機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)及應(yīng)用第六章課件

1、第六章 約束優(yōu)化方法第一節(jié) 概 述 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中的問題，大多數(shù)屬于約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，其數(shù)學(xué)模型為：求解上式的方法稱為約束優(yōu)化方法。 根據(jù)求解方式的不同，可分為直接解法和間接解法。 直接解法通常適用于僅含不等式約束的問題。步長可行搜索方向滿足兩個(gè)條件：1、設(shè)計(jì)點(diǎn)沿該方向作微量移動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值下降；2、不會(huì)越出可行域。直接解法的特點(diǎn)：1）由于整個(gè)求解過程在可行域內(nèi)進(jìn)行，因此迭代計(jì)算不論何時(shí)終止，都可以獲得一個(gè)比初始點(diǎn)好的設(shè)計(jì)點(diǎn)。2）若目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，可行域?yàn)橥辜瑒t可保證獲得全域最優(yōu)解，否則，因存在多個(gè)局部最優(yōu)解，當(dāng)選擇的初始點(diǎn)不同時(shí)，可能搜索到不同的局部最優(yōu)解。 為此常在可行域內(nèi)選擇幾個(gè)差

2、別較大的初始點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，以便從求得的多個(gè)局部最優(yōu)解中選擇更好的最優(yōu)解。3）要求可行域?yàn)橛薪绲姆强占?，即在有界可行域?nèi)存在滿足全部約束條件的點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)有定義。 間接解法有不同的求解策略。 其中一種解法的基本思路是將約束優(yōu)化問題中的約束函數(shù)進(jìn)行特殊的加權(quán)處理后，和目標(biāo)函數(shù)結(jié)合起來，構(gòu)成一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)或一系列的無約束優(yōu)化問題，再對(duì)新的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行無約束優(yōu)化計(jì)算，從而間接的搜索到原約束問題的最優(yōu)解。 間接解法的基本迭代過程是，首先將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成新的無約束目標(biāo)函數(shù) 然后對(duì) 進(jìn)行無約束極小化計(jì)算。由于在新目標(biāo)函數(shù)中包含了各種約束條件，在求極值的過程中還將改變加

3、權(quán)因子的大小，因此可以不斷地調(diào)整設(shè)計(jì)點(diǎn)，使其逐步逼近約束邊界，從而間接的求得原約束問題的最優(yōu)解。例6-1 求解約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解解：用間接解法時(shí)， 可取令解得：間接解法的特點(diǎn)：1）由于無約束優(yōu)化方法的研究日趨成熟，使得間接解法有了可靠的基礎(chǔ)。 這類算法的計(jì)算效率和數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性也都有較大的提高。2）可以有效的處理具有等式約束的約束優(yōu)化問題。3）主要問題：選取加權(quán)因子較為困難。 加權(quán)因子選取不當(dāng)，不但影響收斂速度和計(jì)算精度，甚至?xí)?dǎo)致計(jì)算失敗。第二節(jié) 隨 機(jī) 方 向 法 隨機(jī)方向法是一種原理簡(jiǎn)單的直接解法，基本思路是在可行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn)，利用隨機(jī)數(shù)的概率特性，產(chǎn)生若干個(gè)隨機(jī)方向，并從中選

4、擇一個(gè)能使目標(biāo)函數(shù)值下降最快的隨機(jī)方向，作為可行搜索方向，然后從初始點(diǎn)出發(fā)，沿該方向以一定的步長進(jìn)行搜索，得到新點(diǎn)，新點(diǎn)應(yīng)滿足約束條件。至此完成一次迭代，然后將起始點(diǎn)移至新點(diǎn)，重復(fù)上述過程，最終取得約束最優(yōu)解。優(yōu)點(diǎn)： 對(duì)目標(biāo)函數(shù)的性態(tài)無特殊要求，程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，使用方便。 由于可行搜索方向是從許多隨機(jī)方向中選擇的使目標(biāo)函數(shù)下降最快的方向，加之步長還可以靈活變動(dòng)，所以此算法的收斂速度比較快，若能取得一個(gè)較好的初始點(diǎn)，迭代次數(shù)可以大大減少，它是求解小型的機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的一種十分有效的算法。一、隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生 在隨機(jī)方向法中，為產(chǎn)生可行的初始點(diǎn)及隨機(jī)方向，需要用到大量的（0，1）和（-1，1）區(qū)間內(nèi)均

