4-7號(hào)數(shù)學(xué)三階線性考研線性代數(shù)分階精講講義

1、線性代數(shù)線性代數(shù)分階精講精練講義主講：朱長(zhǎng)龍朱長(zhǎng)龍：朱長(zhǎng)龍老師是中國(guó)數(shù)學(xué)博士，著名界青年，具有多年輔導(dǎo)與學(xué)習(xí)策劃的經(jīng)驗(yàn)。對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有著深厚的探討和，特別是近年來對(duì)數(shù)學(xué)的實(shí)際教學(xué)，已形成獨(dú)特的教學(xué)方法和風(fēng)格，學(xué)生都評(píng)價(jià)朱老師在親切的講解中引意出哲理，在計(jì)算的推理中開闊知識(shí)視野。歡迎使用目錄第一講第二講第三講第四講第五講第六講行列式1矩陣11向量25線性方程組35特征值與特征向量43二次型50線性代數(shù)注：老師沒有完全按照講義授課，重新進(jìn)行了知識(shí)點(diǎn)整合，但老師所講內(nèi)容都包含在講義中，為更好提高學(xué)習(xí)效果，建議以聽課學(xué)習(xí)為主，做好筆記，切不可只看講義不聽課程.第一講行列式內(nèi)容行列式按行（列）展開定理要求

2、1了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)2會(huì)應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行（列）展開定理計(jì)算行列式基礎(chǔ)知識(shí)精講一、行列式的概念1 排列與逆序數(shù)（1）排列把 n 個(gè)不同的元素排成一列，就叫做這n 個(gè)元素的全排列，簡(jiǎn)稱排列。比如 123 為一個(gè) 3 級(jí)排列，51324 是一個(gè) 5 級(jí)排列。【概念理解點(diǎn)睛】不同的n 級(jí)排列共有n!個(gè).（2）逆序、逆序數(shù)，即 js jt ，則 js jt在一個(gè)n 級(jí)排列 j1jn 中，若一對(duì)數(shù) js jt ，大前了一個(gè)逆序。一個(gè)排列中逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)，記為 ( j15，記作 (51324) 5 ， (123) 0 .jn ) 。如：51324 逆序數(shù)是（3）對(duì)換

3、排列 j1換任兩個(gè)數(shù)的位置，其余不變，則稱對(duì)排列作了一次對(duì)換.n【概念理解點(diǎn)睛】對(duì)換一次改變排列的奇偶性。如 (123) 0, (321) 3 .2 n 階行列式的定義（1）引例（2）定義1線性代數(shù)a11 a21a12 a22a1n a2n ( j jj ) aD (a ) (1)a1 2nij nnn1 j1njnan1an2ann (1) ( j1 j2 jn ) aj11a j n n【概念理解點(diǎn)睛】Dn 是一個(gè)數(shù)值，是n!項(xiàng)的代數(shù)和，每項(xiàng)均取自不不同列的n 個(gè)元素的乘積；a110a12 a22a1n a2n【例 1.1】上三角行列式 D .00ann二、行列式的性質(zhì)性質(zhì) 1行列式的行與

4、列(按原順序)互換，(互換后的行列式叫做行列式的轉(zhuǎn)置)其值不變，a11a12 a22aan1a21即n2.an1an 2aa1na2nann性質(zhì) 2 行列式的兩行對(duì)換，行列式的值反號(hào)a11a12a1na11a12a1nai1ai 2ainaj1aj 2a jn .aj1aj 2a ja 2ainan1an 2aann2【概念理解點(diǎn)睛】i）行列式中兩行對(duì)應(yīng)元素全相等，其值為零，即當(dāng)ail ajl (i j,l 1, 2, n) 時(shí)，有2nnan1an1n 2nnna11a21aa12a22a線性代數(shù)a11a12a1nai1ai 2ainD 0aj1aj 2a jnan1an 2annii)若換奇

5、數(shù)次則變號(hào)，偶數(shù)次不變。性質(zhì) 3 行列式的某行(或列)元素都乘k ，則等于行列式的值也乘ka11a12a1na11a12a1nkai1kai 2kaiain.2an1an 2aann2性質(zhì) 4 如果行列式某行(或列)元素皆為兩數(shù)之和，則其行列式等于兩個(gè)行列式之和a11a12a1na11a12a1na11a12a1nai1 bi1ai 2 bi 2ain bia 2aib 2bin.an1an 2aaann22【概念理解點(diǎn)睛】（1）某行元素全為零的行列式其值為零；a1 b1a2 b2（2）a1a2a1b2b1a2b1b2d1d2.c1 d1c2 d2c1c2c1d2d1c2性質(zhì) 5 在行列式中，

6、把某行各元素分別乘非零常數(shù)k ，再加到另一行的對(duì)應(yīng)元素上，行列式的值不變(簡(jiǎn)稱：對(duì)行列式做倍加行變換，其值不變)，即a11a12a1na11a12a1nai1ai 2aia 2ain.kai1 a j1kai 2 a j 2kain a jna j1a j 2a jnan1an 2annan1an 2ann3nnan1annnan1annnan1an線性代數(shù)a111a210【例 1.2】計(jì)算n 階行列式 D , a 0, i 1, 2, n .i10bb aanab bba bbb b【例 1.3】 計(jì)算行列式 D bbba三、行列式的展開定理（降階法的基礎(chǔ)）1 引例與與代數(shù)A (1)i j

7、M .ijij【概念理解點(diǎn)睛】都是比原行列式低一階的行列式，其值只與aij 的位置有關(guān)，而與aiji）和代數(shù)a11a12 a22 a32a13 a23 a33J10K AQa23 a33的取值無關(guān).如 a21，a21，a12 與 0 的與代數(shù)是相等的；a31a31ii） Mij , Aij 最多差一個(gè)符號(hào).2 行列式的展開定理行列式對(duì)任一行(列)展開，其值相等，即n aij Aij , (i 1, 2,j1D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain, n)nD akj Akj a1 j A1 j a2 j A2 j k 1anj Anj其中 A (1)i j M ，M 是 D 中去

