八 特征根和特征相量

1、I三I三三第八章特征根和特征向量許多工程問(wèn)題可歸結(jié)為求解特征根、征向量問(wèn)題。設(shè)4為n階方陣，x g Rn 3。0), 若有人使如=*，則稱人為A的特征值，x為相應(yīng)的特征向量。有關(guān)求解包括：一是求特征值入，滿足中0) = det(A-Z) = 0，二是求特征向量x g Rn (x。0)，滿足(A -XI)x = 0。稱中(入)為A的特征多項(xiàng)式。定義1設(shè)矩陣A, BGRnxn，若有可逆陣已使B = P-1 AP，則稱A與B相似。定理 若矩陣A, BGRnxn且相似，則(1)A與B的特征值完全相同；(2)若x是B的特 征向量，則Px便為A的特征向量。定理設(shè)AGR nxn具有完全的特征向量系，即存在n

2、個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量構(gòu)成Rn的一X1X組基底，則經(jīng)相似變換可化A為對(duì)角陣，即有可逆陣P，使P-1 AP = D =2.，Xn其中X,.為A的特征值，P的各列為相應(yīng)于的特征向量。定理AgR nxn，X1,，Xn為A的特征值，則(1)A的跡數(shù)等于特征值之和，即 tr (A)三Ea = X，(2)A的行列式值等于全體特征值之積，即det( A) = XX . X。iii1 2 ni=1i=1乘幕法乘幕法用于求大型稀疏矩陣的主特征值寺點(diǎn)是公式簡(jiǎn)單計(jì)算公式為:設(shè)AGRnxn， 取初始向量GRn，令x,= Axk -1形成迭代序列X。設(shè)A = (ajj)nxn有完全的特征向量系，且X X2,，Xn為A的n

3、個(gè)特征值，滿足 |X1| |XJ|Xn|，七,土,匕為相應(yīng)的特征向量且線性無(wú)關(guān)，構(gòu)成Rn上的一組基底。對(duì)任取初始向量x。g Rn，令 =Ea*，其中a,，為展開(kāi)系數(shù)。于是 j=1=Ak & vj=1=Ea (Akv )。利用 Akv =Xkv 得x =Ea Xkv。如果 A 有唯j jj j j kj j j主特征值 ，即|XJ|X2| ， 設(shè) X1 豐 0 有j =1j =1X = Xk k 1=Xk (a v + s其中s k = Y a.j=2(X 丫X i XX. .可分情況討論。定理 設(shè)A 林有完全特征向量系，X1, X2,Xn為特征值且滿足|XJ |XJ . |Xn|,對(duì)任取初始向量X。eRn，乘幕公式Xk+1= Axk確定的迭代序列(Xk，則有收斂速度取決于X2 / xjxk j】的第個(gè)分量=人.x的第i個(gè)分量1，kkxkx(k)/x (Fx(k)/x(k-i0(1,0)11221(0.25,0.2)2(0.10250, 0.083333)0.410.416653(0.042292, 0.034389)0.416650.412674(0.017451,0.014190)0.412600.41263例求矩陣A的按模最大的特征值A(chǔ) =(:k 5+)：。取 x