第11章非參數(shù)檢驗(yàn)

1、第11章非參數(shù)檢驗(yàn) 非參數(shù)檢驗(yàn)是一種與總體分布狀況無(wú)關(guān)的檢驗(yàn)方法，它主要是利用樣本數(shù)據(jù)之間的大小比較及大小順序，對(duì)樣本及其所屬總體作差別檢驗(yàn)，而不對(duì)總體分布的參數(shù)如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等進(jìn)行估計(jì)推斷。 優(yōu)點(diǎn)計(jì)算簡(jiǎn)便、直觀， 易于掌握，檢驗(yàn)速度較快 缺點(diǎn)降低了檢驗(yàn)的準(zhǔn)確性，效率一般要低于參數(shù)檢驗(yàn)方法本章只介紹常用的 符號(hào)檢驗(yàn)（sign test） 秩和檢驗(yàn)（rank-sum test） 等級(jí)相關(guān)分析（rank correlation analysis）第一節(jié) 符號(hào)檢驗(yàn)一、配對(duì)資料的符號(hào)檢驗(yàn)二、樣本中位數(shù)與總體中位數(shù)比較的符號(hào)檢驗(yàn)一、配對(duì)資料的符號(hào)檢驗(yàn) 1、建立假設(shè) 無(wú)效假設(shè)HO：兩處理差值d總體中位數(shù)

2、=0 備擇假設(shè)HA：兩處理差值d總體中位數(shù)0 或d總體中位數(shù)0 （一尾檢驗(yàn)） 或d總體中位數(shù)0（一尾檢驗(yàn)） 2、計(jì)算差值并賦予符號(hào)d0者記為“+”，總個(gè)數(shù)記為n+d0者記為“”,總個(gè)數(shù)記為n- d=0記為“0”, 總個(gè)數(shù)記為n0n= n+ n- 檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為K 為n+、n-中的較小者 3、統(tǒng)計(jì)推斷 由n查附表15得臨界值K0.05(n)，K0.01(n)，作統(tǒng)計(jì)推斷： 如果KK0.05(n) ，P0.05，則不能否定HO，兩個(gè)試驗(yàn)處理差異不顯著； 如果K0.01(n) KK0.05(n) ，0.01P0.05，則否定HO，接受HA，兩個(gè)試驗(yàn)處理差異顯著； 如果KK0.01(n)，P0.01，

3、則否定HO，接受HA，兩個(gè)試驗(yàn)處理差異極顯著。 【例11.1】 某研究測(cè)定了噪聲刺激前后15頭豬的心率 ，結(jié)果見(jiàn)表11-1。問(wèn)噪聲對(duì)豬的心率有無(wú)影響？ 表11-1 豬噪聲刺激前后的心率（次/分鐘） 豬 號(hào)123456789101112131415刺激前617068738581656272847660807971刺激后757985778487887674818578888084差 值-14-9-17-41-6-23-14-23-9-18-8-1-13符 號(hào)-+-+- 1、提出無(wú)效假設(shè)與備擇假設(shè) HO ：噪聲刺激前后豬的心率差值d總體中位數(shù) =0； HA ：噪聲刺激前后豬的心率差值d總體中位數(shù) 0

4、。 2、計(jì)算差值并賦予符號(hào) 噪聲刺激前后的差值符號(hào)列于表11-1第4行和第5行，從而得n+=2 ，n-=13，n=2+13=15，K=min n+,n-= n+=2 。 3、統(tǒng)計(jì)推斷 當(dāng)n=15時(shí)， 查附表11 得 臨 界 值K0.05(15)=3 ， K0.01(15) = 2 ， 因 為 K = 2 = K0.01(15)，P0.01，表明噪聲刺激對(duì)豬的心率影響極顯著。 二、樣本中位數(shù)與總體中位數(shù)比較的符號(hào)檢驗(yàn) 1、建立假設(shè) HO：樣本所在的總體中位數(shù)=已知總體中位數(shù)； HA：樣本所在的總體中位數(shù)已知總體中位數(shù)。 （若將備擇假設(shè)HA中的“”改為“”或“”，則進(jìn)行一尾檢驗(yàn)） 2、計(jì)算差值、確

