空間幾何體的表面積與體積30721

1、1.3.1 柱體、椎體、臺體的表面積與體積一、柱體、錐體、臺體的表面積(1)矩形面積公式： _。(2)三角形面積公式：_。 正三角形面積公式：_。(3)圓面積面積公式：_。(4)圓周長公式： _。(5)扇形面積公式： _。(6)梯形面積公式： _復習回顧柱體錐體臺體球幾何體的分類多面體旋轉(zhuǎn)體 在初中已經(jīng)學過了正方體和長方體的表面積，你知道正方體和長方體的表面積怎樣得到的幾何體表面積展開圖平面圖形面積空間問題平面問題把直三棱柱側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？正棱錐的側(cè)面展開圖是什么？側(cè)面展開正棱錐的側(cè)面積如何計算？表面積如何計算？ 正棱臺的側(cè)面展開圖是什么？側(cè)面展開hh正棱臺的側(cè)

2、面積如何計算？ 表面積如何計算？棱柱、棱錐、棱臺的表面積h一般地,多面體的表面積就是各個面的面積之和表面積=側(cè)面積+底面積小結(jié)：1、弄清楚柱、錐、臺的側(cè)面展開圖的形狀是關鍵； 2、對應的面積公式C=0C=C 例1 已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，求它的表面積 BCAS 例1 已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，求它的表面積 DBCAS所以： 因此，四面體S-ABC 的表面積交BC于點D解：先求 的面積，過點S作典型例題因為求多面體的表面積可以通過求各個平面多邊形的面積和得到,那么旋轉(zhuǎn)體的表面積該如何求呢?思考OOOOOOOrr上底擴大r0上底縮小三者之間關系

3、圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么關系？ 例2 如圖，一個圓臺形花盆盆口直徑20 cm，盆底直徑為15cm，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm，盆壁長15cm那么花盆的表面積約是多少平方厘米（ 取3.14，結(jié)果精確到1 ）？ 解：由圓臺的表面積公式得 花盆的表面積：答：花盆的表面積約是999 典型例題各面面積之和小結(jié)：展開圖 圓臺圓柱圓錐空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題棱柱、棱錐、棱臺圓柱、圓錐、圓臺所用的數(shù)學思想：柱體、錐體、臺體的表面積二、柱體、錐體、臺體的體積長方體體積：正方體體積：圓柱的體積：abhaaah底面積高柱體體積 以前學過特殊的棱柱正方體、長方體以及圓柱的體積公式,它們的體積公式可

4、以統(tǒng)一為：柱體體積柱體（棱柱、圓柱）的體積公式：（其中S為底面面積，h為柱體的高）3.1錐體（棱錐、圓錐）的體積 （底面積S，高h） 注意：三棱錐的頂點和底面可以根據(jù)需要變換，四面體的每一個面都可以作為底面，可以用來求點到面的距離問題:錐體(棱錐、圓錐）的體積椎體（圓錐、棱錐）的體積公式：錐體體積（其中S為底面面積，h為高）h 由此可知， 棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高； 棱錐與圓錐的體積公式類似，都是底面面積乘高的 ss/ss/hx四.臺體的體積V臺體=上下底面積分別是s/,s,高是h，則臺體（棱臺、圓臺）的體積公式臺體體積柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關系？S為底面面積，

5、h為柱體高 分別為上、下底面面積，h 為臺體高S為底面面積，h為錐體高上底擴大上底縮小例2 如圖，一個圓臺形花盆盆口直徑20 cm，盆底直徑為15cm，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm，盆壁長15cm那么花盆的表面積約是多少平方厘米？ 例3 有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六邊形，邊長為12mm，內(nèi)孔直徑為10mm，高為10mm，問這堆螺帽大約有多少個（ 取3.14）？ 解：六角螺帽的體積是六棱柱的體積與圓柱體積之差，即:所以螺帽的個數(shù)為（個）答：這堆螺帽大約有252個典型例題RR球的體積：一個半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個以上底面為底面，下底面圓心為頂