8、掉第i 行第 j 列全部元素后，按原順序排成的n 1階行ijijij列式，稱為元素aij 的， Aij 為元素aij 的代數(shù).【概念理解點(diǎn)睛】i）運(yùn)用展開定理降階時(shí)，應(yīng)先用性質(zhì)化某行（或列）只剩一個(gè)非零元；ii）行列式某一行（或列）的元素乘另一行（或列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)之和等于零，即4線性代數(shù)naik Ajk ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0(i j) .k 1320502 73420 20202【例 1.4】 設(shè)行列式 D 之和的值為.則第 4 行元素【例 1.5】范行列式111x31xnV x2x )n3j xn1xn13nx2 )(xn xn1) .x2x1 )x3這

9、里1 jin43【例1.6】計(jì)算行列式 D5 之值.【方法運(yùn)用點(diǎn)睛】計(jì)算行列式的方法（1）用定義；（2）三角形法，利用性質(zhì)，將行列式化為較簡(jiǎn)單或容易計(jì)算的行列式(如上、下三角行列式)；（3）降階展開法，即利用性質(zhì)將某行(或列)的元素盡可能多的化為零，然后按該行(或列)展開，將n 階行列式計(jì)算化為n 1階行列式的計(jì)算；（4）范行列式；（5）遞推法，是在降階中找出高階行列式 Dn 與低階行列式 Dr （ r n ，通常是r n 1 ）的關(guān)系，即遞推公式，利用遞推公式遞推求得 Dn ；（6）特征值法；（7）分塊法.四、法則1 引例法則n 個(gè)未知量n 個(gè)方程的線性方程組，在系數(shù)行列式不等于零時(shí)的方程組

10、解法52線性代數(shù)a11x1 a12 x2 a1n xn b1ax a x a x b方程組(I) 或簡(jiǎn)記為定理 設(shè)線性非21 122 22n n2an1 x1 an 2 x2 ann xn bna1121a1222a1nnaij xjj1aaa bi ,i 1, 2, n ，其系數(shù)行列式 D 0 ，則方程組(I) 有唯2nan1an 2ann一解 x Dj , j 1, 2, n ，其中 D 是用常數(shù)項(xiàng)b ,b ,b 替換 D 中第 j 列所成的行列式，jj1 2nDa11 a21a1 j 1b1a1 j 1a1n a2na2 j 1b2a2 j 1即 Dj .an1anj 1bnanj 1a

11、nn【概念理解點(diǎn)睛】（1）若非方程組無解，則 D 0 ；n（2）若線性方程組aij xj 0(i 1, 2,j1, n) 的系數(shù)行列式 D 0 ，則方程組只aij有零解 xj 0, j 1, 2, n 。(此時(shí) Dj 0, j 1, 2, n )；（3）若線性方程組有非零解，則系數(shù)行列式 D 0 。aijx3 6【例 1.7】 求解下列三元線性方程組x 5 .32x 233 ax4 0 x x 034【例 1.8】線性方程組有非零解時(shí)， a, b 必須滿足什么條件？3x x 034xx ax bx 0 1234重要公式與結(jié)論1、行列式按行、按列展開法則6線性代數(shù)a11 a21a12 a22a1

12、n a2n定理 1 n 階行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余an1an2ann子式乘積之和，即： D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain(i 1, 2n)( j 1, 2D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anjn)a11 a21a12 a22a1n a2n定理 2 n 階行列式 D an1an2ann某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)乘積之和等于零，即ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0 ，i ja1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0 ，i j2 計(jì)算行列式時(shí)的基本公式（1）上（下）三角行列

13、式 a11*a設(shè) A , 則A a a22a .11 22nnann （2）副對(duì)角線行列式a1n *n(n1) 2a設(shè) A , 則2n1A (1)a a a .1n 2n1n1 a n1（3）公式AO BBA OBOBA AO| A | B | (1)mn | A | B |（4）范行列式1x1 xn2nn1 n1i D jixn3、方陣行列式的重要公式1n1 ；（A1nAB *（1） kA；（2）A B ；（3）4）；7A線性代數(shù)（5） | A | 12n ，其中1, 2 , n 是 n 階方陣 A 的特征值；（6） A B 則| A | B | .基礎(chǔ)題型【題型 1】與行列式的定義和性質(zhì)相

14、關(guān)題思路與方法：定義與性質(zhì)【例 1】填空（1）在 5 階行列式中，項(xiàng) a12a31a54a43a25 的符號(hào)應(yīng)?。?）4 階行列式中，帶負(fù)號(hào)且包含因子a23 與a31 的項(xiàng)為xx x 3112x20（3）在函數(shù) f (x) 13中， x3 的系數(shù)是22x1【題型 2】數(shù)值型行列式的計(jì)算思路與方法：（1）定義法；（2）三角形法；（3）降階法；（4）其他公式法。a100b100b4a2 b3 0b2 a3 000a4【例 2】四階行列式的值等于 （）(A) a1a2a3a4 b1b2b3b4(B) a1a2a3a4 b1b2b3b4(D) (a2a3 b2b3 )(a1a4 b1b4 )(C) (

15、a1a2 b1b2 )(a3a4 b3b4 )a1 xx00a2 xx0a30 xxa400 x【例 3】【題型 3】行列式的或代數(shù)線性組合的計(jì)算思路與方法：（1）定義法；（2）逆用行列式按行（列）展開定理2【例 4】已知 D ，求 A13 A23 A431 1528線性代數(shù)【題型 4】含 的行列式的計(jì)算思路與方法：（1）行和相等加列；列和相等加行；（2）找零【例 5】求下列方程的根 22 2 3222 3222 32 2222 2 0 ；（ 0（1）2）題型1、數(shù)字型行列式的計(jì)算 2 2 5 7（C）3x 32x 3 為 f (x) ，則方程 f (x) 0 的根的個(gè)數(shù)為【例 1】記行列式

16、23x 54x 334（A）1（B）2（D）451472631 32171 x3 3x，則 f (x) 0 的實(shí)根的個(gè)數(shù)為【例 2】設(shè) f (x) （）3（A）0（B）1（C）2（D）32、抽象型行列式的計(jì)算【例 3】設(shè) A (, 2 ,3 , 4 ) ，且 B (, 2 ,3 , 4 ) ，其中, , 2 ,3 , 4 均為 4 維列向量，且| A | 4,| B | 1，則| A B | 【例 4】設(shè)1 ,2 ,3 均為 3 維列向量，記矩陣 A (1 ,2 ,3 ) ，B ( 1 2 3 , 1 2 2 4 3 , 1 3 2 9 3 ) ，如果A 1，那么 B . 21200 【例 5