5、定符號(hào)及其個(gè)數(shù) 統(tǒng)計(jì)樣本觀察值與已知總體中位數(shù)的差值的符號(hào)，n= n+ n-檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量K 為n+、n-中的較小者。 3、統(tǒng)計(jì)推斷（同配對(duì)資料的符號(hào)檢驗(yàn)）注意： 樣本的配對(duì)數(shù)少于6對(duì)時(shí)，不能檢驗(yàn)出差別，在712對(duì)時(shí)也不敏感，在20對(duì)以上則比較有用。 【例11.2】已知某品種成年公黃牛胸圍平均數(shù)為140厘米，今在某地隨機(jī)抽取10頭該品種成年公黃牛，測(cè)得一組胸圍數(shù)字：128.1, 144.4 , 150.3 , 146.2, 140.6, 139.7, 134.1, 124.3, 147.9, 143.0（cm）。 問(wèn)該地成年公黃牛胸圍與該品種胸圍平均數(shù)是否有顯著差異？ 表11-2 成年公黃牛胸圍

6、測(cè)定值符號(hào)檢驗(yàn)表 牛號(hào)12345678910胸圍128.1144.4150.3146.2140.6139.7134.1124.3147.9143差值-11.94.46.36.20.6-0.3-5.9-15.77.93符號(hào)-+-+ 1、提出無(wú)效假設(shè)與備擇假設(shè) HO ：該地成年公黃牛胸圍的平均數(shù)=140厘米, HA ：該地成年公黃牛胸圍的平均數(shù)140厘米。 2、計(jì)算差值、確定符號(hào)及其個(gè)數(shù) 樣本各觀測(cè)值與總體平均數(shù)的差值及其符號(hào)列于表11-2，并由此得 n+=6 ，n-=4，n=6+4=10，K=min n+,n-= n-=4 。 3、統(tǒng)計(jì)推斷 由 n = 10 ， 查 附 表 11， 得K0.05

7、(10)=1，KK0.05(10) ，P0.05，不能否定HO ，表明樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)差異不顯著，可以認(rèn)為該地成年公黃牛胸圍的平均數(shù)與該品種胸圍總體平均數(shù)相同。 第二節(jié) 秩和檢驗(yàn) 秩和檢驗(yàn)也叫做符號(hào)秩和檢驗(yàn)（signed rank-sum test），或稱Wilcoxon檢驗(yàn)，其統(tǒng)計(jì)效率遠(yuǎn)較符號(hào)檢驗(yàn)為高。秩和檢驗(yàn)與符號(hào)檢驗(yàn)法不同，要求差數(shù)來(lái)自某些對(duì)稱分布的總體，但并不要求每一差數(shù)來(lái)自相同的分布。 方法：將觀察值按由小到大的次序排列， 編定秩次， 求出秩和進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。一、配對(duì)試驗(yàn)資料的符號(hào)秩和檢驗(yàn)二、非配對(duì)試驗(yàn)資料的秩和檢驗(yàn)三、多個(gè)樣本比較的秩和檢驗(yàn)四、多個(gè)樣本兩兩比較的秩和檢驗(yàn)一、配對(duì)

