xué)增透膜(下面討論時光學(xué)元件用玻璃來代替，初始入射介質(zhì)用空氣來代替)，一般為在玻璃上鍍一層光學(xué)厚度為入/4的薄膜，且薄膜的折射率大于空氣的折射率，小于玻璃的折射率由菲涅耳公式知，光線垂直人射時，反射光在空氣一薄膜界面和薄膜一玻璃界面都有半波損失設(shè)空氣、鍍膜、玻璃的折射率分別為n0,nl,n2且n2nln0定義R01,T0為空氣-薄膜界面的反射率與透射率,R01,T01為薄膜-空氣界面的反射率與透射率R12,T12為薄膜-玻璃界面的反射率與透射率R21,T21為玻璃-薄膜界面的反射率與透射率如圖-1所示示，為了區(qū)分人射光線和反射光線,這里將入射

2、光線畫成斜入射,圖4-1中反射光線1和2的光程差為入/2,這樣反射光便能完全相消由菲涅耳公式知道，光垂直通過界面時，反射率R和透射率T與折射率n的關(guān)系為：01R10n，n=(14)2nn1001104nn01(nn)20112R21n，n(2i)2n+n21011212214nn12(nn)212設(shè)人射光的光強(qiáng)為10,則反射光線1的光強(qiáng)I1=I0R0,反射光線2的光強(qiáng)I2=I0I01R12T10。余下的反射光的光強(qiáng)中會出現(xiàn)反射率的平方，因為反射率都比較小，故可不再考慮。入/4的光學(xué)增透膜使反射光線1與反射光線2的光程差為6=2n1d1=入/2,故相位差為門，由干涉理論知，干涉后的光強(qiáng)為：I=I

3、IIIcos兀二I(R-TR)2p12120010112因為折射率n0,n1,n2比較接近，例如n0=1,n2=1.5的界面，T=96%,故可近似地取T01和T10為1,若使Ip為0,則有R01=R12,即：zn-n、-n、(JO)2=(1)2nnnn1021由n2nln0得n=nn，當(dāng)上式成立時，反射率最小，透射率最大。但是涂一02層膜也有不足之處，因為常用的入/4光學(xué)增透膜MgF2,MgF2的折射率為1.38,1.38*1.38=1.9044,而玻璃的折射率一般在1.51.8之間，所以用MgF2增透膜不能使反射光光強(qiáng)最小，再者，一波長為入+A入的光垂直入射到入/4的光學(xué)增透膜同波長為入的光

4、一樣反射光線1和反射光線2的光程差為6=入/2相位差為AW=2入/2（入+A入）從而干涉后的光強(qiáng)為：I二I+1+2IIcos,p，即p1212可選擇合適的材料，使11=12，從而上式變?yōu)镮2ICOS2（、）。如圖4-2所示，I為反射光的光強(qiáng)，A入為線寬，I隨A入的地增加而迅速增加。光學(xué)厚度為入/4的光學(xué)增透膜的反射光強(qiáng)隨波長的變化曲線呈V形，這樣入/4的光學(xué)增透膜的透射率較大的波段就較小，我們稱入/4的光學(xué)增透膜的頻寬較小，現(xiàn)代的照像機(jī)的鏡頭、攝像機(jī)的鏡頭，以及彩色電視機(jī)的熒屏并不要求在某一波長的光有很高的透射率，而希望在較寬的波段范圍內(nèi)透射率較低且一致，即要求增透膜的頻寬較大。所以我們就可以

5、鍍兩層膜，甚至是多層膜?？諝獾谝粚幽げＡD4-10.4圖4-24.2鍍兩層膜在需鍍膜的元件上鍍兩層膜。這里設(shè)空氣的折射率為nO,鍍的兩層膜的折射率為分別為nl和n2,厚度分別為dl和d2,玻璃的折射率為n3,且有n3n2nln0。定義R01,T01為空氣一第一層薄膜界面的反射率與透射率,R10,T10為第一層薄膜-空氣界面的反射率與透射率，R12,T12為第一層薄膜-第二層薄膜界面的反射率與透射率,R21,T21為第二層薄膜-第一層薄膜界面的反射率與透射率,R23,T23為第二層薄膜-玻璃界面的反射率與透射率,R32,T32為玻璃-第二層薄膜界面的反射率與透射率,入射光線垂直人射到介質(zhì)上取人射

6、光的振動方程為：E=Acost,)。同入/4的光學(xué)增透膜的一樣，我們只討論反射光線1、2、3的情況。由n3n2n1n0知，反射光線1、2、3都有半波損，設(shè)兩層薄膜引起的光程差分別為61和82,反射光線1、2、3的波動方程分別為：E二Acos(t+)2220九1TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark30E二Acos(t+) HYPERLINK l bookmark3222330九1九2 HYPERLINK l bookmark34EAcos(t,+兀)則干涉點P處的光強(qiáng)為三束光線的疊加EAcos(ot+)Acos(ot+cosfot+,(+) HYPERLINK l

