基于solidworkssimulation模塊的有限元基礎(chǔ)培訓課件

1、有限元方法Finite Element Method課程目標了解什么是有限單元法、有限單元法的基本思想。了解有限元軟件的基本結(jié)構(gòu)和有限元法當前的進展情況。 學習有限單元法的原理，主要結(jié)合彈性力學問題來介紹有限單元法的基本方法，包括單元分析、整體分析、載荷與約束處理等概念。能從理解有限元的基本流程及實質(zhì)，掌握Solidworks有限元Simulation模塊的應用，并具備初步處理工程問題的能力。能夠?qū)τ邢拊治鼋Y(jié)果的有效性和準確性進行評估，同時要認識到有限元方法的局限性（僅僅是一種分析工具)。 進度安排有限元方法概述solidworks中有限元分析基本流程前處理概述及相關(guān)技巧以虛功原理和變分原理

2、為基礎(chǔ)的計算方法熱力計算簡介振動計算簡介后處理概述及相關(guān)技巧*練習、實現(xiàn)應用數(shù)理方法解釋操作步驟主要參考書籍王勖成,邵敏編著. 有限單元法基本原理和數(shù)值方法 . 北京 : 清華大學出版社, 1997朱伯芳著. 有限單元法原理與應用（第2版）. 北京: 中國水利水電出版社, 1998曾攀. 有限元分析及應用. 北京：清華大學出版社, 2004Ted Belytschko著, 莊茁（譯）. 連續(xù)體和結(jié)構(gòu)的非線性有限元. 北京 : 清華大學出版社, 2002王國強，實用工程數(shù)值模擬技術(shù)及其在ANSYS上的實踐，西安：西北工業(yè)大學出版社，1999預備知識 線性代數(shù)數(shù)值分析材料力學彈性力學彈塑性力學有限

3、元方法有限元方法(FEM)的基礎(chǔ)是變分原理或加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數(shù)的節(jié)點值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達式 ，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。有限元方法最早應用于結(jié)構(gòu)力學，后來隨著計算機的發(fā)展慢慢用于流體力學的數(shù)值模擬 實體模型FEA 模型各力學學科的分支的關(guān)系（對象、變量、方程、求解途徑）非變形體（剛體）變形體變形體科學研究的目的：定量獲取所研究對象的所有信息確定對象 定義參量或變量 獲得定量關(guān)系 推廣到該類問題的任意情形1.有限元方法概述

4、有限元法形成的背景工程師的角度數(shù)學家的角度我國力學工作者的貢獻典型的工程問題有限元法形成的背景 有限單元法的形成可以回顧到二十世紀50年代，它的形成直接得益于飛機結(jié)構(gòu)分析中的矩陣位移法。注： 20世紀40年代，由于航空事業(yè)的飛速發(fā)展，對飛機結(jié)構(gòu)提出了愈來愈高的要求，即重量輕、強度高、剛度好，人們不得不進行精確的設(shè)計和計算，在這一背景下，逐漸在工程中產(chǎn)生了矩陣分析法。工程師的角度思路來源于固體力學結(jié)構(gòu)分析矩陣位移法的發(fā)展和工程師對結(jié)構(gòu)相似性的直覺判斷。對于不同結(jié)構(gòu)的桿系、不同的載荷，求解時都能得到統(tǒng)一的矩陣公式。從固體力學的角度看，桁架結(jié)構(gòu)等標準離散系統(tǒng)與人為地分割成有限個分區(qū)的連續(xù)系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上

5、存在相似性，可以把結(jié)構(gòu)分析的矩陣法推廣到非桿系結(jié)構(gòu)的求解。真實系統(tǒng)有限元模型真實系統(tǒng)有限元模型有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點連接，并承受一定載荷。節(jié)點具有一定的自由度。齒輪有限元模型1956年，波音公司的Turner, Clough, Martin, Topp在紐約舉行的航空學會年會上介紹了將矩陣位移法推廣到求解平面應力問題的方法，即把結(jié)構(gòu)劃分成一個個三角形和矩形“單元”，在單元內(nèi)采用近似位移插值函數(shù)，建立了單元節(jié)點力和節(jié)點位移關(guān)系的單元剛度矩陣，并得到了正確的解答。1960年，Clough在他的名為“The finite element in plane stress

6、analysis”的論文中首次提出了有限元（Finite Element）這一術(shù)語。數(shù)學家方面數(shù)學家們則發(fā)展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變分原理和加權(quán)余量法。1954-1955年，德國斯圖加特大學的Argyris在航空工程雜志上發(fā)表了一組能量原理和結(jié)構(gòu)分析論文，為有限元研究奠定了重要的基礎(chǔ)。1963年前后，經(jīng)過J. F. Besseling, R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher, T.H.H. Pian（卞學磺）等許多人的工作，認識到有限元法就是變分原理中Ritz近似法的一種變形，發(fā)展了用各種不同變分原理導出的有限元計算公式。1965年O.