5、勻分布的隨機(jī)數(shù)，在計(jì)算機(jī)內(nèi)，隨機(jī)數(shù)通常是按一定的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算后得到的，這樣得到的隨機(jī)數(shù)稱為偽隨機(jī)數(shù)，它的特點(diǎn)是產(chǎn)生速度快，計(jì)算機(jī)內(nèi)存占用少，并且有較好的概率統(tǒng)計(jì)特性。 首先令 取r=2657863（為小于r1的正奇數(shù)），然后按以下步驟計(jì)算：即q為（0，1）區(qū)間內(nèi)的偽隨機(jī)數(shù)，利用q容易求得任意區(qū)間(a,b)內(nèi)的偽隨機(jī)數(shù)，即：二、初始點(diǎn)的選擇 隨機(jī)方向法的初始點(diǎn)必須是一個(gè)可行點(diǎn)，即滿足全部不等式約束條件，當(dāng)約束條件較為復(fù)雜時(shí)，用人工不易選擇可行初始點(diǎn)，可用隨機(jī)選擇的方法來產(chǎn)生。其計(jì)算步驟如下： 1）輸入設(shè)計(jì)變量的下限值和上限值，即2）在區(qū)間（0，1）內(nèi)產(chǎn)生n個(gè)偽隨機(jī)數(shù)3）計(jì)算隨機(jī)點(diǎn)的各分量4）

6、判別隨機(jī)點(diǎn)是否可行，若隨機(jī)點(diǎn)為可行點(diǎn)，則取為初始點(diǎn)，否則轉(zhuǎn)步驟2）重新計(jì)算，直到產(chǎn)生的隨機(jī)點(diǎn)是可行點(diǎn)為止。三、可行搜索方向的產(chǎn)生 在隨機(jī)方向法中，產(chǎn)生可行搜索方向的方法是從 個(gè)隨機(jī)方向中，選取一個(gè)較好的方向，其計(jì)算步驟為：1）在（-1，1）區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù) ，其方法為：按下式計(jì)算隨機(jī)單位向量2）取一試驗(yàn)步長 ，按下式計(jì)算k個(gè)隨機(jī)點(diǎn)：3）檢驗(yàn)k個(gè)隨機(jī)點(diǎn) 是否為可行點(diǎn)，除去非可行點(diǎn)，計(jì)算余下的可行隨機(jī)點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，比較其大小，選出目標(biāo)函數(shù)值最小的點(diǎn) 。4）比較 和 兩點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，若 則取 和 的連線方向作為可行搜索方向，若 ，則將步長 縮小，轉(zhuǎn)1）重新計(jì)算。直至 為止。如果 縮小到很小，仍

7、然找不到一個(gè) ，使 ，這說明 是一個(gè)局部極小點(diǎn)，此時(shí)更換初始點(diǎn)，轉(zhuǎn)1）。綜上所述，產(chǎn)生可行搜索方向的條件可概括為，當(dāng) 點(diǎn)滿足：則可行搜索方向?yàn)椋核摹⑺阉鞑介L的確定 可行搜索方向 確定后，初始點(diǎn)移至 即 ，從 點(diǎn)出發(fā)，沿 方向進(jìn)行搜索，所用的步長 一般按加速步長法來確定。 所謂加速步長法是指一次迭代的步長按一定的比例遞增的方法，各次迭代的步長按下式計(jì)算：步長加速系數(shù)，可取1.3五、隨機(jī)方向的計(jì)算步驟1）選擇一個(gè)可行的初始點(diǎn)；2）產(chǎn)生k個(gè)n維隨機(jī)單位向量 ；3）取試驗(yàn)步長 ，計(jì)算k個(gè)隨機(jī)點(diǎn) ；4）在k個(gè)隨機(jī)點(diǎn)中，找出滿足要求的隨機(jī)點(diǎn) ，產(chǎn)生可行搜索方向 ；5） ，從初始點(diǎn) 出發(fā)，沿可行方向 以步長