17、】設(shè) A 10 ， B 滿足 ABA 2BA E ，則 B 01 A 3, B 2 ，A1 B 2 ，則A B1 【例 6】已知 A, B 為三階矩陣，且【例 7】已知 A, B 為三階矩陣， 1 2, 2 3, 3 1為 A 的三個(gè)特征值，9線性代數(shù) 10320B 2 ，且 A2 2AB A B E ，求| A2 BA |1 12 3、 n 階行列式的計(jì)算a1 x a1 a1a2 a2 xa2a3 a3a3 xan an an【例 8】計(jì)算： D nan an xa12a a2a2a312a a212a1【例 9】證明： D (n 1)anna22a a212a10線性代數(shù)第二講矩陣內(nèi)容矩陣

18、的線性運(yùn)算 矩陣的乘法 方陣的冪 方陣乘積的行列式 矩陣的轉(zhuǎn)置 逆矩陣的概念和性質(zhì) 矩陣可逆的充分必要條件 伴隨矩陣 矩陣的初等變換 初等矩陣矩陣的秩 矩陣的等價(jià) 分塊矩陣及其運(yùn)算要求1理解矩陣的概念，了解矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣、對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣，以及它們的性質(zhì)2掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運(yùn)算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì).3理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)，以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣4理解矩陣初等變換的概念，了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價(jià)的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法5了解

19、分塊矩陣及其運(yùn)算基本概念、公式與方法精講一、矩陣的定義1 引例2 定義數(shù)域 F 中 m n 個(gè)數(shù)aij (i 1, 2,m; j 1, 2,n ) 排成m 行 n 列，并括以圓括弧(或方括弧)的數(shù)表 a11a12a1n aaa2n 2122 aaa m1mn m 2稱為數(shù)域 F 上的m n 矩陣，通常用大寫字母記做 A 或 Amn ，有時(shí)也記作A (aij )mn (i 1, 2, m; j 1, 2, n) ，其中 aij 稱為矩陣 A 的第i 行第 j 列元素。 橫排11線性代數(shù)為行，豎排為列.【概念理解點(diǎn)睛】矩陣和行列式是有本質(zhì)區(qū)別的。行列式是一個(gè)算式，一個(gè)數(shù)字行列式經(jīng)過計(jì)算可求得其值，

20、行數(shù)和列數(shù)一致。而矩陣僅僅是一個(gè)數(shù)表，它的行數(shù)和列數(shù)也可以不同；3 同型矩陣與矩陣相等同型矩陣： 行數(shù)、列數(shù)都相同的矩陣.矩陣相等：如果兩個(gè)矩陣 A (aij )mn 和 B (bij )mn 是同型矩陣，且各對(duì)應(yīng)元素也相等，即 bij (i 1, 2, m; j 1, 2, n) ，就稱 A 和 B 相等，記作 A B .aij4 幾類特殊的矩陣：（1）零矩陣 m n 個(gè)元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記作0 .（2）只有一行的矩陣 A a11a1n 稱為行矩陣，又稱行向量。為避免元素間的a12， b1 b 。只有一列的矩陣 B 2 稱為列矩陣或列向量.行矩陣也記作 A a a a11121n

21、b n 當(dāng)m n 時(shí)，稱 A 為n 階矩陣(或n 階方陣)（3）方陣.1矩陣 主對(duì)角元全為 1，其余元素全為零的n 階矩陣，稱為n 階矩陣 (簡(jiǎn)稱陣)，記作 In 或 I 或 E .2 數(shù)量矩陣 主對(duì)角元全為非零數(shù)k ，其余元素全為零的n 階矩陣，稱為n 階數(shù)量矩陣，記作 kIn 或kI 或 kE .對(duì)角矩陣 非主對(duì)角元皆為零的 n 階矩陣稱為 n 階對(duì)角矩陣(簡(jiǎn)稱對(duì)角陣)，記作 ，即3 a1a ，或記作diag(a , a ,2, a ) .12nan 4 上（下）三角矩陣 n 階矩陣 A (aij )nn ，當(dāng)i j 時(shí)， aij 0( j 1, 2,n 1) 的矩陣稱為上三角矩陣.下三角

22、矩陣 當(dāng)i j 時(shí)， aij 0( j 2, 3, n) 的矩陣稱為下三角矩陣.5 對(duì)稱矩陣與12稱矩陣線性代數(shù)6 正交矩陣 若 n 階矩陣 A 滿足 AT A E ，則稱 A 為 n 階正交矩陣，這里 E 是n 階陣.矩二、矩陣的運(yùn)算1 矩陣的線性運(yùn)算（1）加法 設(shè) A (a ) 和 B (b ) F mn ，規(guī)定ijij a11 b11a12 b12a1n b1n aba ba bA B (a b ) 2n2n 21212222ijij aba ba b m1m1mnmn m2m2并稱 A B 為 A 與 B 之和.（2）矩陣的數(shù)量乘法(簡(jiǎn)稱數(shù)乘)：設(shè)k 是數(shù)域 F 中的任意一個(gè)數(shù)， A

23、(a) F mn ，規(guī)定ij ka11ka1n ka12 kakakakA (ka ) 2n 2122ij kakakam1mn m2并稱這個(gè)矩陣為k 與 A 的數(shù)量乘積.【概念理解點(diǎn)睛】線性運(yùn)算規(guī)律與數(shù)的加和乘運(yùn)算規(guī)律一致i) kA 0 k 0 或 A 0 ；ii）數(shù)乘矩陣滿換律、結(jié)合律與分配率陣的線性運(yùn)算.2 矩陣的乘法設(shè) A 是一個(gè)m n 矩陣， B 是一個(gè)n s 矩陣，即 a11a1222a1n b11b12b1s a baabbA 2n , B 2 s 212122 aa bbab m1mn n1n 2ns m2則 A 與 B 之乘積 AB (記作C (cij ) )是一個(gè)m s 矩

