高等數(shù)學下冊第10章

1、第十章 微分方程作業(yè)20 微分方程基本概念1寫出下列條件所確定的微分方程：（1）曲線在點處的法線與軸的交點為，且線段被軸平分；解：法線方程為，法線與軸的交點由已知（2）曲線上任意點處的切線與線段垂直；解：切線的斜率為，線段的斜率為由已知（3）曲線上任意點處的切線，以及點與原點的連線，和軸所圍成的三角形的面積為常數(shù)解：切線方程為，點與原點的連線為切線與軸即直線的交點，由已知2.求曲線簇 所滿足的微分方程解：由已知，兩邊對自變量求導兩邊再對自變量求導3潛水艇垂直下沉時所遇到的阻力和下沉的速度成正比，如果潛水艇的質(zhì)量為，且是在水面由靜止開始下沉，求下沉的速度所滿足的微分方程和初始條件解：由已知，作業(yè)

2、21 可分離變量的微分方程1解微分方程解：微分方程即分離變量兩邊積分從而2. 求解初值問題： 解：微分方程即分離變量兩邊積分從而由，3當時，是比高階的無窮小量，函數(shù)在任意點處的增量+，且，求解：由已知，從而分離變量兩邊積分由，4解微分方程解：微分方程即分離變量兩邊積分5一曲線通過點（2，3），它在兩坐標軸之間的任意切線段均被切點所平分，求這曲線方程解：由已知當分離變量兩邊積分由，6設(shè)有連接的一段向上凸的曲線弧,對于上任一點，曲線弧與直線段所圍成的面積為，求曲線弧的方程解：設(shè)曲線為由已知微分方程即從而由，作業(yè)22 齊次方程1解微分方程解：令則微分方程，即，分離變量兩邊積分2求解初值問題解：令則微

3、分方程，即，分離變量，兩邊積分由，3作適當?shù)淖兞看鷵Q，求下列方程的通解： （1） ； 解：令（2） ；解：令，則再令，再令從而（3） 解：令，則，分離變量，兩邊積分4求曲線，使它正交于圓心在軸上且過原點的任何圓（注：兩曲線正交是指在交點處兩曲線的切線互相垂直） 解：可設(shè)在軸上且過原點的任何圓為，則由已知曲線應滿足令則，作業(yè)23 一階線性微分方程1解微分方程 解：對照標準的一階線性微分方程2解微分方程 解：微分方程即 3解微分方程 解：觀察發(fā)現(xiàn)，微分方程等價為4求解初值問題 ，解：對照標準的一階線性微分方程，由，5設(shè)曲線積分 在右半平面（內(nèi)與路徑無關(guān)，其中可導，且，求解：由曲線積分在右半平面（內(nèi)

4、與路徑無關(guān)可知，由，6解微分方程解：微分方程化為令為一階線性微分方程作業(yè)24 全微分方程判別下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解：（1）；解：因為且連續(xù)，從而該方程是全微分方程，從而（2）；解：方程即因為且連續(xù)，從而該方程是全微分方程，方程右邊為某個函數(shù)的全微分，即從而微分方程的通解為（3） 解：因為且連續(xù)，從而該方程是全微分方程，從而該方程是全微分方程，方程右邊為某個勢函數(shù)的全微分，可用曲線積分法求一個來。從而微分方程的通解為作業(yè)25 可降階的高階微分方程1求下列微分方程的通解（1）； 解：（2）； 解：令分離變量，兩邊積分，分離變量，兩邊積分（3）；解：令分離變量，兩邊積分，分