8、 進(jìn)行迭代計(jì)算，直到搜索到一個(gè)滿足全部約束條件，且目標(biāo)函數(shù)值不再下降的新點(diǎn) 。6）若收斂條件得到滿足，迭代終止。約束最優(yōu)解為否則，令 轉(zhuǎn)步驟2）。例6-2 求約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解解：第三節(jié) 復(fù) 合 形 法一、初始復(fù)合形的形成 復(fù)合形法是在可行域內(nèi)直接搜索最優(yōu)點(diǎn)，因此要求初始復(fù)合型在可行域內(nèi)生成，即復(fù)合形的k個(gè)頂點(diǎn)必須都是可行點(diǎn)。生成初始復(fù)合形的方法有以下幾種：1、由設(shè)計(jì)者決定k個(gè)可行點(diǎn)，構(gòu)成初始復(fù)合形，當(dāng)設(shè)計(jì)變量較多或約束函數(shù)復(fù)雜時(shí)，由設(shè)計(jì)者決定k個(gè)可行點(diǎn)很困難，只有設(shè)計(jì)量少，約束函數(shù)簡(jiǎn)單的情況下，這種方法才被采用。2、由設(shè)計(jì)者選定一個(gè)可行點(diǎn)，其余的（k-1）個(gè)可行點(diǎn)用隨機(jī)法產(chǎn)生，各頂點(diǎn)按下式

9、計(jì)算： 用上式計(jì)算得到的（k-1）個(gè)隨機(jī)點(diǎn)不一定都在可行域內(nèi)，因此要設(shè)法將非可行點(diǎn)移到可行域內(nèi)。 通常采用的方法是，求出已經(jīng)在可行域內(nèi)的L個(gè)頂點(diǎn)的中心然后將非可行點(diǎn)向中心點(diǎn)移動(dòng)，即：若 仍為不可行點(diǎn)，則利用上式使其繼續(xù)向中心移動(dòng)，顯然，只要中心點(diǎn)可行， 點(diǎn)一定可以移動(dòng)到可行域內(nèi)。隨機(jī)產(chǎn)生的k-1個(gè)點(diǎn)經(jīng)過這樣處理后全部成為可行點(diǎn)，并構(gòu)成初始復(fù)合形。 事實(shí)上，只要可行域?yàn)橥辜?，其中心點(diǎn)必為可行點(diǎn)，用上述方法可以成功的在可行域內(nèi)構(gòu)成初始復(fù)合形。 如果可行域?yàn)榉峭辜?，中心點(diǎn)不一定在可行域內(nèi)，則上述方法可能失敗。 此時(shí)可通過改變?cè)O(shè)計(jì)變量的上限和下限值，重新產(chǎn)生各頂點(diǎn)，經(jīng)過多次試算，有可能在可行域內(nèi)生成初

10、始復(fù)合形。3、由計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成初始復(fù)合形的全部頂點(diǎn)，其方法是首先隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)可行點(diǎn)，然后按第二種方法產(chǎn)生其余的k-1個(gè)可行點(diǎn)。 這種方法對(duì)設(shè)計(jì)者來說最簡(jiǎn)單，但因初始復(fù)合形在可行域內(nèi)的位置不能控制，可能會(huì)給以后的計(jì)算帶來困難。二、復(fù)合形法的搜索方法 在可行域內(nèi)生成初始復(fù)合形后，將采用不同的搜索方法來改變其形狀，使復(fù)合形逐步向約束最優(yōu)點(diǎn)趨近，改變復(fù)合形形狀的搜索方法主要有以下幾種：1、反射 反射是改變復(fù)合形形狀的一種主要策略，其計(jì)算步驟為：1）計(jì)算復(fù)合形各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，并比較其大小，求出最好點(diǎn) ，最差點(diǎn) 及次差點(diǎn) ；2）計(jì)算除去最壞點(diǎn) 外的（k-1）個(gè)頂點(diǎn)的中心3）從統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)來看，一般情況下

11、最壞點(diǎn) 和中心點(diǎn) 的連線方向?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)下降的方向。 為此，以 為中心，將 按一定比例進(jìn)行反射：反射系數(shù)，1.34）判別反射點(diǎn) 的位置若 為可行點(diǎn)，則比較 和 目標(biāo)函數(shù)值；若 則用 取代 ，構(gòu)成新的復(fù)合形，完成一次迭代；若 ，則將 縮小0.7倍，重新計(jì)算反射點(diǎn)，若仍不行，繼續(xù)縮小 ，直至 為止。若 為非可行點(diǎn)，則將 縮小0.7倍，重新計(jì)算 ，直至可行為止，然后重復(fù)以上步驟。2、擴(kuò)張 當(dāng)求得的反射點(diǎn) 為可行點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)值下降較多（如 ），則沿反射方向繼續(xù)移動(dòng)，即采用擴(kuò)張的方法，可能找到更好的新點(diǎn) ， 成為擴(kuò)張點(diǎn)。擴(kuò)張系數(shù)，取1 若擴(kuò)張點(diǎn) 為可行點(diǎn)，且 ，則稱擴(kuò)張成功， 代替 ，構(gòu)成新的復(fù)合形，否