24、陣，且nainbnj aik bkjk 1cij ai1b1 j ai 2b2 j 即矩陣C AB 的第i 行第 j 列元素cij 是 A 的第i 行 n 個(gè)元素與 B 的第j 列相應(yīng)的 n 個(gè)元素分別相乘的乘積之和.13線性代數(shù)【概念理解點(diǎn)睛】矩陣乘法運(yùn)算規(guī)律有別于數(shù)乘法的運(yùn)算律i） 矩陣的乘法不滿換律，即一般 AB BA ，可從 3 個(gè)方面來理解：1AB 可乘， BA 不一定可乘(例 1)2AB 和 BA 都可乘，但不一定是同型矩陣(例 2)3AB 和 BA 為同型矩陣(此時(shí)， A, B 必為同階方陣)，也不一定相等矩陣乘法不滿足消去律，即 A 0 時(shí)，由 AB AC ，不能推出 B C

25、，由 AB 0 ，不能推出 A 0 或 B 0 .Amn En Em Amn Amn b1 b B 2 ，計(jì)算 AB【例 2.1】 設(shè) A, B 分別是1 n 和n 1矩陣，且 A a , a ，, a12n b n 和 BA .【例 2.2】用矩陣表示一般的方程組a11x1 a12 x2 a1n xn b1ax a x a x b21 122 22n n2am1 x1 am2 x2 3 方陣的冪amn xn bm（1）乘冪設(shè) A 是n 階矩陣， k 個(gè) A 的連乘積稱為 A 的k 次冪，記作 Ak ，即 Ak AAk個(gè)AA ，規(guī)定 A0 E 。（2）方陣的多項(xiàng)式設(shè) f (x) a xk ax

26、k 1 a x a 是 x 的 kn次 多項(xiàng)式， A 是階矩陣 ，則 k 1k10f ( A) a Ak aAk 1 a A a E ，稱為矩陣 A 的 k 次多項(xiàng)式(注意常數(shù)項(xiàng)應(yīng)變?yōu)閗 1k10 na0 En ).【概念理解點(diǎn)睛】i）只有方陣才有冪；14線性代數(shù)ii）當(dāng)m, k 為正整數(shù)時(shí)，有 Am Ak Amk ， (Am )k Amk ，但(AB)k Ak Bk ；iii）方陣 A 的多項(xiàng)式可因式分解， A2 E (A E)(A E) (A E)(A E) ，(A E)2 A2 2A E .【例 2.3】求例 1 中的 ABm , BAm4 矩陣的轉(zhuǎn)置 a11a1n a12 aaa(1)

27、定義 把一個(gè)m n 矩陣 A 的行列互換得到的一個(gè)n m 矩陣，21222n aaa m1mn m 2 a11a2122am1 aaa m2 .稱之為 A 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 AT 或 A，即 AT12 aaa 1nmn 2n（2）性質(zhì)矩陣的轉(zhuǎn)置也是一種運(yùn)算，滿足運(yùn)算律：1 (AT )T A; (A B)T AT BT ; (kA)T kAT (k 為任意實(shí)數(shù))2 (AB)T BT AT .3 (aA bB)T aAT bBT ;5 方陣的行列式由n 階方陣 A 的元素所A的行列式(各元素的位置不變)，稱為方陣 A 的行列式，記作或det A .運(yùn)算性質(zhì)kA kn1AT2AABABA3【方法運(yùn)用

28、點(diǎn)睛】A k , k 為自然數(shù)；Aki）A BA B ；ii）（3）若 A 0 ，則A 0 ；若A 0 A 0 .15線性代數(shù) a11a1222a1n A11A21An1 a AaaAA【例 2.4】設(shè) A 2n , A* n2 ，其211222中 A 是行列式Aij a A A aaA n1nn 1n2nnn n 2。證明： AA* A* A 中元素a 的代數(shù)A E .ijn 20 1【例 2.5】 設(shè) A 120 ，矩陣 B 滿足 ABA* 2BA* E ，則 B 01 0三、逆矩陣1 引例2 可逆矩陣的定義對(duì)于n 階方陣 A ，如果存在n 階方陣 B ，使得 AB BA E ，就稱 A

29、為可逆陣(簡(jiǎn)稱 A可逆)，并稱 B 是 A 的逆矩陣，記作 A1 ，即 A1 B【概念理解點(diǎn)睛】也可以說， A 是 B 的逆矩陣；i）只有方陣才有逆，可逆矩陣及其逆矩陣是同階方陣。ii）若 A 是可逆矩陣，則 A 的逆矩陣是唯一的.iii矩陣的逆矩陣是其自身，可逆對(duì)角矩陣的逆是主對(duì)角元素都取倒數(shù)的對(duì)角陣；3 矩陣可逆的條件A 0 。定理 矩陣 A 可逆的充要條件是【概念理解點(diǎn)睛】1i）求逆公式 A1 A* .1A1ii）；推論 若 A, B 都是n 階矩陣，且 AB E ，則 BA E，即 A, B 皆可逆，且 A, B 互為逆矩陣.4 可逆矩陣的性質(zhì)設(shè)同階方陣 A, B 皆可逆，數(shù)k 0(1

30、) 若 A 可逆，則 A1 亦可逆，且( A1)1 A ；16AA線性代數(shù)(2) 若 A 可逆，數(shù)k 0 ，則kA 亦可逆，且(kA)1 1 A1 ( k 為非零常數(shù))；k(3) 若 A, B 為同階矩陣且均可逆，則 AB 亦可逆，且(AB)1 B1A1 ,推廣：1( AAA )1 A 1A1AA； A ( A ) ；1 11 nnss11 2s21(4) 若 A 可逆，則 AT 亦可逆，且(AT )1 ( A1)T ；A 1 .A1(5)矩陣，則 A E 1 .【例 2.6】 設(shè)矩陣 A 滿足 A2 A 4E 0 ,其中 E 為10121【例 2.7】設(shè) A 210, 求 E A. 35 四