8、試驗(yàn)資料的符號(hào)秩和檢驗(yàn)（Wilcoxon配對(duì)法） 1、建立假設(shè) HO：差值d總體的中位數(shù)=0； HA：差值d總體的中位數(shù)0。 2、秩次和符號(hào) 求配對(duì)數(shù)據(jù)的差值d； 按d絕對(duì)值從小到大編秩次； 根據(jù)原差值正負(fù)在各秩次前標(biāo)上正負(fù)號(hào) 3、統(tǒng)計(jì)量T 分別計(jì)算正秩次及負(fù)秩次的和， 以絕對(duì)值較小的秩和絕對(duì)值為檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量T。 4、統(tǒng)計(jì)推斷 根據(jù)n（正、負(fù)差值的總個(gè)數(shù)為n ）查附表14(1)符號(hào)秩和檢驗(yàn)用T臨界值表，得T0.05(n)，T0.01(n)。 如果TT0.05(n) ，P0.05，則不能否定HO，表明兩個(gè)試驗(yàn)處理差異不顯著； 如果T0.01(n) TT0.05(n) ，0.01P0.05，則否定

9、HO，接受HA，表明兩個(gè)試驗(yàn)處理差異顯著； 如果TT0.01(n)，P0.01，則否定HO，接受HA，表明兩個(gè)試驗(yàn)處理差異極顯著 【例11.3】 某試驗(yàn)用大白鼠研究飼料維生素E缺乏與肝臟中維生素A含量的關(guān)系，先將大白鼠按性別、月齡、體重等配為10對(duì)，再把每對(duì)中的兩只大白鼠隨機(jī)分配到正常飼料組和維生素E缺乏飼料組，試驗(yàn)結(jié)束后測(cè)定大白鼠肝中維生素A的含量如表11-4。試檢驗(yàn)兩組大白鼠肝中維生素A的含量是否有顯著差異。 表11-3 不同飼料鼠肝維生素A含量資料（國(guó)際單位/克） 鼠對(duì)別12345678910正常飼料組3550200031003000395038003620375034503050維生素

10、E缺乏組2450240031001800320032503620270027001750差值di1100-40001200750550010507501300秩次+6-1+7+3.5+2+5+3.5+8 1、提出無(wú)效假設(shè)與備擇假設(shè) HO：差值d總體的中位數(shù)=0； HA：差值d總體的中位數(shù)0。 2、編秩次、定符號(hào) 計(jì)算表11-3中配對(duì)數(shù)據(jù)差值di，將d =0的舍去，共有差值n=8 個(gè)。按絕對(duì)值從小到大排列秩次并標(biāo)上相應(yīng)的符號(hào)，差值絕對(duì)值為750的有兩個(gè)，它們的秩次為3和4，所以其平均秩次為（3+4）/2=3.5，結(jié)果見(jiàn)表11-3。 3、確定統(tǒng)計(jì)量T 此例，正號(hào)有7個(gè)，其秩次為2，3.5，3.5，

11、5，6，7，8，秩次和為：2+3.5+3.5+5+6+7=35；負(fù)號(hào)只有1個(gè)，其秩次為1，秩次和等于1。負(fù)號(hào)秩次和較小，所以T=1。 4、統(tǒng)計(jì)推斷 由n=8查附表10(1)得， T0.05(8)=3，T0.01(n)=0，因?yàn)門(mén)0.01(8) TT0.05(8) ，0.01P0.05，否定HO，接受HA，表明兩個(gè)試驗(yàn)處理差異顯著。 二、非配對(duì)試驗(yàn)資料的秩和檢驗(yàn)（Wilcoxon非配對(duì)法） 1、建立假設(shè) HO：甲樣本所在的總體的中位數(shù)=乙樣本所在的總體的中位數(shù)； HA：甲樣本所在的總體的中位數(shù)乙樣本所在的總體的中位數(shù)。 2、求兩個(gè)樣本合并數(shù)據(jù)的秩次 將兩樣本合并后的數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，與每