7、 bookmark40p1020九130九12解此方程可得下述結(jié)果：(1)令R01二R12二R23,即有Tno，n2-ninnnn1021n一n，32nn32解得:112n，n3n3,n，n3n3TOC o 1-5 h z10333203取R=R01=R12=R23，由于透射光的光強(qiáng)近似為10,從而:22I，IRcos(rot+0)+cos(t+0+6)+cost+0(8+8)2p0001012當(dāng):叮2且2（81覽）=4時，有心0。又51=2n1d1，52=2n2d2,所以12n1d1二入/6,n2d2二入/6,故只需選取n，n；nn，n3n3的材料，分別鍍上一層10333203光學(xué)厚度為入/

8、6的薄膜，即可以將反射光盡量減小，就可以達(dá)到理想的效果。鍍這樣的兩層膜，當(dāng)以波長為入+A入的光垂直入射時，則干涉處的光強(qiáng)為2n/（入+A入），又因為61=52二入/3，所以有：22I，IRcos(t+0)+cos(rot+0+8)+cosrot+0+(8+8)2p000A10A122兀門2兀IR1+2cos()cos(COt0.)20A+30A+3.J22sm2-.3門J二Ir2A+0J2sin2(2.A+)其結(jié)果如圖4-3所示，圖象呈W形，說明膜層在一定的線寬上普遍獲得較好的增透效果。I1.00.60.2入-200-10001020圖4-3(2)保持n3n2n1n0,取51=2n1d1=入/

9、2,62=2n2d2=入,同上述一樣，透射光的光強(qiáng)都近似為10,則I=IRcos(t+0)+cos(t+0+p002-)+cost+0+/(+)20九10九12改為：I=IC0S2(t+0)(p00R01R12R)223當(dāng)R01R12R=0時，23即有Tn0二n2-ni+n3-n2,則有Ip=O,經(jīng)整理n+nn+nn+n102132nn+n2n+3n2n+nnnnnn3nnnnnnnn上式得:1_31_2012123023023=0(n+n)(n+n)(n+n)102132我們鍍膜時，入射介質(zhì)和需鍍膜得元件一般為已知，即有nO和n3已知，這樣上式就為關(guān)于n1和n2的方程，選取不同的n1便可得到

10、n2。不過，由于條件n3n2nln0的限制，當(dāng)nl過大或n2過小時，會出現(xiàn)方程無解的的情況。這樣的兩層膜，當(dāng)以波長為入+A入的光垂直入射時，則干涉處的光強(qiáng)如圖所示呈W形，說明此種鍍膜得方法可使膜層在一定的線寬上普遍有較好的增透效果。4.3鍍多層膜在需要鍍膜得元件上鍍上三層膜。取n2n1n0和n2n3n4,其中nO為空氣的折射率，n4為玻璃的折射率。由入/4的光學(xué)增透膜知：當(dāng)n=nn且n1d1=入/4102時，反射光線1和2能完全相消。n=nn且n3d3=入/4時，光線3和4也能完全24相消。不同的是，反射光線1、2有半波損失，而反射光線3、4沒有半波損失。這樣，在略去其余的反射光線和透射率近似

11、為1的情況下，反射光線能完全相消。當(dāng)然，由于膜層的增多,透射率的影響會增加,這樣,透射層次越多,光強(qiáng)會越小,且反射光線2和反射光線3的相位也相反。因為反射光線2有半波損失,反射光線3沒有半波損失，貝Un2d2=入/2時，便可以滿足上述要求。這樣的三層膜，當(dāng)以波長為入+A入的光垂直人射時，則反射光干涉處的光強(qiáng)為：I4Icos2（竺.），其結(jié)果圖象也呈W形，只是在同一頻寬上，增透效果會pi+,2更好?？紤]到膜層的吸收和透射次數(shù)的增加時，各層的透射率的積不再接近于1，對多層膜系的研究主要是它的反射和透射特性。光學(xué)儀器在鍍膜時，由高折射率層和低折射率層的膜交替疊成膜系，層間的交界面可高達(dá)幾十個到幾百個