31、、分塊矩陣定義 把一個(gè)大型矩陣分成若干小塊一個(gè)分塊矩陣，這是矩陣運(yùn)算中的一個(gè)重要技巧，它可以把大型矩陣的運(yùn)算化為若干小型矩陣的運(yùn)算，使運(yùn)算更為簡(jiǎn)明.例：把一個(gè) 5 階矩陣1 2121203 10 A 00 000100010 00 01用水平和垂直的虛線分成 4 塊，如果記 11 21 103 00 A ， A ， O ， I11 12 2 20 00 31就可以把 A 看成由上面 4 個(gè)小矩陣所組成，寫成 A A1A2，并稱它是 A 的一個(gè)2 2 分 OI3 塊矩陣，其中的每一個(gè)小矩陣稱為 A 的一個(gè)子塊.把一個(gè)m n 矩陣 A ，在行的方向分成s 塊，在列的方向分成t 塊，稱為 A 的 s

32、 t 分塊矩陣，記作 A (Akl )st ，其中 Akl (k 1, 2,的小矩陣., s;l 1, 2,t) 稱為 A 的子塊，它們可以是各種類型17線性代數(shù)1 分塊矩陣的運(yùn)算（1）分塊矩陣的加法A (Akl )st , B (Bkl )st ，則 A B (Akl Bkl )stA, B 的行數(shù)相同，列數(shù)相同，采用相同的分塊法.要求：（2）分塊矩陣的數(shù)量乘法設(shè)分塊矩陣 A (Akl )st , 是一個(gè)數(shù)，則 A ( Akl )st 要求：無.（3）分塊矩陣的乘法設(shè) Amn , Bn p ，如果 A 分塊為 r s 分塊矩陣(Akl )rs , B 分塊為 s t 分塊矩陣(Bkl )st

33、 ， B11B12B1t j1行j 列j 列j 列12A12sA1s B21B2t j2行 A11B22則 AB A C記作(C )AA kl rt 21222s AAA r1r 2rsB行sss其中C 是 r t 分塊矩陣，且Ckl Aki Bil , (k 1, 2,i1, r;l 1, 2, t) .要求： A 的列的分塊法和 B 的行的分塊法完全相同.（4）分塊矩陣的轉(zhuǎn)置分塊矩陣 A (A )的轉(zhuǎn)置矩陣為 AT (B )，其中kl st lk ts B AT ,l 1, 2, t; k 1, 2, slkkl要求：不僅要行(塊)與列(塊)互換，而且每一子塊也要轉(zhuǎn)置.（5）分塊對(duì)角陣的行

34、列式與可逆分塊矩陣的逆矩陣 A1A對(duì)角塊矩陣(準(zhǔn)對(duì)角矩陣) A ，其中 A , i 1,2,m 為方陣，則jAm A 0.i 1, 2,A1A2AmAi,m，且，因此，對(duì)角塊矩陣 A 可逆的充要條件為18線性代數(shù) A11A1 .A121A2 兩種常用的分塊法m b1 b 按行分塊按列分塊 2 B 是m n 矩陣， B b 12n m 【方法運(yùn)用點(diǎn)睛】i） m n 矩陣既可看成是由m 個(gè) n 維行向量組成，也可看成是由 n 個(gè)m 維列向量組成；反之亦然；ii）線性方程組的向量形式： x1 b1 x b ) 2 2 Ax b ( , , x bmn x b 12nn n n x1 x 若b 0 ，

35、 Amn xn 0 . x n 50320001100000 00 【例 2.8】 設(shè) A 000 ，求A , A1 . 02 41 00 五、矩陣的初等變換和初等矩陣1 初等變換的定義用消解線性方程組，其消元步驟是對(duì)增廣矩陣進(jìn)行 3 類行變換，推廣到一般，即kri 或 kci , k 0 ；(1)(2) ri krj 或ci kc j ；(3) ri rj , ci cj .19線性代數(shù)【概念理解點(diǎn)睛】i）用初等變換求解線性方程組時(shí)，只能用行變換；ii）初等變換均可逆；iii）方程組的初等變換保解，矩陣的初等變換保秩.2 初等矩陣（1）定義 將矩陣做一次初等變換所得的矩陣稱為初等矩陣。初等倍

36、乘矩陣 Ei (c) diag(1,( c 0 )而得到的；,1, c,1,1) ， Ei (c) 是由矩陣第 i 行( 或列) 乘 c 1 i行1Eij (c) 初等倍加矩陣 j行c11Eij (c) 是由矩陣第i 行乘c 加到第 j 行而得到的，或由第 j 列乘c 加到第i得到的； 1 i行011 初等對(duì)換矩陣Eij1 j行101Eij 是由矩陣第i, j 行(或列)對(duì)換而得到的.（2）初等矩陣的作用對(duì) A 實(shí)施一次初等行（列）變換，相當(dāng)于左（右）乘相應(yīng)的初等矩陣 a如：11a1222a aa2212a23 1321 a aaaaa 2123 1113 20線性代數(shù) a11 aa23 a1

37、2aa22121321E a12aaaaa 2123 1113 22Ei (c) A 表示 A 的第i 行乘c ， Eij (c) A 表示 A 的第i 行乘c 加至第 j 行， Eij A第i 行與第 j 行對(duì)換位置.表示 A 的【方法運(yùn)用點(diǎn)睛】i）“行左列右”；ii）用最后一種初等矩陣要注意，在左邊和右變的意義；（3）初等矩陣的性質(zhì)E T (c) E (c) , E T (c) E (c) ， E T E ；iiijjiijij1E(c) E ( ) ,1E 1(c) E (c) ， E 1 E ；iiijijijijc1E (c) E (c) , E* EE (c) cE ( )*,；i

38、iijijijijc4 矩陣的等價(jià)存在可逆陣 P，Q，使得 PAQ B .則稱A 與B 等價(jià)，記作 A B .定義【概念理解點(diǎn)睛】i）矩陣的等價(jià)關(guān)系滿足“三性”反身性: A A；對(duì)稱性:若 A B ,則 B A；傳遞性:若 A B , B C ,則 A C . ii） 同型矩陣 A 與 B 等價(jià) r( A) r(B)iii）若 A 可逆，則 A E .5 利用初等變換求逆矩陣如果對(duì)可逆矩陣 A 和同階陣 E 做同樣的初等行變換，那么當(dāng) A 變?yōu)殛嚂r(shí)， E 就變?yōu)?A1 ，即 A, E初等行變換(E, A1) .21線性代數(shù)1112 2112 為階梯形與行最簡(jiǎn)形.【例 2.9】化9 重要理論、公