12、則擴(kuò)張失敗，放棄擴(kuò)張，仍用 取代 。3、收縮 若在中心點(diǎn) 以外找不到好的反射點(diǎn)，還可以在 以內(nèi)，即采用收縮的方法尋找較好的新點(diǎn) ，稱為收縮點(diǎn)。收縮系數(shù)，取0.7若 則稱收縮成功，用 代替 。4、壓縮 若采用上述各種方法均無效，還可以采用將復(fù)合形各頂點(diǎn)向最好點(diǎn) 靠攏，即采用壓縮的方法來改變復(fù)合形的形狀，各頂點(diǎn)的計(jì)算公式為： 除此之外，還可以采用旋轉(zhuǎn)的方法來改變復(fù)合形形狀。注意： 采用改變復(fù)合形形狀的方法越多，程序設(shè)計(jì)越復(fù)雜，有可能降低計(jì)算效率及可靠性，因此，程序設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)針對(duì)具體情況采取有效方法。 三、復(fù)合形法的計(jì)算步驟 只含反射1、選擇復(fù)合形的頂點(diǎn)數(shù)k，一般取 ,在可行域內(nèi)構(gòu)成具有k個(gè)頂點(diǎn)的初始

13、復(fù)合形；2、計(jì)算復(fù)合形各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，比較其大小，找出最好點(diǎn) 和最壞點(diǎn) ；3、計(jì)算除去最壞點(diǎn) 以外的 k-1個(gè)頂點(diǎn)的中心 ，判別 是否可行，若可行轉(zhuǎn)4，否則重新確定設(shè)計(jì)變量的下限和上限值，即令： 然后轉(zhuǎn)1，重新構(gòu)造初始復(fù)合形；4、計(jì)算 ，必要時(shí)改變反射系數(shù) 的值，直至反射成功，然后用 代替 ；5、若滿足 計(jì)算終止， 否則轉(zhuǎn)2。例6-3 用復(fù)合形法求約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解第五節(jié) 懲 罰 函 數(shù) 法 懲罰函數(shù)法是一種使用廣泛，很有效的間接解法，它的基本原理是將約束優(yōu)化問題：中的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合成新的目標(biāo)函數(shù)懲罰函數(shù)：障礙項(xiàng)懲罰項(xiàng) 懲罰函數(shù)法稱為序列無約束極小化

14、方法，常稱SUMT法。 根據(jù)迭代過程是否在可行域內(nèi)進(jìn)行，懲罰函數(shù)法又可分為內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法、外點(diǎn)懲罰函數(shù)法和混合懲罰函數(shù)法三種。一、內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法 內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法又稱為內(nèi)點(diǎn)法，這種方法將目標(biāo)函數(shù)定義于可行域內(nèi)，序列迭代在可行域內(nèi)逐步逼近約束邊界上的最優(yōu)點(diǎn)。 內(nèi)點(diǎn)法只能用來求解具有不等式約束的優(yōu)化問題。 對(duì)于只具有不等式約束的優(yōu)化問題：轉(zhuǎn)化后的懲罰函數(shù)形式為： 由于內(nèi)點(diǎn)法的迭代過程在可行域內(nèi)進(jìn)行，障礙項(xiàng)的作用是阻止迭代點(diǎn)越出可行域。例6-5 用內(nèi)點(diǎn)法求約束最優(yōu)解解：首先構(gòu)造內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)令聯(lián)立求解不滿足約束條件，應(yīng)舍去。無約束極值點(diǎn)為：r=4r=1.2r=0.36內(nèi)點(diǎn)法中初始點(diǎn) 、懲罰因子的初始值

15、及其縮減系數(shù)c等主要參數(shù)的選取和收斂條件的確定:一、初始點(diǎn) 的選取 使用內(nèi)點(diǎn)法時(shí)，初始點(diǎn) 應(yīng)選擇一個(gè)離約束邊界較遠(yuǎn)的可行點(diǎn)。若 太靠近某一約束邊界，構(gòu)造的懲罰函數(shù)可能由于障礙項(xiàng)的值很大而變得畸形，使求解無約束優(yōu)化問題發(fā)生困難。 程序設(shè)計(jì)時(shí)，一般都考慮使程序具有人工輸入和計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成可行初始點(diǎn)的兩種功能，由使用者選用。 計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成可行點(diǎn)的常用方法是利用隨機(jī)數(shù)生成設(shè)計(jì)點(diǎn)。2、懲罰因子初值r0的選取 r0應(yīng)適當(dāng)，否則會(huì)影響迭代計(jì)算的正常進(jìn)行。 r0太大將增加迭代次數(shù)；太小，會(huì)使懲罰函數(shù)的性態(tài)變壞，甚至難以收斂到極值點(diǎn)。 由于問題函數(shù)的多樣化，使得r0的取值相當(dāng)困難，目前還無一定的有效方法。 對(duì)