7、C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（張佑啟）發(fā)現(xiàn)只要能寫成變分形式的所有場問題，都可以用與固體力學有限元法的相同步驟求解。1967年，Zienkiewicz和Cheung出版了第一本有關(guān)有限元分析的專著。1969年B.A. Szabo和G.C. Lee指出可以用加權(quán)余量法特別是Galerkin法，導出標準的有限元過程來求解非結(jié)構(gòu)問題。1970年以后，有限元方法開始應用于處理非線性和大變形問題，Oden于1972年出版了第一本關(guān)于處理非線性連續(xù)體的專著。 這一時期的理論研究是比較超前的。我國力學工作者的貢獻陳伯屏（結(jié)構(gòu)矩陣方法）錢偉長、胡海昌（廣義變分原理）馮康（有限單元法理論）2

8、0世紀60年代初期，馮康等人在大型水壩應力計算的基礎(chǔ)上，獨立于西方創(chuàng)造了有限元方法并最早奠定其理論基礎(chǔ)。-數(shù)學辭海第四卷有限元分析典型的工程問題結(jié)構(gòu)分析熱分析電磁分析流體分析 耦合場分析 - 多物理場結(jié)構(gòu)分析結(jié)構(gòu)分析是有限元分析方法最常用的一個應用領(lǐng)域。結(jié)構(gòu)這個術(shù)語是一個廣義的概念，它包括土木工程結(jié)構(gòu)，如橋梁和建筑物；汽車結(jié)構(gòu)，如車身骨架；海洋結(jié)構(gòu)，如船舶結(jié)構(gòu)；航空結(jié)構(gòu)，如飛機機身等；同時還包括機械零部件，如活塞，傳動軸等等。結(jié)構(gòu)分析中計算得出的基本未知量（節(jié)點自由度）是位移，其他的一些未知量，如應變，應力，和反力可通過節(jié)點位移導出。結(jié)構(gòu)分析-分類靜力分析 -用于靜態(tài)載荷. 可以考慮結(jié)構(gòu)的線性

9、及非線性行為，例如: 大變形、大應變、應力剛化、接觸、塑性、超彈及蠕變等. 動力分析 -動力學分析是用來確定慣性（質(zhì)量效應）和阻尼起著重要作用時結(jié)構(gòu)或構(gòu)件動力學特性的技術(shù)?！皠恿W特性” 可能指的是下面的一種或幾種類型:振動特性 - （結(jié)構(gòu)振動方式和振動頻率）周期（振動）載荷的效應隨時間變化載荷的效應屈曲分析 -用于計算屈曲載荷和確定屈曲模態(tài)。包括線性（特征值）和非線性屈曲分析。靜力分析 (c) KOMATSU液壓挖掘機 (d) 某液壓挖掘機動臂限元分析 (a) 鏟運機舉升工況測試(b) 鏟運機工作裝置插入工況有限元分析電子助力轉(zhuǎn)向系統(tǒng)傳感器優(yōu)化設(shè)計項目描述VDO電子助力轉(zhuǎn)向系統(tǒng)需要提高力矩傳

10、感器的靈敏度，以便更精確地執(zhí)行駕駛員的轉(zhuǎn)向要求項目挑戰(zhàn)初始設(shè)計的扭轉(zhuǎn)變形鋼片幾乎沒有信號輸出，無法實現(xiàn)扭矩傳感解決方案通過結(jié)構(gòu)分析發(fā)現(xiàn)原始設(shè)計的缺陷第一次改進設(shè)計，效果很好，但由于結(jié)構(gòu)尺寸過大，基本不實用經(jīng)過30多次方案改進，最后獲得了一個非常滿意的設(shè)計（傳感器電路仿真也在ANSYS里一起完成）力矩傳感器電子電機電子助力轉(zhuǎn)向系統(tǒng)原始扭轉(zhuǎn)變形鋼片設(shè)計此處固定一個陶瓷厚膜電阻來“測量” 扭轉(zhuǎn)引起的應變，電阻值的變化就反映了扭矩的變化原始設(shè)計的缺陷是：在電阻貼片處的兩個主應變大小幾乎一樣但方向相反，導致電阻的變化相互抵消，因此幾乎沒有信號輸出！第一次改進設(shè)計的應變分布狀態(tài)非常良好（基本上只有第一主應