39、式與結(jié)論1、轉(zhuǎn)置矩陣，可逆矩陣，伴隨矩陣的公式(AT )T A (A B)T AT BT ( A)T AT(AB)T BT AT1 A1 (k0)k(A1)1 AAB1kA 1A A n2 A （ AAB (AB)A B1為任 n 階矩陣， n 2 ）n 1 AkA) AA AEn, 若秩A n設(shè) A 是n 階矩陣(n 2) ，則 秩A 1, 若秩A n 10,若秩A n 12、矩陣可逆的充要條件n 階方陣矩陣 A 可逆的充要條件：（1）存在n 階方陣 B，使 AB BA EA 0（2）（3）秩 （A 為n 階方陣）（4）A 與同階矩陣E 等價(jià)（5）A 可以表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積（6）線性

40、方程組 AX 0 只有零解（7）對(duì)任意n 維列向量b ，非線性方程組 AX b 有唯一解。（8）A 的行（列）向量組線性無關(guān)。A 12n ) .（9）A 的特征值均不為0 (基礎(chǔ)題型【題型 1】有關(guān)方陣逆的判斷與求解思路與方法：（1）求逆公式；（2）初等變換；（3）分塊求逆。22線性代數(shù) 32401 【例 1】 A 21A 2E0 ，求 13 1 1120000210 0 【例 2】 A ，求 A1 0 01 1 【例 3】設(shè) A 為 n 階方陣，滿足 A2 A 5E 0 ，求 A 3E 1【例 4】設(shè) A ， B 為 n 階方陣，已知 A E ， B 都可逆，且 A E 1 B E ，證明：

41、 A可逆，并求它的逆矩陣.【題型 2】利用方陣行列式的性質(zhì)求抽象型的行列式思路與方法：（1）把伴隨，逆，轉(zhuǎn)置等化簡(jiǎn)；（2）利用方陣相乘行列式的性質(zhì)；10201 【例 5】已知 A2B A B E ， A 0 ，求 B0. 21 1 ，試求 3A1 2 A【例 6】設(shè) A 為 3 階方陣，A2題【題型 3】與伴隨矩陣相關(guān)A A1 ；（3） A* 1 A*；（4） AA n1思路與方法：（1）AA* A* A A E ；（2）A* nA 2 ， B 3 ，求 2 AB1【例 7】設(shè) A ， B 為 n 階方陣，.11211【例 8】已知 3 階矩陣 A 的逆矩陣 A1 11，試求伴隨矩陣的逆矩陣.

42、13題型1、有關(guān)逆矩陣的求解（）數(shù)值型矩陣求逆 0a10000 0a2 , 其中a1 0,i 1, 2,【例 1】設(shè) A , n, 00000an1 a0 n23A線性代數(shù)求 A1 并計(jì)算 A A A .k1k 2kn（II）抽象型矩陣求逆或證可逆【例 2】已知 X ,Y 為n 維列向量， XTY 2 ，令 A E XY T ，求(A E)1.2、有關(guān)矩陣運(yùn)算特殊性的考查1 12 【例 3】設(shè) A 112 ，求 An 24 2均為 階矩陣，且 B E AB ， C A CA ，則 B C 為 （【例 】設(shè)）（B） E（C） A（D） A（A） E【例 5】 A, B, A B, A1 B1 均

43、可逆， ( A1 B1)1 （A） A1 B1（B） A B（C） A( A B)1 B（D） ( A B)13、解矩陣方程1123000001001【例 6】已知A，且 A* 1BA2AB+12E，求矩陣B.00202 12112【例 7】已知 3 階矩陣 A 的各行元和均為 6，且 AB B ，其中 B 23 ，求 A 。 134、有關(guān)初等變換和初等矩陣題【例 8】設(shè) A, B 為三階陣，將 A 的第一行的2 倍加到第二行得 A1 ，將 B 的第一列乘以2 得 01 3B ，若 A B 25 7 ，求 AB11 1 46 8【例 9】設(shè) A 為n （ n 2 ）階可逆矩陣，交換 A 的第

44、1 行與第 2 行得矩陣 B ,分別為 A, B 的伴隨矩陣，則（）(A) 交換 A* 的第 1 列與第 2 列得 B* .交換 A* 的第 1 行與第 2 行得 B* .(B)(C) 交換 A* 的第 1 列與第 2 列得 B* .(D) 交換 A* 的第 1 行與第 2 行得 B* .24線性代數(shù)第三講向量?jī)?nèi)容向量的概念 向量的線性組合與線性表示 向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān) 向量組的極大線性無關(guān)組 等價(jià)向量組 向量組的秩 向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系 向量空間及其相關(guān)概念 n 維向量空間的基變換和坐標(biāo)變換 過渡矩陣 向量的內(nèi)積 線性無關(guān)向量組的正交規(guī)范化方范正交基 正交矩陣及其性質(zhì)要求1

45、理解n 維向量、向量的線性組合與線性表示的概念2理解向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念，掌握向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法3理解向量組的極大線性無關(guān)組和向量組的秩的概念，會(huì)求向量組的極大線性無關(guān)組及秩4理解向量組等價(jià)的概念，理解矩陣的秩與其行(列)向量組的秩之間的關(guān)系.5了解n 維向量空間、子空間、基底、維數(shù)、坐標(biāo)等概念6了解基變換和坐標(biāo)變換公式，會(huì)求過渡矩陣7了解內(nèi)積的概念，掌握線性無關(guān)向量組正交規(guī)范化的（Sidt）方法8了解規(guī)范正交基、正交矩陣的概念以及它們的性質(zhì)基本概念、公式與方法精講一、n 維向量的概念與運(yùn)算1 定義n 個(gè)數(shù) a1, a2 , an的有序數(shù)組，稱為一個(gè) n 元向