16、于不同的問題，都要經(jīng)過多次試算，才能決定一個(gè)適當(dāng)?shù)膔0 。以下方法可作為試算取值的參考。1）取r0 =1，根據(jù)試算結(jié)果，再?zèng)Q定增加或減少；2）按經(jīng)驗(yàn)公式3、縮減系數(shù)c的選取 在構(gòu)造序列懲罰函數(shù)時(shí)，懲罰因子r是一個(gè)逐次減到0的數(shù)列，相鄰兩次迭代的懲罰因子的關(guān)系為：懲罰因子的縮減系數(shù)，為小于1的正數(shù)，0.10.74、收斂條件內(nèi)點(diǎn)法的計(jì)算步驟：1）選取可行的初始點(diǎn) ，懲罰因子的初始值 ，縮減系數(shù)c以及收斂精度 、 ，令迭代次數(shù) ；2）構(gòu)造懲罰函數(shù) ，選擇適當(dāng)?shù)臒o約束優(yōu)化方法，求函數(shù) 的無約束極值得 點(diǎn)；3）判別是否收斂，若滿足，終止；否則，轉(zhuǎn)2）。二、外點(diǎn)懲罰函數(shù)法 簡(jiǎn)稱外點(diǎn)法，和內(nèi)點(diǎn)法相反，新目標(biāo)

17、函數(shù)定義在可行域之外，序列迭代從可行域之外逐漸逼近約束邊界上的最優(yōu)點(diǎn)。 可用來求解含有不等式和等式約束優(yōu)化問題。對(duì)于約束優(yōu)化問題：轉(zhuǎn)化后的外點(diǎn)懲罰函數(shù)的形式為：例6-6 用外點(diǎn)法求約束最優(yōu)解解：首先構(gòu)造外點(diǎn)懲罰函數(shù)令聯(lián)立求解r=0.3r=1.5r=7.5外點(diǎn)法懲罰因子按下式遞增：遞增系數(shù)，取510 與內(nèi)點(diǎn)法相反，懲罰因子的初值若取相當(dāng)大，會(huì)使 的等值線變形或偏心，求 的極值將發(fā)生困難。但取得過小，勢(shì)必增加迭代次數(shù)。所以在外點(diǎn)法中， 的合理取值很重要。許多計(jì)算表明，取 常?？梢匀〉脻M意的結(jié)果。有時(shí)也按下式來計(jì)算：式中 外點(diǎn)法的收斂條件和內(nèi)點(diǎn)法相同，計(jì)算步驟程序框圖與內(nèi)點(diǎn)法相近。三、混合懲罰函數(shù)法

18、 簡(jiǎn)稱混合法，是把內(nèi)點(diǎn)法和外點(diǎn)法結(jié)合起來，用來求解同時(shí)具有等式約束和不等式約束函數(shù)的優(yōu)化問題。對(duì)于約束優(yōu)化問題：轉(zhuǎn)化后的混合懲罰函數(shù)的形式為： 混合法具有內(nèi)點(diǎn)法的求解特點(diǎn)，即迭代過程在可行域內(nèi)進(jìn)行，因而初始點(diǎn)、懲罰因子的初始值均可參考內(nèi)點(diǎn)法選取，計(jì)算步驟也與內(nèi)點(diǎn)法相近。例6-7 試求點(diǎn)集 和點(diǎn)集 之間的最短距離。限制條件為：第四節(jié) 可 行 方 向 法 約束優(yōu)化問題的直接解法中，可行方向法是最大的一類，它也是求解大型約束優(yōu)化問題的主要方法之一。 這種方法的基本原理是在可行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn) ，當(dāng)確定了一個(gè)可行方向d 和適當(dāng)?shù)牟介L后，按式：進(jìn)行迭代計(jì)算。 在不斷調(diào)整可行方向的過程中，使迭代點(diǎn)逐步逼