11、變，其它主應變很?。まD(zhuǎn)引起的電阻變化很大，傳感效果好。但結(jié)構(gòu)寬度太大，無法集成在轉(zhuǎn)向系統(tǒng)中，實用性差第一次改進設(shè)計最終設(shè)計專利產(chǎn)品VDO公司官方雜志封面動力分析（五種類型）模態(tài)分析-計算線性結(jié)構(gòu)的自振頻率及振形. 模態(tài)分析是用來確定結(jié)構(gòu)的振動特性的一種技術(shù)：自然頻率振型振型參與系數(shù) （即在特定方向上某個振型在多大程度上參與了振動）模態(tài)分析是所有動力學分析類型的最基礎(chǔ)的內(nèi)容。模態(tài)分析的作用：使結(jié)構(gòu)設(shè)計避免共振或以特定頻率進行振動（例如揚聲器）； 汽車尾氣排氣管裝配體的固有頻率與發(fā)動機的固有頻率相同時，就可能會被震散。有助于在其它動力分析中估算求解控制參數(shù)（如時間步長）。譜分析 是模態(tài)分析的擴

12、展，用于計算由于隨機振動引起的結(jié)構(gòu)應力和應變 (也叫作 響應譜或 PSD).諧響應分析-確定線性結(jié)構(gòu)對隨時間按正弦曲線變化的載荷的響應.旋轉(zhuǎn)設(shè)備（如壓縮機、發(fā)動機、泵、渦輪機械等）的支座、固定裝置和部件；受渦流（流體的漩渦運動）影響的結(jié)構(gòu)，例如渦輪葉片、飛機機翼、橋和塔等。瞬態(tài)動力學分析-確定結(jié)構(gòu)對隨時間任意變化的載荷的響應. 可以考慮與靜力分析相同的結(jié)構(gòu)非線性行為.顯式動力分析-計算高度非線性動力學和復雜的接觸問題。用于模擬非常大的變形，慣性力占支配地位，并考慮所有的非線性行為.顯式求解沖擊、碰撞、復雜金屬成形等問題，是目前求解這類問題最有效的方法.飛機液壓泵振動強度數(shù)值模擬項目簡述某型殲擊

13、機液壓泵傳動軸頻繁發(fā)生斷裂事故，嚴重影響飛行安全。而該液壓泵及傳動軸的靜強度和地面試車測試均沒有任何問題，由于條件限制無法在飛機上進行動態(tài)測試。因此希望通過仿真計算解決問題項目挑戰(zhàn)由37個零部件構(gòu)成的裝配體，模型復雜系統(tǒng)剛度受轉(zhuǎn)動和裝配等因素的影響大載荷譜非常復雜，計算點多，計算量大解決方案合理簡化模型(如用只承壓桿代替軸承)通過改變接觸剛度模擬裝配剛度變化傳動軸疲勞壽命計算液壓泵幾何模型和有限元網(wǎng)格模型整體幾何模型內(nèi)部轉(zhuǎn)動部分幾何模型整體網(wǎng)格模型內(nèi)部轉(zhuǎn)動部分網(wǎng)格模型多段瞬態(tài)載荷譜采用子模型技術(shù)提高分析精度改進前后的疲勞壽命分布液壓泵第4、5、11階模態(tài)顯式動力分析模具成型齒輪驗算911事件

