高中數(shù)學(xué)第2章數(shù)列2.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(第2課時(shí))等差數(shù)列前n項(xiàng)和的綜合應(yīng)用學(xué)案新人教B版

1、第2課時(shí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用(重點(diǎn))2.會(huì)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))核心素養(yǎng)1.通過等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了學(xué)生的邏輯推理的素養(yǎng)2.借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值研究，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).SnSn1n2.1Sn與an的關(guān)系S1n1，an2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)等差數(shù)列an中，其前n項(xiàng)和為Sn，則an中連續(xù)的n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，構(gòu)成等差數(shù)列(2)數(shù)列an是等差數(shù)列Snan2bn(a，b為常數(shù))3等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值(1)若a10，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為負(fù)數(shù)項(xiàng)(或0)，

2、所以將這些項(xiàng)相加即得Sn的最小值(2)若a10，d0，d0，則S1是Sn的最小值；若a10，d0，a7a100，a7a10a8a90，a90，bnbn12(n2)1又b14(b11)2，b11，bn為等差數(shù)列，bn1(n1)22n1.等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用【例2】已知等差數(shù)列an，Sm，S2m，S3m分別是其前m，前2m，前3m項(xiàng)和，若Sm30，S2m100，求S3m.解法一：設(shè)an的公差為d，依據(jù)題設(shè)和前n項(xiàng)和公式有：2ma2m2m1d100，22ma1mm1d30，1所以S3m3ma13ma1m3m1d370210.所以na1(n1).n2S2，得ma1m3m1d70，3m3m1d22

3、法二：Sm、S2mSm、S3mS2m成等差數(shù)列，所以30、70、S3m100成等差數(shù)列所以27030S3m100.所以S3m210.1法三：在等差數(shù)列an中，因?yàn)镾na1n2n(n1)d，dS2mS3mm2m3m2m3mmSd即數(shù)列n構(gòu)成首項(xiàng)為a1，公差為2的等差數(shù)列S依題中條件知m、成等差數(shù)列，SSS所以22m3mm.所以S3m3(S2mSm)3(10030)210.(2)數(shù)列an是等差數(shù)列Snan2bn(a，b為常數(shù))數(shù)列n為等差數(shù)列當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶S奇nd，S奇S偶an1S奇n當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1時(shí)，S奇S偶an，S偶n1等差數(shù)列的前n項(xiàng)和常用性質(zhì)(1)等差數(shù)列的依次k項(xiàng)之和，Sk

4、，S2kSk，S3kS2k，組成公差為k2d的等差數(shù)列Sn(3)若S奇表示奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶表示偶數(shù)項(xiàng)的和，公差為d，an；.2項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)之和為44，偶數(shù)項(xiàng)之和為33，求這個(gè)數(shù)列的中間項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)解設(shè)等差數(shù)列共2n1項(xiàng)，則奇數(shù)項(xiàng)有n1項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有n項(xiàng)，中間項(xiàng)是第n1項(xiàng)，記為an1，設(shè)公差為d，則S奇a1a3a5a2n144，S偶a2a4a6a2n33.S奇S偶a1ndan111，即中間項(xiàng)an111.又S2n1S奇S偶77.2n12an122n1a1a2n1277，提示首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn2nn2n，dn2a1n，若令A(yù)，Ba1一般地，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式S

5、nna1(2n1)1177，2n17，即數(shù)列的中間項(xiàng)為11，這個(gè)數(shù)列共7項(xiàng)等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的函數(shù)特征探究問題1將首項(xiàng)為a12，公差d3的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和看作關(guān)于n的函數(shù)，那么這個(gè)函數(shù)有什么結(jié)構(gòu)特征？如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn3n2n，那么這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？上述結(jié)論推廣到一般情況成立嗎？nn1331222顯然Sn是關(guān)于n的二次型函數(shù)如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn3n2n，那么當(dāng)n1時(shí)，S1a14.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn16n2，a1也適合此式，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an6n2，所以該數(shù)列為等差數(shù)列dnn1dd2222d2，則上式可寫成SnAn2Bn(A，B可以為0)2已知一個(gè)數(shù)列an的前