19、近約束最優(yōu)點(diǎn)。一、可行方向法的搜索策略 可行方向法的第一步迭代都是從可行的初始點(diǎn) 出發(fā)，沿 點(diǎn)的負(fù)梯度方向 ，將初始點(diǎn)移動(dòng)到某一個(gè)約束面（只有一個(gè)起作用的約束時(shí)）上或約束面的交集（有幾個(gè)起作用的約束時(shí)）。 然后根據(jù)約束函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)的不同性狀，分別采用以下幾種策略繼續(xù)搜索：第一種情況 第二種情況 第三種情況 調(diào)整步長估算公式：二、產(chǎn)生可行方向的條件 可行方向是指沿該方向作微小移動(dòng)后，所得到的新點(diǎn)是可行點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)值有所下降。 顯然，可行方向應(yīng)滿足可行和下降兩個(gè)條件。1、可行條件 方向的可行條件是指沿該方向作微小移動(dòng)后，所得到的新點(diǎn)即為可行點(diǎn)。2、下降條件 方向的下降條件是指沿該方向作微小移動(dòng)

20、后，所得新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值是下降的。 同時(shí)滿足可行和下降條件的方向稱為可行方向。三、可行方向的產(chǎn)生方法 由于滿足可行、下降條件的方向位于可行下降扇形區(qū)內(nèi)，在扇形區(qū)內(nèi)尋找一個(gè)最有利的方向作為本次迭代的搜索方向。其方法主要有優(yōu)選方向法和梯度投影法。1、優(yōu)選方向法 在可行下降扇形區(qū)內(nèi)選擇任一方向進(jìn)行搜索，可得到一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值下降的可行點(diǎn)。 現(xiàn)在的問題是如何在可行下降扇形區(qū)內(nèi)選擇一個(gè)能使目標(biāo)函數(shù)值下降最快的方向作為本次迭代的方向。 顯然，這是一個(gè)以搜索方向 為設(shè)計(jì)變量的約束優(yōu)化問題，這個(gè)新的約束優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可寫成線性規(guī)劃問題2、梯度投影法 當(dāng) 點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度方向 不滿足可行條件時(shí)，可將 方向投

21、影到約束面（或約束面的交集）上，得到投影向量 。 可行方向的計(jì)算公式為 ：投影算子，為n*n階矩陣 起作用約束函數(shù)的梯度矩陣 起作用的約束函數(shù)個(gè)數(shù) 四、步長的確定兩種方法 1、取最優(yōu)步長2、取到約束邊界的最大步長 由于不能預(yù)測(cè)點(diǎn) 到另一個(gè)起約束作用面的距離， 的確定比較困難，大致可按以下步驟計(jì)算： 1） 取一試驗(yàn)步長 ，計(jì)算試驗(yàn)點(diǎn) 。試驗(yàn)步長的值不能太大，以免因一步走得太遠(yuǎn)導(dǎo)致計(jì)算困難；也不能太小，使得計(jì)算效率太低。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，試驗(yàn)步長 的值能使試驗(yàn)點(diǎn) 的目標(biāo)函數(shù)值下降5% 10%為宜，即將目標(biāo)函數(shù) 在 點(diǎn)展開成泰勒級(jí)數(shù)的線性式恒為正值 2） 判別試驗(yàn)點(diǎn)的位置 若試驗(yàn)點(diǎn) 位于非可行域，則轉(zhuǎn)步驟3

22、）；若位于可行域內(nèi)，則應(yīng)沿方向 以步長 繼續(xù)向前搜索，直至新的試驗(yàn)點(diǎn)到達(dá)約束面或超出可行域，再轉(zhuǎn)步驟3）。 3） 將位于非可行域的試驗(yàn)點(diǎn) 調(diào)整到約束面上 將試驗(yàn)點(diǎn) 調(diào)整到 的約束面上的方法有試探法和插值法兩種。 試探法的基本內(nèi)容是當(dāng)試驗(yàn)點(diǎn)位于非可行域時(shí)，將試驗(yàn)步長縮短；當(dāng)試驗(yàn)點(diǎn)位于可行域內(nèi)時(shí)，將試驗(yàn)步長增加，即不斷變化的大小，直至滿足條件時(shí)，就認(rèn)為試驗(yàn)點(diǎn)已被調(diào)整到約束面上了。 插值法是利用線性插值將位于非可行域的試驗(yàn)點(diǎn) 調(diào)整到約束面上。 設(shè)試驗(yàn)步長為 時(shí)，求得可行試驗(yàn)點(diǎn)當(dāng)試驗(yàn)步長為 時(shí)，求得非可行試驗(yàn)點(diǎn)五、收斂條件 按可行方向法的原理，將設(shè)計(jì)點(diǎn)調(diào)整到約束面上后，需要判斷迭代是否收斂，即判斷該迭