14、模塊化彈射座椅系統(tǒng)級設(shè)計和分析項目描述用于F-15飛機的彈射座椅改進設(shè)計需要計算在彈射和前向碰撞兩種最大載荷狀態(tài)下的座椅可靠性項目挑戰(zhàn)100多個零部件，模型極其復雜載荷施加非常困難解決方案在Workbench環(huán)境下使用Mechanical軟件，利用其雙向參數(shù)鏈接功能輸入CAD模型，并自動創(chuàng)建零部件的裝配接觸利用Workbench高級網(wǎng)格處理能力利用Workbench先進的加載功能（如空間質(zhì)量點、遠程等效力等）與CAD協(xié)同進行結(jié)構(gòu)改進和優(yōu)化設(shè)計座椅載荷示意圖載荷和邊界條件施加改進前后的結(jié)構(gòu)應力分布座椅彈射狀態(tài)結(jié)構(gòu)強度計算座椅載荷示意圖載荷和邊界條件施加結(jié)構(gòu)應力分布前向碰撞狀態(tài)F-15彈射座椅空客

15、飛機機身板殼結(jié)構(gòu)極限載荷分析項目描述商用飛機機身大量板結(jié)構(gòu)都承受剪切和擠壓載荷，在極限載荷下的非線性屈曲使蒙皮和加強筋都發(fā)生塑性失效用仿真分析代替部分實驗指導設(shè)計項目挑戰(zhàn)結(jié)構(gòu)復雜，板殼連接形式多種多樣板殼厚度變化和中心偏移處理困難材料類型多（金屬板、多層板、纖維增強金屬復合板等）解決方案應用APDL進行快速參數(shù)化建模ANSYS先進板殼單元及其建模技術(shù)利用接觸功能模擬各種連接形式采用復合材料、Hill各向異性材料等商用飛機上的板殼結(jié)構(gòu)及其剪切/擠壓屈曲失效實驗機身板殼結(jié)構(gòu)模型（鉚接、點焊、粘連結(jié)構(gòu)）變厚度板殼及其中心偏移連接結(jié)構(gòu)細節(jié)處理不同載荷下的屈曲失效形態(tài)分析結(jié)果（右）與實驗測試（左）的對比

16、熱分析熱分析在許多工程應用中扮演重要角色，如內(nèi)燃機、渦輪機、換熱器、管路系統(tǒng)、電子元件等。熱分析之后往往進行結(jié)構(gòu)分析,計算由于熱膨脹或收縮不均勻引起的應力. 熱相關(guān)問題相變 (熔化及凝固), 內(nèi)熱源 (例如電阻發(fā)熱等)三種熱傳遞方式 (熱傳導、熱對流、熱輻射)穩(wěn)態(tài)傳熱：系統(tǒng)的溫度場不隨時間變化瞬態(tài)傳熱：系統(tǒng)的溫度場隨時間明顯變化熱分析計算物體的穩(wěn)態(tài)或瞬態(tài)溫度分布，以及熱量的獲取或損失、熱梯度、熱通量等.工件淬火3.06 min 時的溫度、組織分布 (NSHT3D)潛水艇內(nèi)外壁面溫度及溫度分布 (Ansys) 發(fā)動機瞬態(tài)熱仿真電熨斗瞬態(tài)熱仿真注塑成型：溫度變化和氣泡金屬反擠壓成型：溫度分布和變化

17、電磁分析磁場分析中考慮的物理量是磁通量密度、磁場密度、磁力、磁力矩、阻抗、電感、渦流、能耗及磁通量泄漏等.磁場可由電流、永磁體、外加磁場等產(chǎn)生.磁場分析 用于計算磁場.磁場分析的類型:靜磁場分析 - 計算直流電（DC)或永磁體產(chǎn)生的磁場.交變磁場分析 - 計算由于交流電(AC)產(chǎn)生的磁場.瞬態(tài)磁場分析- 計算隨時間隨機變化的電流或外界引起的磁場.電場分析 用于計算電阻或電容系統(tǒng)的電場. 典型的物理量有電流密度、電荷密度、電場及電阻熱等.高頻電磁場分析 用于微波及RF無源組件，波導、雷達系統(tǒng)、同軸連接器等分析.流體分析 流體分析 用于確定流體的流動及熱行為. 可以處理不可壓縮或可壓縮流體、層流及