46、量( 也稱 n 維向量)，記作 a1, a2, an ，其中 ai 稱為a 的第i 個(gè)分量。向量寫成上述形式稱為行向量，寫成列 a1 a 的形式 稱為列向量.T 2 a , a , a a 12n n 2 線性運(yùn)算設(shè) a1, a2, an , b1,b2, bn ，定義：25線性代數(shù)(1) ，當(dāng)且僅當(dāng)ai bi (i 1, 2, n).(2)向量加法( 與 之和) (a1 b1, a2 b2 , an bn ) .(3)向量的數(shù)量乘法(簡(jiǎn)稱數(shù)乘)為k ka1, ka2,積., kan ，k 稱為向量 與數(shù)k 的數(shù)量乘【例 3.1】設(shè) (2, 0, 0)T , (0, 1, 0)T , (0,

47、0,1) ，求 3 4 .T123123二、線性相關(guān)性1 線性組合、線性表出mkii i1對(duì)于1,2 ,m ， k11 k22 kmm 稱為向量組1,2 ,m 的一個(gè)線性組合， k1, k2 , km 稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)。向量組1,2 ,m 和向量b ，如果存在一組數(shù)1,2 , m ，使b 11 22 mm ，則向量b 是向量組1,2 ,【概念理解點(diǎn)睛】,m 的線性組合，稱向量b 能由向量組1,2 ,m 線性表示.i）向量組中任一向量均可由該向量組本身線性表示.如：1,2 ,m ， i 01 02 1i 0m ；ii）若 可由1,2 ,m 中的部分向量線性表示，則 可由1,2 ,m 線性表

48、示；iii）一個(gè)向量能否由一組向量線性表示的一般方法是利用方程組 能（不能）由1,2 ,m 線性表示 存在（不存在） k1, k2 , km ，使得k11 k22 kmm 成立 方程組1,2,m x 有（無）解.2 線性相關(guān)與線性無關(guān)如果對(duì)m 個(gè)向量1,2 ,m ，有m 個(gè)不全為零的數(shù)k1, k2 , km ，使得k11 k22 kmm 0 成立，則稱1,2 ,m 線性相關(guān)，否則，稱1,2 ,m 線26線性代數(shù)性無關(guān).【概念理解點(diǎn)睛】包含零向量的任何向量都是線性相關(guān)的.單個(gè)向量 線性相關(guān)(無關(guān))【例 3.2】線性相關(guān)與線性表示的關(guān)系【例 3.3】設(shè) (1,1,1)T ， (0, 2, 5)T

49、， (2, 4, 7) ，問向量組T , , 和 ,的12312312線性相關(guān)性.【例 3.4】t 取何值時(shí)，下列向量組線性相關(guān)？1 (1,1,1) ， (1, 2, 3) ， (1, 3, t)TTT23【例 3.5】設(shè)1,2 ,3 線性無關(guān)，（1）證明1 3 , 21 2 , 23 2 線性相關(guān)（2）問 m，k 滿足什么條件時(shí)，向量組k2 1, m3 2 ,1 3 線性相關(guān).【例 3.6】 A Rnn ， Rn ， 0 ， Am 0 ， Am1 0證明：向量組, A, A2, Am1 線性無關(guān).3 向量組線性相關(guān)性的基本性質(zhì)定理 1 向量組1,2 ,m (m 2) 線性相關(guān)的充要條件是1,

50、2 ,m 中至少有一個(gè)向量可由其余m 1 個(gè)向量線性表示. aT ， aT ， aT ，定理 2 , a , a, a , a, a , a11121r121222r 2n1n2nrnT，則向量組 , , 線性相關(guān)的充要條件是線性方程組 Ax 0n12n有非零解,其中 A 1,2,n .上述定理的等價(jià)命題是: 1,2 ,零解.,n 線性無關(guān)的充要條件是線性方程組 Ax 0 只有定理 3 若向量組1,2 ,r 線性無關(guān),而 ,1,2 ,r 線性相關(guān),則 可由1,2 ,r 線性表示,且表示法唯一.【例 3.7】i (0, 0,1, 0, 0)T 證明： , ,12,n 線性無關(guān).27線性代數(shù)三、向

51、量組的極大無關(guān)組與秩1 定義 設(shè)向量組, s 的部分組 i i , ir 滿足條件：（1） i（2） i , ir 線性無關(guān)；, s 中的任一向量均可由它們線性表示，則稱向量組 i i , ir 為向量組,s 的一個(gè)極大無關(guān)組。向量組的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組的秩，記為r(1,2 , ,s ) r .【概念理解點(diǎn)睛】i） r(1,2 ,s ) s ；ii）若 r(1,2 ,大無關(guān)組；,s ) r s ，則, s 中任意r 個(gè)線性無關(guān)的向量組均可作為極iii）一個(gè)向量組，若個(gè)數(shù)大于維數(shù)則必線性相關(guān).【例 3.8】求向量組1 (1,1,1) ，2 (0, 2, 5) ，3 (2, 4,

52、7) ，4 (1, 3, 6) 的一個(gè)TTTT最大無關(guān)組和該向量組的秩.【例 3.9】把例 8 中其余向量用極大無關(guān)組表出.2 向量組的等價(jià)如果向量組中每一個(gè)向量可由向量組線性表示，就稱前一個(gè)向量組可由后一個(gè)向量組線性表示。如果兩個(gè)向量組可以相互線性表示，則稱這兩個(gè)向量組是等價(jià)的?！靖拍罾斫恻c(diǎn)睛】i）滿足“三性”反身性；對(duì)稱性； 傳遞性；ii）向量組和它的極大線性無關(guān)組等價(jià)；iii）兩向量組等價(jià) 其極大無關(guān)組等價(jià) 兩向量組的秩相等，且能相互線性表出.3 向量組秩的性質(zhì)性質(zhì) 1 如果1,2 ,s 線性無關(guān)，則r(1,2 ,s ) s ；如果1,2 ,s 線性相關(guān)，則 r(1,2 ,s ) s .