23、代點(diǎn)是否為約束最優(yōu)點(diǎn)。常用的收斂條件有以下兩種：1、設(shè)計(jì)點(diǎn) 即約束允差滿足條件時(shí)，迭代收斂。2、設(shè)計(jì)點(diǎn) 滿足庫-塔條件時(shí)，迭代收斂。六、可行方向法的計(jì)算步驟 1）在可行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn) ，給出約束允差 及收斂精度值 。2）令迭代次數(shù)k=0，第一次迭代的搜索方向取 。3）估算試驗(yàn)步長 ，計(jì)算試驗(yàn)點(diǎn) 。 4）若試驗(yàn)點(diǎn) 滿足 ， 點(diǎn)必位于第j個(gè)約束面上，則轉(zhuǎn)步驟6）；若試驗(yàn)點(diǎn) 位于可行域內(nèi)，則加大試驗(yàn)步長 ，重新計(jì)算新的試驗(yàn)點(diǎn)，直至 越出可行域，再轉(zhuǎn)步驟5）；若試驗(yàn)點(diǎn)位于非可行域，則直接轉(zhuǎn)步驟5）。5）確定約束違反量最大的約束函數(shù) 。用插值法計(jì)算調(diào)整步長 ，使試驗(yàn)點(diǎn) 返回到約束面上，則完成一次迭代

24、。再令k=k+1， ，轉(zhuǎn)下步。6）在新的設(shè)計(jì)點(diǎn) 處產(chǎn)生新的可行方向 。7）在 點(diǎn)滿足收斂條件，則計(jì)算終止。約束最優(yōu)解為 ， 。否則，改變?cè)什?的值，即令再轉(zhuǎn)步驟2）。例 6.4 用可行方向法求解下列約束優(yōu)化問題的約束最優(yōu)解。解：先采用優(yōu)選方向法，后采用梯度投影法來確定可行方向。 取初始點(diǎn) 為約束 邊界上的一點(diǎn)。第一次迭代用優(yōu)選方向法。計(jì)算 點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù) 和約束函數(shù) 的梯度為在可行下降扇形區(qū)內(nèi)尋找最優(yōu)方向，需要求解一個(gè)以可行方向 為設(shè)計(jì)變量的線性規(guī)劃問題，其數(shù)學(xué)模型為用圖解法求解 最優(yōu)方向是 。第一次迭代的可行方向?yàn)?。若取步長 ，則第二次迭代用梯度投影法。迭代點(diǎn) 的目標(biāo)函數(shù)負(fù)梯度 ，不滿足方向

25、的可行條件。將 投影到約束邊界 上，計(jì)算投影算子P取 ，則 得約束最優(yōu)解 第七節(jié) 工程設(shè)計(jì)應(yīng)用一、螺旋壓縮彈簧的優(yōu)化設(shè)計(jì)1. 基礎(chǔ)知識(shí)（1）強(qiáng)度條件（2）剛度條件 （3）穩(wěn)定性條件（4）幾何關(guān)系 （5）幾何條件 2. 一般設(shè)計(jì)問題 試設(shè)計(jì)一圓彈簧絲的螺旋壓縮彈簧。已知=700N, =50mm；該彈簧系套在一直徑為22mm的軸上工作，并限制其最大外徑在42mm以下，自由長度在110130mm范圍內(nèi)。該彈簧不經(jīng)常工作，但較重要。彈簧端部選不磨平端，末端有一圈死圈。3. 傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法4. 優(yōu)化設(shè)計(jì) 在滿足設(shè)計(jì)要求的前提下，以彈簧總質(zhì)量最輕為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。彈簧總質(zhì)量為：優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型為二、鏈傳動(dòng)優(yōu)化