18、湍流，以及多組份流等.作用于氣動翼(葉)型上的升力和阻力超音速噴管中的流場彎管中流體的復雜的三維流動導流管分析壓力速度 超音速飛行壓力分布汽車氣動分析高速導彈氣動耦合場分析耦合場分析 考慮兩個或多個物理場之間的相互作用。如果兩個物理場之間相互影響，單獨求解一個物理場是不可能得到正確結(jié)果的，因此你需要一個能夠?qū)蓚€物理場組合到一起求解的分析軟件。例如： 在壓電力分析中，需要同時求解電壓分布（電場分析）和應變（結(jié)構(gòu)分析）.其他需要耦合場分析的典型情況有：熱應力分析流體結(jié)構(gòu)相互作用感應加熱（電磁熱）, 感應振蕩兩根熱膨脹系數(shù)不同的棒焊接在一起，加熱后的變形情況；氣象雷達天線流固耦合優(yōu)化設(shè)計項目描述S

19、波段多普勒氣象雷達天線支撐結(jié)構(gòu)剛強度校核及改進項目挑戰(zhàn)風載荷的準確獲得及施加結(jié)構(gòu)連接形式復雜解決方案采用ANSYS CFX進行流體分析，獲得風載荷壓力分布數(shù)據(jù)利用ANSYS流固耦合計算功能自動將風壓值傳入結(jié)構(gòu)分析中綜合運用梁、殼、表面效應等單元建立結(jié)構(gòu)模型，并采用自由度耦合模擬方向轉(zhuǎn)動和俯仰轉(zhuǎn)動軸承連接進行結(jié)構(gòu)靜力、模態(tài)和諧響應分析氣象雷達結(jié)構(gòu)流體分析模型及天線面上流體壓力分布流體網(wǎng)格自適應流體分析的風壓載荷自動傳到結(jié)構(gòu)模型上結(jié)構(gòu)分析網(wǎng)格模型靜力分析結(jié)果（位移和應力分布）模態(tài)分析和諧響應分析結(jié)果焊接殘余應力分析（用Sysweld完成） 結(jié)構(gòu)與焊縫布置 焊接過程的溫度分布與軸向殘余應力 2.So

20、lidworks有限元分析基本流程有限元分析是一種工程物理問題的數(shù)值分析方法，是利用數(shù)學近似的方法對真實物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況）進行模擬，即根據(jù)近似分割和能量極值原理，把求解區(qū)域離散為有限個簡單而又相互作用的單元的組合，研究每個單元的特性，組裝各單元，通過變分原理，把問題化成線性代數(shù)方程組求解。 物理系統(tǒng)分析 幾何體 載荷 物理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)熱電磁網(wǎng)格劃分有限元法的基礎(chǔ)是用有限個單元體的集合來代替原有的連續(xù)體。因此首先要對彈性體進行必要的簡化，再將彈性體劃分為有限個單元組成的離散體。單元之間通過單元節(jié)點相連接。由單元、結(jié)點、結(jié)點連線構(gòu)成的集合稱為網(wǎng)格。單元、結(jié)點、結(jié)點連線及集合體網(wǎng)絡(luò)，是計算過程中

21、的載體，其中位移、力、溫度等全部反映在網(wǎng)格中。 通常把三維實體劃分成4面體或6面體單元的網(wǎng)格，平面問題劃分成三角形或四邊形單元的網(wǎng)格。自由度自由度(DOFs) 用于描述一個物理場的響應特性。結(jié)構(gòu) DOFsROTZUYROTYUXROTXUZ 分析類型 自由度 結(jié)構(gòu) 位移 熱 溫度 電 電位 流體 速度，壓力 磁 磁位節(jié)點和單元節(jié)點自由度是隨連接該節(jié)點的 單元類型 變化的。JJIIJJKLILKIPOMNKJIL三維桿單元 (鉸接)UX, UY, UZ三維梁單元二維或軸對稱實體單元UX, UY三維四邊形殼單元UX, UY, UZ,三維實體熱單元TEMPJPOMNKIL三維實體結(jié)構(gòu)單元ROTX,

22、ROTY, ROTZROTX, ROTY, ROTZUX, UY, UZ,UX, UY, UZ節(jié)點和單元信息是通過單元之間的公共節(jié)點傳遞的。分離但節(jié)點重疊的單元A和B之間沒有信息傳遞(需進行節(jié)點合并處理）.AB.AB1 node2 nodes線性實體單元 拋物線實體單元 單元形函數(shù)真實的二次曲線節(jié)點單元二次曲線線性近似(不理想結(jié)果)2節(jié)點單元 DOF值二次分布1節(jié)點單元線性近似 (更理想的結(jié)果)真實的二次曲線.3節(jié)點單元二次近似 (接近于真 實的二次近似擬合) (最理想結(jié)果)4節(jié)點節(jié)點節(jié)點節(jié)點 三維實體的四面體單元劃分三維實體的六面體單元劃分平面問題的三角形單元劃分平面問題的四邊形單元劃分使用