12、個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的序號(hào)即為該數(shù)據(jù)的秩次，最小數(shù)值的秩次為“1”，最大數(shù)值的秩次為“n1+n2”。 3、確定統(tǒng)計(jì)量T 將兩個(gè)樣本重新分開(kāi)，計(jì)算各自的秩和。將較小的樣本含量作為n1，其秩和作為檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量T。若n1=n2，則任取一組的秩和為T(mén)。 4、統(tǒng)計(jì)推斷 由n1、(n2n1)查附表14(2)，得接受區(qū)域T0.05T0.05，T0.01-T0.01 。 若T 在T0.05T0.05之內(nèi)，P0.05，則不能否定HO， 若T在T0.05T0.05之外但在T0.01T0.01之內(nèi)，0.01P0.05，則否定HO，接受HA; 若T在T0.01T0.01之外，P0.01，則否定HO，接受HA， 【例11.4】

13、研究?jī)煞N不同能量水平飼料對(duì)5-6周齡肉仔雞增重（克）的影響，資料如表11-4所示。問(wèn)兩種不同能量水平的飼料對(duì)肉仔雞增重的影響有無(wú)差異？ 表11-4 兩種不同能量水平飼料的肉仔雞增重及秩和檢驗(yàn) 飼 料肉仔雞增重（g） 高能量603585598620617650n1=6秩 次128.511141315T1=73.5低能量489457512567512585591531467 n2=9秩 次314758.510 6 2 T2=46.5 1、提出無(wú)效假設(shè)與備擇假設(shè) HO：高能量飼料增重總體的中位數(shù)=低能量飼料增重總體的中位數(shù)； HA：高能量飼料增重總體的中位數(shù)低能量飼料增重總體的中位數(shù)。 2、編秩次

14、將兩組數(shù)據(jù)混合從小到大排列為秩次。在低能量組有兩個(gè)“512”，不求平均秩次，其 ；在高、低兩組有一對(duì)數(shù)據(jù)為“585”，需求它們的平均秩次：(8+9)/2=8.5。結(jié)果見(jiàn)表11-4。 3、確定統(tǒng)計(jì)量T 以較小樣本的秩次和為統(tǒng)計(jì)量T，即T= 73.5。 4、統(tǒng)計(jì)推斷 由n1=6, n2-n1=9-6=3查附表10（2）得，為3165，為2670。T=73.5在，即2670之外，P0.01, 否定HO，接受HA，表明飼料能量高低對(duì)肉仔雞增重的影響差異極顯著。 三、多個(gè)樣本比較的秩和檢驗(yàn)（Kruskal-Wallis法，H法） 1、提出無(wú)效假設(shè)與備擇假設(shè) HO：各個(gè)樣本所分別代表的各總體分布位置相同；

15、 HA：各個(gè)樣本所分別代表的各總體分布位置不完全相同。 2、編秩次、求秩和 將各個(gè)樣本的所有觀測(cè)值混合后，按照由小到大的順序排成1，2，n個(gè)秩次。不同樣本的相同觀測(cè)值，取平均秩次；一個(gè)樣本內(nèi)的相同觀測(cè)值，不求平均秩次。按樣本把每個(gè)觀測(cè)值的秩次一一相加，求出各樣本的秩和。 3、求H值 式中，Ri為第i個(gè)樣本的秩次之和； ni為第i個(gè)樣本的含量；n=ni 4、統(tǒng)計(jì)推斷 根據(jù)n, ni查附表10（3），得臨界值：H0.05，H0.01。若HH0.05，P0.05，不能否定HO，可以認(rèn)為各樣本代表的各總體分布位置相同；若H0.05HH0.01, 0.01P0.05，否定HO，接受HA，表明各樣本所代表

16、的各總體分布位置顯著不同；若HH0.01, P0.01，表明各樣本所代表的各總體分布位置極顯著不同。 當(dāng)樣本數(shù)k3，ni5時(shí)，不能從附表10（3）中查得H值。這時(shí)H近似地呈自由度為k1的分布，可對(duì)H進(jìn)行檢驗(yàn)。 當(dāng)相同的秩次較多時(shí)，按（11-1）式計(jì)算的H值常常偏低，此時(shí)應(yīng)按（11-2）式求校正的H值HC：式中，tj表示某個(gè)數(shù)重復(fù)的次數(shù)。 【例11.5】 某試驗(yàn)研究三種不同制劑治療鉤蟲(chóng)的效果，用11只大白鼠做試驗(yàn) ，分為三組。每只鼠先人工感染500條鉤蚴，感染后第8天 ，三組分別給服用甲 、乙 、丙三種制劑 ，第10天全部解剖檢查各鼠體內(nèi)活蟲(chóng)數(shù)，試驗(yàn)結(jié)果如表11-5所示 。 試檢驗(yàn)三種制劑殺滅鉤