26、設(shè)計(jì)1. 基礎(chǔ)知識(shí)對(duì)于鏈傳動(dòng)，通常設(shè)計(jì)步驟是憑經(jīng)驗(yàn)確定鏈輪的齒數(shù)、鏈傳動(dòng)中心距、鏈的傳動(dòng)列數(shù)，然后根據(jù)傳動(dòng)條件計(jì)算功率、小鏈輪轉(zhuǎn)速，由鏈的極限功率曲線查出單排鏈在特定條件下傳遞的最大功率，然后選擇鏈的節(jié)距號(hào)。鏈傳動(dòng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)首先為了充分發(fā)揮鏈的最大傳遞功率，確定出所需的最少鏈排數(shù)，然后在此基礎(chǔ)上使尺寸緊湊并優(yōu)選其它設(shè)計(jì)參數(shù)。 鏈傳動(dòng)的基本設(shè)計(jì)式為將以上系數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)函數(shù)公式化處理： 2. 數(shù)學(xué)模型（1）設(shè)計(jì)變量 一般設(shè)計(jì)問題的已知條件為：傳遞功率、小鏈輪轉(zhuǎn)速、鏈傳動(dòng)比、原動(dòng)機(jī)及工作機(jī)的載荷工作情況系數(shù)。 若以單列鏈為基礎(chǔ)，則鏈傳動(dòng)的設(shè)計(jì)變量為：小鏈輪齒數(shù)、鏈節(jié)距、中心距的鏈節(jié)距。即令 （2）目標(biāo)

27、函數(shù) 為了在已知條件下充分發(fā)揮鏈的最佳傳動(dòng)能力，以單列連傳動(dòng)功率最大或以鏈的列數(shù)最少為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，即 或 （3）約束條件3. 設(shè)計(jì)實(shí)例電動(dòng)機(jī)通過鏈傳動(dòng)帶動(dòng)運(yùn)輸機(jī)，傳動(dòng)功率=10kW，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速 =970r/min，從動(dòng)輪轉(zhuǎn)速 =330 r/min。希望鏈節(jié)距 12.7mm，中心距 60。原有方案用三排鏈，鏈節(jié)距12.7mm，中心距 =55，小鏈輪齒數(shù) =23。為發(fā)揮鏈的最大傳遞能力，試改良原方案。 解： 取 =1.3，其它設(shè)計(jì)參數(shù)取值范圍為：優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為 如果希望采用雙排鏈（ =1.7），機(jī)構(gòu)進(jìn)一步緊湊，可再次進(jìn)行優(yōu)化，將優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)改為約束條件不變。三、按初始位置驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩最大設(shè)計(jì)搖塊機(jī)

28、構(gòu)1. 設(shè)計(jì)問題已知液壓缸驅(qū)動(dòng)力、液壓缸初始長度、行程、搖桿的工作擺角，希望設(shè)計(jì)的機(jī)構(gòu)在初始位置的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩最大。確定機(jī)構(gòu)的機(jī)架長度、搖桿長度和搖桿位置的擺角。2. 函數(shù)關(guān)系因?yàn)?所以 又因?yàn)?所以 故有 機(jī)構(gòu)在初始位置的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩為因?yàn)?所以 又因?yàn)?所以 3. 優(yōu)化設(shè)計(jì)模型 已知機(jī)構(gòu)的 、 、 、 時(shí)，設(shè) ， 。機(jī)構(gòu)初始位置驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩最大的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型為4. 設(shè)計(jì)實(shí)例四、再現(xiàn)連桿軌跡曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì) 在工程應(yīng)用中，有時(shí)會(huì)給定了連桿上某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，要求設(shè)計(jì)的四連桿機(jī)構(gòu)連桿運(yùn)動(dòng)軌跡誤差盡可能小，有時(shí)還會(huì)附加其它的設(shè)計(jì)要求。 對(duì)這類設(shè)計(jì)問題，傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)是采用如下試驗(yàn)性質(zhì)的設(shè)計(jì)方法：（1）適當(dāng)?shù)陌幢壤糯蠡蚩s小繪制出要求實(shí)現(xiàn)的連桿上定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡；（2）查閱四連桿機(jī)構(gòu)分析圖譜，憑經(jīng)驗(yàn)從圖譜中查出連桿運(yùn)動(dòng)軌跡與要求實(shí)現(xiàn)的軌跡相同或相近的圖形形狀；（3）描繪該連桿曲線的四連桿機(jī)構(gòu)中各構(gòu)件的相對(duì)尺寸；（4）用縮放儀求出圖譜中的連桿曲線和要求設(shè)計(jì)的軌跡間相差的倍數(shù)，確定出四連桿機(jī)構(gòu)的尺寸；（5）驗(yàn)證設(shè)計(jì)要求、機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)壓力角條件及設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)軌跡的誤差量。若設(shè)計(jì)曲柄四桿機(jī)構(gòu)，則需要驗(yàn)證曲柄存在的條件；（6）為了提高設(shè)計(jì)質(zhì)量，可進(jìn)一步驗(yàn)證，調(diào)整連桿固定點(diǎn)的位