6、點的圓錐后，所得的幾何體的體積與一個半徑為R的半球的體積相等。探究RR半徑為R的球的體積 第一步：分割O球面被分割成n個網(wǎng)格， 表面積分別為：則球的表面積：則球的體積為：設“小錐體”的體積為：O知識點三、球的表面積和體積（O第二步：求近似和O由第一步得：第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積 如果網(wǎng)格分的越細,則: 由 得: 球的體積:的值就趨向于球的半徑RO“小錐體”就越接近小棱錐。半徑為R的球的表面積公式設球的半徑為R，則球的體積公式為V球 .43R3例1(2009年高考上海卷)若球O1、O2表面積之比4，則它們的半徑之比_.(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼谋丁?2)若球半徑變?yōu)樵瓉淼?/p>

7、2倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼谋丁?3)若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是。(4)若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是。例2：例3.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,它的各個頂點都在球O的球面上，問球O的表面積。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。略解：變題1.如果球O和這個正方體的六個面都相切，則有S=。變題2.如果球O和這個正方體的各條棱都相切，則有S=。關鍵：找正方體的棱長a與球半徑R之間的關系OABC例4已知過球面上三點A、B、C的截面到球心O的距離

8、等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的體積，表面積解：如圖，設球O半徑為R，截面O的半徑為r，題型一 旋轉(zhuǎn)體的表面積及其體積 如圖所示,半徑為R的半圓內(nèi)的 陰影部分以直徑AB所在直線為軸,旋 轉(zhuǎn)一周得到一幾何體,求該幾何體的 表面積(其中BAC=30)及其體積. 先分析陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成幾何體的 形狀,再求表面積.解 如圖所示,過C作CO1AB于O1,在半圓中可得BCA=90,BAC=30,AB=2R,AC= ,BC=R,S球=4R2, 解決這類題的關鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所形成的圖形的形狀，再將圖形進行合理的分割，然后利用有關公式進行計算. 知能遷移2 已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個內(nèi)

9、 接圓柱，這個圓柱底面半徑與高為何值時，它 的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？ 解 如圖為軸截面. 設圓柱的高為h，底面半徑為r， 側(cè)面積為S，則知能遷移2 已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個內(nèi) 接圓柱，這個圓柱底面半徑與高為何值時，它 的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？ 解 如圖為軸截面. 設圓柱的高為h，底面半徑為r， 側(cè)面積為S，則題型二 多面體的表面積及其體積 一個正三棱錐的底面邊長為6，側(cè)棱長 為 ，求這個三棱錐的體積. 本題為求棱錐的體積問題.已知底面 邊長和側(cè)棱長，可先求出三棱錐的底面面積 和高，再根據(jù)體積公式求出其體積. 解 如圖所示， 正三棱錐SABC. 設H為正ABC的中心

10、， 連接SH， 則SH的長即為該正三棱錐的高.連接AH并延長交BC于E，則E為BC的中點，且AHBC.ABC是邊長為6的正三角形， 求錐體的體積，要選擇適當?shù)牡酌婧透?，然后應用公?進行計算即可.常用方法：割補法和等積變換法.（1）割補法：求一個幾何體的體積可以將這個幾何體分割成幾個柱體、錐體，分別求出錐體和柱體的體積，從而得出幾何體的體積.（2）等積變換法：利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面.求體積時，可選擇容易計算的方式來計算；利用“等積性”可求“點到面的距離”.題型三 組合體的表面積及其體積 (12分)如圖所示,在等腰梯形ABCD中, AB=2DC=2，DAB=60，E為AB的中點， 將ADE與BEC分別沿ED、EC向上折起， 使A、B重合,求形成的三棱錐的外接球的體積. 易知折疊成的幾何體是棱長為1的正 四面體，要求外接球的體積只要求出外接球的 半徑即可. 解 由已知條件知，平面圖形中 AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1. 折疊后得到一個正四面體. 2分 方法一 作AF平面DEC，垂足為F，F(xiàn)即為DE