6、n項(xiàng)和為Snn25n，試畫出Sn關(guān)于n的函數(shù)圖象你能說明數(shù)列an的單調(diào)性嗎？該數(shù)列前n項(xiàng)和有最值嗎？提示Snn25nn2，它的圖象是分布在函數(shù)yx25x的圖象上的離散的52524點(diǎn)，由圖象的開口方向可知該數(shù)列是遞增數(shù)列，圖象開始下降說明了an前n項(xiàng)為負(fù)數(shù)由Sn的圖象可知，Sn有最小值且當(dāng)n2或3時(shí)，Sn最小，最小值為6，即數(shù)列an前2項(xiàng)或前3項(xiàng)和最小【例3】數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn33nn2.(1)求an的通項(xiàng)公式；da33，22法二：由yx33x的對(duì)稱軸為x.(2)問an的前多少項(xiàng)和最大；(3)設(shè)bn|an|，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.思路探究(1)利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)，也可由Sn的結(jié)構(gòu)

7、特征求a1，d，從而求出通項(xiàng)(2)利用Sn的函數(shù)特征求最值，也可以用通項(xiàng)公式找到通項(xiàng)的變號(hào)點(diǎn)求解(3)利用an判斷哪些項(xiàng)是正數(shù)，哪些項(xiàng)是負(fù)數(shù)，再求解，也可以利用Sn的函數(shù)特征判斷項(xiàng)的正負(fù)求解解(1)法一：當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1342n，又當(dāng)n1時(shí)，a1S133132滿足an342n.故an的通項(xiàng)公式為an342n.法二：由Snn233n知Sn是關(guān)于n的缺常數(shù)項(xiàng)的二次型函數(shù)，所以an是等差數(shù)列，d1，由S的結(jié)構(gòu)特征知2n1解得a132，d2，所以an342n.(2)法一：令an0，得342n0，所以n17，故數(shù)列an的前17項(xiàng)大于或等于零又a170，故數(shù)列an的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大332

8、33距離2最近的整數(shù)為16,17.由Snn233n的圖象可知：當(dāng)n17時(shí)，an0，當(dāng)n18時(shí)，an0，故數(shù)列an的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大(3)由(2)知，當(dāng)n17時(shí)，an0；當(dāng)n18時(shí)，an，3在等差數(shù)列中，a1023，a2522.(1)該數(shù)列第幾項(xiàng)開始為負(fù)；(2)求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和解設(shè)等差數(shù)列an中，公差為d，由題意得a25a1015d45，d3.(1)設(shè)第n項(xiàng)開始為負(fù)，an503(n1)533n17.22SnSn1，n2.533n117.31032當(dāng)n17時(shí)，Sn2n2n；當(dāng)n17時(shí)，Sn|a1|a2|a3|an|a1a2a17(a18a19an)，3103173103223n2

9、103nn17，2Sn21本節(jié)課的重點(diǎn)是等差數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì)、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值以及利用Sn求通項(xiàng)公式an，其中等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題是本節(jié)的難點(diǎn)2本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是利用anSnSn1(n2)求通項(xiàng)公式時(shí)，忽視條件n2.3本節(jié)課要重點(diǎn)掌握以下規(guī)律方法S1，n1，(1)an(2)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(3)等差數(shù)列前n項(xiàng)的最值的求法.(1)若Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則數(shù)列nn也是等差數(shù)列()1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)S(2)在等差數(shù)列an中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)m為偶數(shù)2n時(shí)，則S偶S奇an1.()(3)若a10，d0，則等差數(shù)列中所有正項(xiàng)之和最大()(4)在等差數(shù)列中，Sn是其前

10、n項(xiàng)和，則有S2n1(2n1)an.()Sd1S解析(1).因?yàn)橛傻炔顢?shù)列前n項(xiàng)和公式知n2na12d，所以數(shù)列n為等差數(shù)列(4).因?yàn)镾2n112n1(2).當(dāng)項(xiàng)數(shù)m為偶數(shù)2n時(shí)，則S偶S奇nd(3).由實(shí)數(shù)的運(yùn)算可知該說法正確aa2n12n122an(1n)dan(n1)d(2n1)an.答案(1)(2)(3)(4)2若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn21，則a4()A7C9B8D17Aa4S4S3(421)(321)7.3等差數(shù)列an中，S24，S49，則S6_.15由S2，S4S2，S6S4成等差數(shù)列，4(S69)25，S615.4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式為Sn2n230n.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bnanan1，求數(shù)列bn的