53、性質(zhì) 2 若 1, 2 , t 可由1,2 ,r(1, 2 , t 可由, t 可由,s 線性表出，則, t ) r(1,2 ,s ) .性質(zhì)3 若向量組 性質(zhì) 4 若向量組 關(guān)., s 線性表示，且 t 線性無關(guān),則t s, s 線性表示，且t s ,則 , t 線性相四、矩陣的秩28線性代數(shù)1 k 階子式矩陣 A a的任意 k 個(gè)行和任意 k 個(gè)列的交點(diǎn)上的 k 2 個(gè)元素按原順序排成 k 階ijmn ai j ai j ai j 1 11 2 1 kaai j ai j i j 稱為 A 的k 階子式.行列式2 12 2 2 kai j ai j ai j k 1k 2k k 2 矩陣的

54、秩矩陣A 中存在一個(gè) r 階子式不為零，而所有 r+1 階子式全為零 (非零子式的最高階數(shù))則稱矩陣的秩為 r，記為r( A) r，【概念理解點(diǎn)睛】r(Amn ) minm, n；r( A) r A 中有r 階子式不為 0，任何r 1階子式(若還有)必全為 0r( A) r A 中r 階子式全為 0r( A) r A 中有r 階子式不為 0特別的， r( A) 0 A 0 ， A 0 r( A) 1.3 矩陣秩的基本性質(zhì)（1）初等變換不改變矩陣的秩。設(shè) A 是m n 矩陣, P, Q 分別是m 階, n 階可逆矩陣,則r A r PA r AQ r PAQ（2）矩陣的秩=行秩=列秩=矩陣的非零

55、子式的最高階數(shù)（三秩相等）。 1 , ) A (a ) ( ,ij mn1n m r( A) r(1,n ) r(1, n ) ； A的非零子式的最高階數(shù)（3） A 為n 階方陣， r( A) n A 0 A行, A列 線性無關(guān)；（4）設(shè) A 是 m n 矩陣,則r A r AT min m, n ； r(kA) r( A), k 0 ；（5） r( A B) r( A) r(B) ；29線性代數(shù)（6） r( AB) minr( A), r(B) “矩陣越乘五、向量空間小” .1 向量空間的基本概念（數(shù)一）（1）向量空間：設(shè) V 是 n 維向量的集合，如果 V 非空，且對(duì)于向量的加法和數(shù)乘兩種

56、運(yùn)算封閉，即 V 中兩個(gè)向量之和及數(shù)乘 V 中向量所得到的向量仍屬于 V,則稱 V 為向量空間.（2）基：V 的極大無關(guān)組.（3）維數(shù)：基包含向量的個(gè)數(shù).（4）坐標(biāo)：設(shè)一組數(shù) x1 , xn 是 n 維向量空間 V 的一個(gè)基，對(duì)任一元素 V ，總有且僅有,n 使 1 nn 稱為 在基, n 下的坐標(biāo)，記為 (x1 , xx1 , xn ) .（5）基變換與過渡矩陣設(shè), n 與 1 ,2 , n 都是 n 維向量空間 V 的基，且1 a111 a212 an1n a a a 212 122 2n 2 nn a1n1 a2n2 annn即 a11a1222a1n aaa) ( , , ) ( ,

57、, , , )C212n (,12n12n12n aaa n1nn n 2稱C 為基, n 到基 1 , 2 , n 的過渡矩陣.或稱為基變換公式.坐標(biāo)變換公式設(shè) V ， 在基,n 下的坐標(biāo)為(x1 , xn ) ，在基，且(1 , 2 ,n ) (1 , 2 ,n )C ( C 是從基1 ,2 , n 下的坐標(biāo)為 ( y ,n, n 到基 1 , 2 , n 的過渡矩陣)，則 x1 y1 y1 x1 x y y x 2 C 2 2 C 1 2 .或 y x x y n n n n 2 向量的內(nèi)積30線性代數(shù)T ，則稱T, x, y y , y ,（1）內(nèi)積：設(shè)有n 維向量, y2n12nx,

58、 y x y y x x y xTTy x y1122n n為向量 x 與 y 的內(nèi)積.內(nèi)積具有以下的運(yùn)算性質(zhì)： x, y y, x ； x y, z x, z y, z ； kx, y k x, y ；x2 0 等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) x 0 .n（2）模、長(zhǎng)度：向量 x 的長(zhǎng)度【概念理解點(diǎn)睛】 1 ，稱 x 為x（1）當(dāng)向量；x（2）任一非零向量 x 0 ，都可將其化，事實(shí)上就是向量；（3）正交：當(dāng) x, y 0 時(shí)，稱向量 x 與 y 正交.【概念理解點(diǎn)睛】零向量與任何向量正交.3正交法設(shè)1,2 ,r 是一組線性無關(guān)的向量，可用下述方法把1,2 ,1 1,r 標(biāo)準(zhǔn)正交化。取 1,2 , 221

59、11 1,r 2,r r1,r , , , r 1rr12r 1r 11122則 1, 2 , r 線性無關(guān)，且兩兩正交，與1,2 ,r 等價(jià).12r再把 , ,化 , ,12r12r向量1, 2 , r ，這個(gè)方法稱為線性無關(guān)向即得到一組與原向量組等價(jià)的兩兩正交的量組標(biāo)準(zhǔn)正交化的方法.4 規(guī)范正交基（數(shù)一）31r21x線性代數(shù) 1, i j , i, 設(shè) , ,，若 , n ，則稱 , ,j 1, 2,0, i j是一組標(biāo)12nij12n準(zhǔn)正交基. (規(guī)范正交基)重要公式、結(jié)論1、有關(guān)線性相關(guān)性的結(jié)論與判定方法設(shè)1 ,2 ,m 為n 為列向量（1）若m n ，則1 ,2 ,m 線性相關(guān)；（2

60、）若m n ，則1 ,2 ,n 線性相關(guān)（無關(guān)） R(1,n ) n( n) | 1,n | 0( 0)（3）若m n ， A (1 ,2 ,n ) 化為行階梯形，求出 R( A) r ，當(dāng)r m 得到1 ,2 ,m 線性無關(guān)，當(dāng)r m 得到1 ,2 ,m 線性相關(guān)。（4）線性無關(guān)的向量組，若把向量的分量再增加，則仍無關(guān)；線性相關(guān)的向量組，若把每個(gè)向量的分量減少，則仍相關(guān)。（5）整體無關(guān)則部分無關(guān)；部分相關(guān)則整體相關(guān)2、有關(guān)線性表示的結(jié)論（1） 1 ,2 ,m 線性相關(guān) 至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示；（2）1 ,2 ,m 線性無關(guān)，1 ,2 ,m , 線性相關(guān)， 可由1 ,2 ,m 唯一