17、蟲(chóng)的效果有無(wú)差異。 表11-7 三種制劑殺滅鉤蟲(chóng)效果及秩和檢驗(yàn) 制劑甲組（a）制劑乙組（b）制劑丙組（c）活蟲(chóng)數(shù)秩次活蟲(chóng)數(shù)秩次活蟲(chóng)數(shù)秩次2796229421033381127452857334103109117119823038ni5 3 3Ri371811 1、提出無(wú)效假設(shè)與備擇假設(shè) HO：三種制劑活蟲(chóng)數(shù)總體分布位置相同； HA：三種制劑活蟲(chóng)數(shù)總體分布位置不完全相同。 2、編秩次、求秩和 三個(gè)組觀測(cè)值混合后的秩次如表11-5所示，最后一行為各組秩次之和。 3、求H值 由（11-1）式，得 4、統(tǒng)計(jì)推斷 當(dāng)n=11, n1=5, n2=3, n3=3時(shí)，查附表10（3），得H0.05=5.65

18、。因?yàn)镠H0.05, P0.05，不能否定HO，表明三種制劑殺滅鉤蟲(chóng)的效果差異不顯著。 【例11.6】 對(duì)某種疾病采用一穴、二穴、三穴作針刺治療，治療效果分為控制、顯效、有效、無(wú)效4級(jí)。治療結(jié)果見(jiàn)表11-6第（2）、（3）、（4）欄。問(wèn)3種針刺治療方式療效有無(wú)顯著差異？ 表11-6 3種針刺方式治療效果及秩和檢驗(yàn) 等級(jí)一穴二穴三穴合計(jì)秩次范圍平均秩次各組秩和 一穴二穴三穴控制2130106116131.0651.0930.0310.0顯效181022506211186.51557.0865.01903.0有效1581134112145128.51927.51028.01413.5無(wú)效52815

19、146160153.0765.0306.01224.0合計(jì)5950511604900.53129.04850.5(n1)(n2)(n3)(n)(R1) (R2) (R3) 1、提出無(wú)效假設(shè)與備擇假設(shè) HO：三種針刺方式治療效果相同； HA：三種針刺方式治療效果不完全相同。 2、編秩次、求秩和 秩次、秩和等的計(jì)算結(jié)果列于表11-6。其中的合計(jì)欄（5）=（2）+（3）+（4）欄；秩次范圍欄（6）為每一等級(jí)組應(yīng)占的秩次；平均秩次欄（7），是因?yàn)橥唤M所包含的秩次同屬一個(gè)等級(jí)，不能分列出高低，故一律以其平均秩次為代表，平均秩次等于各等級(jí)組秩次下限與上限之和的平均；各組秩和R1、R2、R3分別等于第（2

20、）、（3）、（4）欄乘以第（7）欄所得第（8）、（9）、（10）欄各自的和。 3、求H值 因?yàn)楦鞯燃?jí)組段均以平均秩次作為代表，視為相同秩次，其相同秩次的個(gè)數(shù)等于各自的秩次合計(jì)，見(jiàn)第（5）欄。顯然相同秩次較多，宜用（11-2）式求HC。先按（11-1）式計(jì)算H值：而 于是利用（11-2）式，得：此試驗(yàn)處理數(shù)為3，所以df=31=2，查值表得。因?yàn)椋琍0.01,表明3種針刺方式的治療效果差異極顯著。四、多個(gè)樣本兩兩比較的秩和檢驗(yàn)（Nemenyi-Wilcoxson-Wilcox法） 當(dāng)多組計(jì)量資料或等級(jí)資料經(jīng)多個(gè)樣本比較的秩和檢驗(yàn)，認(rèn)為各總體的分布位置不完全相同時(shí)，常需要進(jìn)一步作兩兩比較的秩和檢驗(yàn)

