高三數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練：立體幾何(理科)

1、試卷第 頁(yè)，總4頁(yè)高三數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練：立體幾何(理科).如圖，直三棱柱 ABC AB1C1中，D,E分別是AB,BBi的中點(diǎn),AA1 AC CB 2 AB . 2 . 2(1)證明：BC1P平面ACD；(2)求二面角D AC E的余弦值.如圖所示，在四棱錐 P ABCD中，AB / CD ,1AD AB -CD, DAB 60 ,點(diǎn) E, F 分別為 2CD, AP的中點(diǎn).(1)證明：pc /面BEF ;(2)若 PA PD,且 PA PD,面 PAD 面 ABCD,求二面角F BE A的余弦值.A起，使Fi , F2重合于點(diǎn)F ,得到如圖4.如圖所示，在三棱錐A BCD 中，AB BCBD 2

2、 , AD 273 ，CBA CBD ,點(diǎn)E為AD中點(diǎn).2(1)求證：平面ACD 平面BCE ;(2)若點(diǎn)F為BD中點(diǎn)，求平面BCE與平面ACF所 二面角的余弦值.成銳5 .如圖，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中,側(cè)面ACC1A與側(cè)面CBB1C1都是菱形,3.如圖1,在等腰梯形ABF1F2中，兩腰AF2 BFi 2,底邊AB 6,開(kāi)2 4,D,C是AB的三等分點(diǎn)，E是F1F2的中點(diǎn).分別沿CE, DE將四邊形BCEFi和ADEF2折2所示的幾何體.在圖2中，M , N分別為CD ,EF的中點(diǎn).(1)證明：MN 平面ABCD.(2)求直線CN與平面ABF所成角的正弦值A(chǔ)CC1CC1B1 60 ,

3、AC 2./)求證：AB1 CC1；(/)若AB1 J6,求平面CAB1與平面A1AB1所成的銳二面角的余弦值.7.如圖，在直二棱柱6.如圖，直三棱柱ABC AB1C1中，底面ABC為等腰直角三角形， AB BC ,AA 2AB 4, M , N分別為CG , BB1的中點(diǎn)，G為棱AA上一點(diǎn)，若 AB 平面MNG . (1)求線段AG的長(zhǎng)；(2)求二面角B MG N的余弦值.ABC A1B1C1 中，AB BC AA 1, AC 召，點(diǎn) D, E 分別為AC和B1C1的中點(diǎn).(/)棱AA上是否存在點(diǎn)P使得平面PBD 平面ABE?若存在，寫(xiě)出PA的長(zhǎng)并證明你的結(jié) 論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(/)

4、求二面角 A BE D的余弦值.8.如圖，三棱柱ABC A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，側(cè)面BCC1B1是矩形，AB AB,N是BQ的中點(diǎn)，M是棱AA1上的點(diǎn)，且AA1 CM .(1)證明：MN/平面 ABC;(2)若AB AB,求二面角A CM N的余弦值.9 .如圖，在正四棱錐 P ABCD中，AB 2, APC , M為PB上的四等分31 - 一 點(diǎn)，即BM -BP. (1)證明：平面 AMC 平面PBC ；4(2)求平面PDC與平面AMC所成銳二面角的余弦值.P ABCD的底面ABCD中，zABD為等邊三角形， VBCD是等10.如圖，四棱錐腰三角形，且頂角 BCD 120 ,

5、 PC BD,平面PBD平面ABCD, M為PA中點(diǎn).(1)求證：DM/平面PBC;(2)若PD PB ,求二面角C PA B的余弦值大小.答案第 頁(yè)，總10頁(yè)參考答案1.證明：證明：連接 ACi交AC于點(diǎn)F ,則F為AG的中點(diǎn).又d是AB的中點(diǎn)，連接DF ,則BC1 /DF .因?yàn)镈F 平面ACD ,BC1 /平面ACD ,所以BCi/平面ACD .(2)由 AA AC CB AB 72,可得：AB 2,即 AC (1)證明：連接AC交BE于H ,連接FH , BC2 AB2 2分別以直線所以AC BC又因?yàn)锳BC A1B1C1直棱柱，所以以點(diǎn) C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA、CB、CC1為x軸、y軸、

6、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C 0,0,0、A 72,0,走)、D,0、E 0,V2,unr_ uiur 2 . 2CA-CD 二 ,。UM,CEr設(shè)平面ACD的法向量為n x, y, z ,uurCDr uur0 且 n CA)0,可解得y x z,令x 1 ,得平面ACD的一個(gè)法向量為1, 1,同理可得平面A1CE的一個(gè)法向量為urm2,1, 2則cosr irn,m所以二面角D AQE的余弦值為Q AB CE, HABHCE, BHA CHA,ABH / CEH ,AH CH 且 FH / /PC , Q FH 面 FBE , PCPC/面 FBE ,(2)取 AD 中點(diǎn)。，連 PO,