5、離變量，兩邊積分(4).解：令分離變量，兩邊積分，分離變量，兩邊積分，2求解初值問題解：令分離變量，兩邊積分，由，分離變量，兩邊積分，由，從而3設(shè)第一象限內(nèi)的曲線對應于一段的長在數(shù)值上等于曲邊梯形：，的面積，其中是任意給定的，求解：由已知由，作業(yè)26 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)已知是齊次線性方程的一個解，求此方程的通解解：方程即由劉維爾公式由解的結(jié)構(gòu)定理可知，方程的通解若,，是二階非齊次線性微分方程（1）的線性無關(guān)的解，試用，表達方程（1）的通解解：由解的結(jié)構(gòu)定理可知，均為對應的二階齊次線性微分方程的解，而且現(xiàn)行無關(guān)。從而：由解的結(jié)構(gòu)定理方程（1）的通解為3已知都是二階線性非齊次方程的解，求此方程的

6、通解解：易知線性無關(guān)，從而為二階線性齊次方程的線性無關(guān)的特解，由解的結(jié)構(gòu)定理，二階線性非齊次方程的通解為作業(yè)27 二階常系數(shù)齊次線性微分方程1求下列微分方程的通解（1）； 解：特征方程為從而通解為（2）；解：特征方程為從而通解為（3）； 解：特征方程為從而通解為（4）解：特征方程為從而通解為2求方程滿足所給初始條件，的特解 解：特征方程為從而通解為，由得由，得因此設(shè)可微函數(shù)滿足方程，求解：由已知，特征方程為從而通解為，由得由，得因此作業(yè) 28 二階線性非齊次微分方程1求下列各方程的通解（1）； 解：對應齊次方程特征方程為非齊次項，與標準式比較得對比特征根，推得，從而代入方程得從而通解為（2）；

7、解：對應齊次方程特征方程為非齊次項，與標準式比較得對比特征根，推得，從而代入方程得從而通解為（3）； 解：對應齊次方程特征方程為非齊次項，與標準式比較得對比特征根，推得，從而代入方程得,（4）；解：對應齊次方程特征方程為非齊次項，與標準式比較得,對比特征根，推得，從而特解形式可設(shè)為代入方程得（5）解：對應齊次方程特征方程為非齊次項利用解的結(jié)構(gòu)定理知特解形式可設(shè)為代入方程得2求方程滿足初始條件，的特解解：對應齊次方程特征方程為非齊次項，與標準式比較得對比特征根，推得，從而代入方程得從而通解為，要的特解為3已知二階線性非齊次微分方程的三個特解為，試求方程滿足初始條件，的特解解：由這個三個解的線性無

8、關(guān)性，以及解的結(jié)構(gòu)理論，得通解為，由得及得所要特解為4設(shè)，其中連續(xù)，求解：，對應齊次方程特征方程為非齊次項，與標準式比較得,對比特征根，推得，從而特解形式可設(shè)為代入方程得，由，由因此第十章微分方程測試題1填空題（1）函數(shù)是常系數(shù)線性微分方程的解的充分必要條件是 ；（2）曲線簇（為任意常數(shù)）滿足的一階微分方程是；（3）已知二階線性齊次方程的兩個解，則該方程為；（4）方程的通解為；（5）設(shè)，都是方程的解，則方程的通解為2求下列各方程的通解（1）； 解：令，則原方程化為，分離變量，兩邊積分得從而（2）；解：原方程化為，從而（3）； 解：令，則原方程化為，分離變量，兩邊積分得從而（4）；解：令，則原方

9、程化為，從而（5）； 解：對應齊次方程特征方程為非齊次項，與標準式比較得,對比特征根，推得，從而特解形式可設(shè)為代入方程得（6）；解：方程可化為，從而因此（7）；解：對應齊次方程特征方程為非齊次項，與標準式比較得對比特征根，推得，從而代入方程得從而通解為(8) 解：令，則再令，再令從而即3. 設(shè)具有二階連續(xù)導數(shù)，且，并且為一全微分方程，求解：由已知對應齊次方程特征方程為非齊次項，與標準式比較得,對比特征根，推得，從而特解形式可設(shè)為從通解為，由,因此4已知方程有形如的解，試求出這個解解：因為特征方程為因而，這個解為5設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有連續(xù)導數(shù)，且滿足，求解：由極坐標從而，即由，得6設(shè)函數(shù)在實軸上連續(xù)，存在