第18講 數(shù)學(xué)：無(wú)窮級(jí)數(shù)(三)微分方程(一)(2010新版) _secret

1、 HYPERLINK / t _self PAGE PAGE 7頁(yè)【例 l - 4 - 9 】 冪級(jí)數(shù)的收斂域是（ A ） （- 1 ,l ） （ B ） （- l , 1 ） （ C ） （- l , l ） （ D ） （- l , 1 ）【 解 】 易知級(jí)數(shù)收斂半徑 R = l ，當(dāng) x - 1 時(shí)，級(jí)數(shù)，當(dāng)x = 1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，故應(yīng)選（ D ）。（ A ）條件收斂 （ B ）絕對(duì)收斂（ C ）發(fā)散（ D ）收斂性不能確定【 解 】 由的結(jié)構(gòu)知其收斂區(qū)間的中心為x = 1，已知 x = -1為此級(jí)數(shù)的一個(gè)收斂點(diǎn)，設(shè)其收斂半徑為 R ，則，而 x = 2 與收斂區(qū)間中心x 1的距離為 1

2、 , 1 R ，由冪級(jí)數(shù)的收斂性（阿貝爾定理）知，此級(jí)數(shù)在 x = 2 處絕對(duì)收斂，故應(yīng)選（ B ）?！?例 1 - 4 - 11 】利用逐項(xiàng)求導(dǎo)法求級(jí)數(shù)的和函數(shù)?！?解 】?jī)缂?jí)數(shù)的和函數(shù)是即利用逐項(xiàng)求導(dǎo)公式，得【 例 l - 4 12】將函數(shù)展開成（x一 3 ）的冪級(jí)數(shù)。【 解 】 因?yàn)槎虼恕?例 1 4 13】 將函數(shù)展開成 x 的冪級(jí)數(shù)。解先將有理分式分解成部分分式之和：三、傅立葉級(jí)數(shù)（一）傅立葉級(jí)數(shù)概念 1 傅立葉系數(shù)和傅立葉級(jí)數(shù)設(shè) f （ x ）是周期為 2 的周期函數(shù)，則下面公式中出現(xiàn)的積分都存在，則系數(shù) a0，a1, ,bl 叫做函數(shù) f （ x ）的傅立葉系數(shù)，級(jí)數(shù)叫做函數(shù)

3、f （ x ）的傅立葉級(jí)數(shù)。2 狄利克雷收斂定理設(shè) f （ x ）是周期為 2 的周期函數(shù)，如果它滿足條件： （ 1 ）在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)，或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；（ 2 ）在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則 f （ x ）的傅立葉級(jí)數(shù)收斂，且當(dāng) x 是f （ x ）的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于f（ x ） ；當(dāng) x 是f（ x ）的間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于（二）正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)1 正弦級(jí)數(shù)若 f （ x ）是周期為 2 的奇函數(shù)，則它的傅立葉系數(shù)為它的傅立葉級(jí)數(shù)是只含有正弦項(xiàng)的正弦級(jí)數(shù)2 余弦級(jí)數(shù)若 f （ x ）是周期為 2 的偶函數(shù)，則它的傅立葉系數(shù)為它的傅立葉級(jí)數(shù)是只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)的余弦

4、級(jí)數(shù)（三）周期為 2l 的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)設(shè) f （ x ）是周期為2l的周期函數(shù)，則它的傅立葉系數(shù)為而它的傅立葉級(jí)數(shù)為（四）例題【 例 1 - 4 14 】 設(shè)f（ x ）是周期為 2 的周期函數(shù)，它在 -，），上的表達(dá)式為問(wèn) f （ x ）的傅立葉級(jí)數(shù)在 x -處收斂于何值?！?解】所給函數(shù)滿足狄利克雷收斂定理的條件，x -是函數(shù)的間斷點(diǎn)，按收斂定理它的傅立葉級(jí)數(shù)在 x -處收斂于【 例1- 4 15】 將函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)?！?解 】 將函數(shù)在外作周期延拓，注意到 f （ x ）是偶函數(shù)，故由于 f 在區(qū)間-，滿足收斂定理的條件，在 -，上連續(xù)，且 f （）= f -（），因此在區(qū)

5、間-，上，有第五節(jié) 微分方程一、基本概念（一）微分方程表示未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)、自變量之間的關(guān)系的方程，稱為微分方程。微分方程中所出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為微分方程的階。（二）微分方程的解、通解微分方程的解是一個(gè)函數(shù)，把這函數(shù)代人微分方程能使該方程成為恒等式。確切地說(shuō)，對(duì)于n階微分方程那么函數(shù)就稱為微分方程（ 1 - 5 - l ）在區(qū)間 I 上的解。如果二元代數(shù)方程所確定的隱函數(shù)是某微分方程的解，那么稱為該微分方程的隱式解。含有n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)的微分方程的解，稱為n階微分方程的通解。（三）初始條件與特解能用來(lái)確定通解中的任意常數(shù)的條件稱為初始條件。通常一階微分方程的初始條件為；二階微分方程卯

6、初始條件為，。通解中的任意常數(shù)全都確定后，就得到一個(gè)確定的解，稱為微分方程的特解。（四）例題【 例1- 5 - l 】驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的通解?！?證 】代人方程有所給方程是二階的，所給函數(shù)中恰好含 Cl 、 C2 兩個(gè)任意常數(shù)，且因常數(shù)，故這兩個(gè)任意常數(shù)不能合并成一個(gè)，即它們是相互獨(dú)立的，因此所給函數(shù)是所給方程的通解。二、可分離變量的方程一階微分方程稱為可分離變量的方程。把式中的 y 和 dy 歸人方程的一端，x 和 dx 歸人另一端，成為這一步驟稱為分離變量。分離變量后，兩端可分別積分設(shè) g （y）、 f （ x ）的原函數(shù)依次為 G （y）與 F（x），即得方程（ 1-5 - 2 ）的通解【 例1- 5-2 】xOy平面上一條曲線通過(guò)點(diǎn)（ 2, 3 ） ，它在兩坐標(biāo)軸間的任一切線段均被切點(diǎn)所平分，求它的方程?！?解 】 設(shè)曲線上任一點(diǎn)為（ x ，y），依題意，曲線在點(diǎn)（x，