21、，以推斷哪兩個(gè)總體的分布位置不同，哪兩個(gè)總體分布位置并無(wú)不同。 這個(gè)方法類似方差分析中的多重比較，常用q法： 式中，為秩和差異標(biāo)準(zhǔn)誤，計(jì)算公式為：n為樣本含量即處理的重復(fù)數(shù)；k為比較的兩秩和差數(shù)范圍內(nèi)所包含的處理數(shù)?？梢?jiàn)，這里的q法只適用于重復(fù)數(shù)相等的試驗(yàn)資料。 計(jì)算q值后，以df=和k查附表5，得臨界值，作出統(tǒng)計(jì)推斷。 【例11.7】 某種激素4種劑量對(duì)大白鼠恥骨間隙寬度增加量的影響試驗(yàn)，結(jié)果見(jiàn)表11-7。問(wèn)4種劑量大白鼠恥骨間隙的增加量是否有顯著差異？ 表11-7 四種劑量大白鼠恥骨間隙增加量及秩和檢驗(yàn) 劑量增加量（單位：mm） Ri10.15(1)0.30(2)0.40(3)0.40(4

22、)0.50(5) 1521.20(6.5)1.35(8)1.40(9.5)1.50(11)1.90(14)4932.50(19.5)1.20(6.5)1.40(9.5)2.00(15)2.20(16.5)6741.80(13)1.60(12)2.50(19.5)2.20 (16. 5)2.30(18)79 1、提出無(wú)效假設(shè)與備擇假設(shè) HO：四種劑量大白鼠恥骨間隙寬度增加量的總體分布位置相同； HA：四種劑量大白鼠恥骨間隙寬度增加量的總體分布位置不全相同。 2、編秩次、求秩和 將 四 組 觀測(cè)值混合，由 小 到大編秩次，見(jiàn)表 11-7 括 號(hào) 內(nèi) 數(shù)字。不同組的相同觀測(cè)值取平均秩次 ，如第2、3

23、組各有一個(gè)1.20，取它們?cè)瓉?lái)秩次 6 和 7的平均6.5，余此類推 ；同一組內(nèi)相同觀測(cè)值不求平均秩次 。 各組 秩 和 見(jiàn) 表11-7最后一欄。 3、求H值 因?yàn)楸纠?個(gè)1.20，2個(gè)1.40，2個(gè)2.20，2個(gè)2.50 ，所以用（11-1）式求校正HC。先按（11-2）式計(jì)算H。而所以 4、統(tǒng)計(jì)推斷 本例k=4，超出附表10（3）的范圍，故用值（附表7）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。當(dāng)df=41=3時(shí)，查附表7，得。因?yàn)?，P0.01，表明用4種劑量的大白鼠恥骨間隙寬度的增加量差異極顯著。 5、多個(gè)樣本的兩兩比較 列出兩兩比較表（表11-8）。表11-8 4種劑量大白鼠恥骨間隙寬度增加量秩和兩兩比較 比較差數(shù)Ri-Rj秩次距kq值臨界q值檢驗(yàn)結(jié)果=0.05=0.01（1）（2）（3）（4） （5）（6）（7）（8）1與464413.22884.843.634.40*1與352310.00005.203.324.12*1與23426.77005.022.773.64*2與430310.00003.003.324.12ns2與31826.77002.662.773.64ns3與41226.77001.772.773.64ns第三節(jié) 等級(jí)相關(guān)分析 等級(jí)相關(guān)程度的大小和相關(guān)方向用等級(jí)相關(guān)系數(shù)（coefficient of r