23、四面單元進行網(wǎng)格化的模型 積分點數(shù)影響計算精度和計算量4點即可滿足一般結(jié)構(gòu)變形要求單元尺寸單元尺寸與實體最小邊比最大不超過5：1最小角大于15小模型中的圓、孔、邊線具有關(guān)鍵作用，建議選擇“自動過渡”反之則需增加大量單元，極可能導致劃網(wǎng)格失敗網(wǎng)格控制選項面控制線控制點控制體控制無控制對力或者變形較敏感的位置，或者其結(jié)果較重要的位置，需進行網(wǎng)格控制。材料與網(wǎng)格的關(guān)系一般靜力分析：彈性模量泊松比密度一般熱學、熱力分析：彈性模量泊松比密度熱膨脹系數(shù)熱導率比熱材料非線性可定義非線性材料、新材料、特種材料等最終材料信息將被賦于網(wǎng)格、單元之中。對某零件加材料屬性，實質(zhì)即為對此零件上的單元賦材料參數(shù)。載荷、約

24、束與網(wǎng)格的關(guān)系任何形式的載荷和夾具，最終都將轉(zhuǎn)移至網(wǎng)格中的相應單元內(nèi)。實體模型FEA 模型接觸選項對網(wǎng)格和模型的影響一般默認為全局接合。如有穿透處請修改全部接觸設(shè)置。特殊功能-冷縮配合配合摩擦系數(shù)，可以進行過盈配合的模擬。要獲得準確的結(jié)果，重疊部分應足夠大，以克服網(wǎng)格化所引起的不精確因素。接頭選項 螺栓連接與接觸配合使用 定義這兩個面之間的接觸?？梢远x全局、零部件或局部接觸。 如果面最初不是接觸的，則無需定義接觸，而且在裝入期間不會發(fā)生接觸。參考基準面夾具對稱的應用一個基準面對稱兩個基準面對稱軸對稱前處理注意事項1、正確設(shè)置零件或面的接觸關(guān)系；2、全部網(wǎng)格正確合理劃分；3、約束設(shè)置合理，首先

25、保證整體結(jié)構(gòu)或者單個零件都是零自由度。（通俗講：在任何外力作用下，可以彈性變形，但不能剛性移動或者轉(zhuǎn)動） 4.求解計算 (1) 待求解域離散化(2) 選擇插值函數(shù)(3) 形成單元性質(zhì)的矩陣方程(4) 形成整體系統(tǒng)的矩陣方程(5) 約束處理，求解系統(tǒng)方程(6) 其它參數(shù)計算有限元位移法的基本概念有限元分析的基本原理是把控制連續(xù)體的微分方程變換為控制離散體的線性代數(shù)方程組未知數(shù)為位移則稱為有限元位移法，若未知數(shù)為力則稱為有限元力法，若未知數(shù)為力和位移則稱為有限元混合法有限元位移法的線性代數(shù)方程組可寫成下式: 是代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣，稱為剛度矩陣 是代數(shù)方程組的未知數(shù)，稱為位移列矩陣 P 是代數(shù)方程組的載荷列矩陣 考慮研究對象的邊界條件后，求解上式方程組，就可得到研究對象的位移。 能量變分原理 虛位移原理 虛位移是結(jié)構(gòu)所允許的任意的微小的假想位移，在發(fā)生虛位移過程中真實力所作的功，稱為虛功。 “如果變形體處于平衡狀態(tài)，則給以任意微小虛位移，外力所作的總虛功必等于變形體所接受的總虛變形功。” 變形體的虛位移原理 也稱虛功原理 假設(shè)結(jié)構(gòu)受到外力F的作用,內(nèi)部產(chǎn)生應力 ，在某一時刻發(fā)生虛位移 ，虛位移產(chǎn)生虛應變 ，則外力F做的虛功 在單位體積上，結(jié)構(gòu)的虛變形能為 ，則整個結(jié)構(gòu)的虛變形能為根據(jù)虛位移原理，有 能量變分原理 結(jié)構(gòu)的勢能為 結(jié)構(gòu)在給定外力