7、OB.由 PA PD , PO ADQ 面 PAD 面 ABCD PO 面 ABCD ,又由 DAB 60, AD ABOB AD以O(shè)A,OB,OP分別為x, y, z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AD 211則 A(1,0,0), B(。比0), D(劃),叩0,1),丐 oyuun EBinnDAuun 1_ 1irni(0,0,1)為面BEA的一個(gè)法向量,設(shè)面uuFBE的法向量為n2(xo,yo, zo)，uuv，、EB依題后,uuuvuvuv2xo所以，平面FBE的法向量又因二面角為銳角，故二面角1一X02inn21 ，令y0 J3 ,解得4Z002_.m uu(0,66),咽”2i

8、r uun1,ur-n1n26392、,3913 F BE A的余弦值為H39.13(2,0,0) , BF (-, V3,2),3. (1)證明：連接 CF , DN ,由圖1知，四邊形BCEF為菱形，且 CEF 60 , 所以 CEF是正三角形，從而 CN EF .同理可證，DN EF ,所以EF 平面CDN .又EF/ BC ,所以BC，平面CDN ,因?yàn)锽C 平面ABCD ,所以平面CDN 平面ABCD.易知CN DN ,且M為CD的中點(diǎn)，所以 MN CD, 所以MN 平面ABCD .(2)解：由(1)可知CN 33, MN J2,且四邊形 ABCD為正方形.設(shè)AB的中點(diǎn)為G,以M為原

9、點(diǎn)，以MG, MC , MN所在直線分別為x, y, z軸，建立空間直角坐標(biāo)系 M xyz,則 A 2, 1,0 , B 2,1,0 , C 0,1,0 , N 0,0, V2 , F 1,0,72 ,uuu 所以ABuur0,2,0 , AF_ uur1,1應(yīng)，CN設(shè)平面rABF的法向量為n0,1, .2 .uuvAB0, 口2y0,UJIVAF得0,xy、2z 0,V ,n x, y, z ,由 v n拒,0,1 .設(shè)直線CN與平面ABF所成的角為所以sinuur r CN n uur r CN n,2,2、3 、33 2ABF所成角的正弦值為3所以直線CN與平面月 /（；4. (1)因?yàn)?/p>

10、 CBACBD ,所以BC，平面2因?yàn)锳D平面ABD ,所以BC AD .因?yàn)锳BBD ,點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，所以BE AD .因?yàn)锽CIBE B ,所以AD 平面BCE .因?yàn)锳D平面ACD ,所以平面 ACD 平面BCE .(2)以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC,BD分別為x軸,y軸，過(guò)點(diǎn)B與平面BCD垂直的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，則 B 0,0,00,1,、3,C 2,0,0 , D 0,2,0 ,E0療F。10,uuruuuBC 2,0,0 , BE2,1,0uurAF0,2,73 ,r設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量n%,%,乙，則v nv nuuv BC uuv BE0,0,2x10,、3

11、n 萬(wàn)40,r取 Zi1,則 Xi 0, y173,所以 n 0, 5/3,1 ,IT 設(shè)平面ACF的一個(gè)法向量 m x2,y2,z2，則vmvmULLvAF 0, LUUv 即CF 0,2 y22X23z20,y 0,取 Z22 ,則 x2 , y22J3,所以u(píng)r m,3 一T, 瓜2，設(shè)平面BCE與平面ACF所成銳二面角為則cosr LT cos： n m八30233331 2023 2 125 313122所以平面BCE與平面ACF所成銳二面角的余弦值為(/)由(/)知，oa OB1J3,又AB 而，所以O(shè)A OB1 .5.3131試題解析：（/）證明：連 AC1, CB-則VACC1

12、和VB1CC1皆為正三角形.取 CG 中點(diǎn)。，連 OA, OB，則 CC1 OA, CC1 OB ,則 CC1平面 OAB1 ,則 CC1AB1如圖所示，分別以O(shè)B1, OC1,OA為正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則 C 0, 1,0 , B1 80,0 , A 0,0,m,設(shè)平面CABi的法向量為mi xi,yi,zi ,uuuv 一因?yàn)?ABi3,0,- uuv 如,AC所以、3xi 0 yi0 Xi yi.3zi0,0,取 rmi, ,3,i面AAiBi的法向量取1,0,1 ，Tc,5 v v 貝U cos m, n平面CABi與平面AABi所成的銳二面角的余弦值i05平面MNG平面MNGA

13、BAB(i)由題意，GN設(shè)AB與GN交于點(diǎn)E,在 BNE中,可求得BE管，則ae T，可求得AG 3 ,則AG i(2)以Bi為原點(diǎn),BB方向?yàn)閤軸，BQ方向?yàn)閥軸，B1A方向?yàn)閦軸,建立空間直角坐標(biāo)系B(4,0,0) , M (2,2,0),G(3,0,2) , N(2,0,0)uuuuuurBM ( 2,2,0) , BGuiuiruuurNM (0,2,0) , NGir(i,0,2),易得平面BMG的法向量為小(2,2/).uu(i,0,2),易得平面NMG的法向量為n2(2,0, i).為銳角，所以設(shè)二面角B MGir uu cosu11 nuu|nil |n2 I即二面角B MGN