12、。因為采用高低折射率的膜交替的層數(shù)不同，一種情況為膜系對入射光產(chǎn)生強(qiáng)烈反射，反射特性顯著;而另一種情況為入射光幾乎全部透過，透特性顯著。在一個多層薄膜系中，光束將在每一個界面上多次反射，涉及到大量光束的干涉現(xiàn)象，若薄膜和基底的光吸收無法忽略，貝計算將變得更加復(fù)雜，所以直接采用多光束干涉來計算是相當(dāng)復(fù)雜繁瑣的，而運用矩陣的方法來解決這一問題將有許多優(yōu)越性。特性矩陣就是把界面兩邊的場利用邊界條件相互聯(lián)系起來的矩陣，用一個二階矩陣代表一個單薄膜。在分析和計算光學(xué)薄膜系統(tǒng)的特性時，通常采用傳輸矩陣方法，該方法已成為光學(xué)薄膜計算與設(shè)計的常用和有效方法，并廣泛地應(yīng)用于光子晶體和微帶天線等領(lǐng)域的研究。首先，

13、單層膜是膜系的基本單元，我們求解單膜特性矩陣。設(shè)ng為基底的折射率，nO是空氣的折射率，nl是介質(zhì)層的折射率，則膜層的傳輸矩陣為：EE1（M）2式中E和H表示在界面I的n0側(cè)的場矢量，E、H表示在HH112212界面II的ng側(cè)的場矢量。下面導(dǎo)出矩陣M的表達(dá)式。在交界面I上有入射波E、i1反射波E，折射光波E，由介質(zhì)n1入射到界面I上的光波E2。假設(shè)界面上無r1t1r2自由電荷及傳導(dǎo)電流，根據(jù)邊界條件，則有E的切向分量連續(xù)、H的切向分量連續(xù)。考慮E垂直入射面（s波），得：1EE+EE+E1i1r1t1r2HHcosHcosHcosHcos1i1i1r1i2t1i2r2i2pp根據(jù)HiE0En于

14、是，上式可以變?yōu)椋篿uiuiii0H二o(EE)ncos二o(EE)ncos1ui1r10i1ut1r21i200同樣，在交界面II上也可以寫出E二EE二ETOC o 1-5 h z2i2r2t2H二HcosHcos二Hcos2i2i2r2i2t2t2同樣，上式的第二式也可以變?yōu)椋篐二o(E-E)ncos二Encos2ui2r20i2t2gt20為了求特征矩陣，我們可把上述公式，稍加變換，求出E、E、E、Hi1r222之間的關(guān)系。考察界面I上的透射場E(x,y,z二0)與界面II上的入射場t1E(x,y,z二h)有：i21E=Ee，i(Kx+Kz)|t1tlO*“z=0E=Ee，i(kx+kz

15、)|=Ee氐曾=Eeqi2t10z=ht1t1式中5=-Kh=二nhcos，表示波失為k的平面波在薄膜中，垂直跨1z1入11i20過兩個界面的相位差(即在Z方向上的相位差)。同樣，也可以寫出E和E之間的關(guān)系：E=Eei51，因此有:r2r2r2r2E=E+E=Eei5i+Ee2以及i2r2t1r2H=(E2ii2Soncos=(Eei51，Ee-i51)u1oi2t1r2*oncosu1i20令叫=*oncos，得到TOC o 1-5 h zu1i20e-isHE=*(E)t122n1E=孚(E-乞)r222n1E=Ecos5一H將上兩式代入矩陣方程求得：121sin5、()2n，將其寫為矩陣

16、的形1H=Enisin5Hcos5121121式為：EcossinEcossin1，1耳1.2則其中M=1耳1。H1H1i小sinCos2小sinCos111111現(xiàn)在，我們研究多層膜系的光學(xué)特性，研究多層光學(xué)薄膜的方法很多，如等效法，矩陣法等，現(xiàn)在我們就用多層膜矩陣法來求解。多層膜只是單層膜的疊加，逐層應(yīng)用的單層膜的特征矩陣可求得多層膜的特性矩陣，其特性矩陣為各單層膜的特性矩陣乘積。EETOC o 1-5 h z對于第二層膜n2在界面III以下介質(zhì)中場矢量為E,H有2,M3，將33H2H23其代入Ei，(M)E2，得Ei，ME2，M*ME3。HH12H1H12H123以此類推可得對N+l個界

17、面的多層膜一般式TOC o 1-5 h zEEE1，M*M.MN+i,(M)n+iH12NHH1N+1N+1mmCossin其中M，M，j耳j。jjj，1j，1小sincosjjj是多層膜的特征矩陣,它等于各個單層膜特征矩陣之積,此處矩陣不服從交換率,故相乘次序不可交換。由該矩陣可推出多層膜的透射率和反射率。多層膜系的反射系數(shù)：Er，Ei1膜系反射率的計算透射系數(shù)為：t，EtN+1,Ei1A首先，為了表述方便將M改寫為M，.ciBD，并將單層膜公式推廣至到層的第N+1E，EN+1tN+1個界面，可寫為一般式：杠其中H，0Encos，耳EN+1卩tN+1GtN+1GtN+10耳，oncos，而界面I上仍有G卩GtN+1oE，E+EH，0(E-E)ncos，耳(E-E)；式中耳，1i+