14、為，由圖可知3_53155 .5N的余弦值為組53/)存在點(diǎn)P滿(mǎn)足題意，且PA -.4證明如下：取AG的中點(diǎn)為F ,連接EF, AF, DF .則 EF/ AB/ AB,所以 AF 平面 ABE.因?yàn)锳B BC, D是AC的中點(diǎn)，所以BD AC.在直三棱柱ABC AB1C1中，平面ABC 平面ACCi ,且交線為所以BD 平面ACCi ,所以BD AF .在平面ACCi內(nèi)，空處魚(yú) PAD ADF 90 , AD DF 2所以 RtA PADRtAADF ,從而可得 AF PD .又因?yàn)?PD BD D ,所以 AF 平面PBD .因?yàn)?af 平面ABE,所以平面 PBD 平面ABE.(/)如圖

15、所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DB, DC, DF 分別為 x, y,z軸建立空間直角坐標(biāo)uuu 所以BE13uuu1 34，T，0 , AB2，芋0 , DB12，ur設(shè)平面ABE的法向量為 m (x,y,z),則有v黑 13 八m BE x y z 0,ir44ur取y 2 ,得mv uuv 13cm AB -x y 0.22r同理可求得平面BDE的法向量為n 0,4,雜,2.3,2, . 3v v貝U cosm, n8 31112一13 163 19 .1119(圖1)(圖2)由圖可知二面角 A BE D為銳角，所以其余弦值為(1)如圖1,在三棱柱 ABC AB1C1中，連結(jié)BM ,因?yàn)锽CC

16、iBi是矩形, 所以 BC BBi,因?yàn)?AA1/BB1,所以 AAi BC ,又因?yàn)锳A MC , BC MC C ,所以AAi平面BCM ,所以AA1 MB ,又因?yàn)锳B AB ,所以M是AAi中點(diǎn)，1取BC中點(diǎn)P,連結(jié)NP, AP ,因?yàn)镹是BC的中點(diǎn)，則NP/BB1且NP - BB1, 2所以NP/MA且NP MA,所以四邊形 AMNP是平行四邊形，所以 MN/AP,又因?yàn)镸N 平面ABC , AP 平面ABC ,所以MN /平面ABC .(2)因?yàn)锳B AB,所以 ABAi是等腰直角三角形，設(shè) AB J2a，則 AA1 2a, BM AM a .在 Rt ACM 中，AC V2a ,

17、所以 MC a.在 BCM 中，CM 2 BM2 2a2 BC2,所以 MC BM ,由(1)知，則 MC AA1 , BMAA ,如圖2,以M為坐標(biāo)原點(diǎn),uuuv uuuv uuuvMA，MB，MC的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則 M 0,0,0 , C 0,0,a , B1 2a,a,0 .所以NUULUf ,則MCuuuv a a a a0,0, a , MNa,2 2設(shè)平面CMN的法向量為n1x, y, z ,uuuvaz 0,皿n MC 0,則 uuuv 即 a an1 MN 0, ax y z 0.22取x 1得y2 .故平面CMN的一個(gè)法向量為 叫 1,

18、 2,0 ,因?yàn)槠矫鍭CM的一個(gè)法向量為 及 0,1,0 ,因?yàn)槎娼茿 CM N為鈍角，所以二面角A CM N的余弦值為 R5 .5(1)由 AB 2 AC 272由 APC PA PC AC 2 2 3 TOC o 1-5 h z 一一一 一.一33 因?yàn)槭钦乃箦F，故pb PD PA PC 272于是BM ，PM -V2 22由余弦定理，在zPAB中，設(shè)APBPA2712AM2 MB24 AB22 2 PB2 AB23cos 一2PA PB 4再用余弦定理，在 4PAM中，2_ 2_2 7AM PA PM 2PA PM cos 二2A AMB是直角，AM PB同理CM PB ,而PB在平

19、面PBC上,/平面AMC 平面PBC(2)以D為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖：則 D(0,0,0), C(2,0,0), A(0,2,0), P(1,1, 6), B(2,2,0)設(shè)面pdc的法向量為nr, amc的法向量為n2ur則n1uurPDuuirDC(0,2,6, 2) TOC o 1-5 h z uu uuu uu uur一n2/PB,取 n2 PB (1,1,76)ur ur于是，二面角 的余弦值為：cosIn1 n2u21m | |n217(1)證明：設(shè)AB中點(diǎn)為N ,連接MN、DN ,QVABD為等邊三角形，DN AB,Q DC CB, DCB 120,CBD 30 ,ABC 603090 ,即 CB AB,Q DN AB ,DN /BC,Q BC 平面 PBC , DN 平面 PBC ,DN /平面 PBC ,Q MN為PAB的中位線，MN /PB ,Q PB 平面 PBC , MN