專題最短路徑求最值問題

1、專題最短路徑求最值問題最短路徑，求最值問題，已知都是考試的高頻考點，而且求最值問題的各種變式題型特 別多，但是不管怎么變，不外乎兩個常用的性質(zhì)定理 ：一個是，兩點之間線段最短。 二個是, 垂線段最短。其實大多數(shù)求最值的問題，都是把看似復(fù)雜的問題， 通過轉(zhuǎn)化成簡單的常見問題，在用這兩個定理來解決。今天總結(jié)了這么13個模型，大家可以保存，轉(zhuǎn)發(fā)，打印下來。 我們可以一起探討，相互學(xué)習(xí)。比如將軍飲馬問題，比如造橋選址問題，比如費馬點，比如 圓外任意一點到圓的最近和最遠(yuǎn)問題。在這13個模型之后詳解之后，還附有 30到常見考試題型，最后有參考答案。求最值（最短路徑問題）13個模型30道培優(yōu)考題.如圖，在直

2、線上取一點 P使得PA+PB最小施接AB與直線交于點P即可.兩點異側(cè)：.將軍飲馬問題：如圖，在直線上取一點 P使得PA+PB最??？作點B關(guān)于直線的對稱點 B,連 接AB與直線交于點P即可.兩點同側(cè)：.如圖，在直線上取一點 P使得|PA-PB|最大？連接AB并與直線交于點 P即可。兩點同側(cè)： TOC o 1-5 h z AA*、*、3、/ *1 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document /P.如圖，在直線上取一點 P使得|PA-PB|最大？作點B關(guān)于直線的對稱點 B連接AB并與直線 交于點P即可。兩點異側(cè)：AA*/ .B*.點A在/ 0的內(nèi)部，在角的兩邊

3、上分別取兩個點M、N使得AAMN的周長最?。糠謩e作點A關(guān)于角兩邊的對稱點 A, A。連接AA,并與角的兩邊分別交于點M,N即可.點A, B如圖所示，在兩條直線上分別取兩個點P Q使得AP+PQ+QB最?。窟B接AB并與兩條直線分別交于點 P Q即可.點A, B如圖所示，在兩條直線上分別取兩個點P, Q使得AP+PQ+QB最??？作點A的對稱點A,連接AB并與兩條直線分別交于點P, Q即可.AP _LVA Q一一 一X.點A, B如圖，在兩條直線上分別取兩個點P, Q使得AP+PQ+QB最?。糠謩e作點A, B的對稱點A, B,連接AB并與兩條直線分別交于點P, Q即可.4 方老 i然K ! z彳8(

4、4* / I獷第8種情況常見的變形.點A的位置如圖所示，點B是水平直線上的一個動點，點 P在另外一條直線上，如何確定點P與B的位置，使得 AP+PB最??？過點A作垂線段 AB垂直于水平的直線，垂足為 B, AB 與另一直線的交點 P即為所求。第9種情況常見變形：還有如下圖的變形.當(dāng)點A位于兩直線之間時，先作點 A的對稱點，再作垂線段即可.如圖，點A、B位于直線的上方， 點C D在直線上且 CD長度等于定值a,如何確定點C、D的位置使得 AC+BD最??？以A、C、D為邊構(gòu)造平行四邊形 ACDA；并作點B的對稱點B,連接AB,與直線交于點D即可確定CD的位置。.造橋選址問題：分別以兩條平行的直線代

5、表一條河的兩岸，河兩岸分別是 A村和B村，現(xiàn) 在準(zhǔn)備在河上修座橋 MN （橋垂直河岸），問修在哪個位置， 從A村到B村的路程最短？做平行四邊形AMNC,連接NG交直線于N,點N就是修橋的位置.如圖，/ BOC=90 , ABC的兩個頂點 B, C分別在 OB和0c上，求 OA的最大值？ 取BC的中點M,分別連接 0M, AM。當(dāng)A, M, 0三點共線?連接OP,交00于點A,此時時，OA最大。.在O0外有一點P分別求出P點到00上距離最近和最遠(yuǎn)的點PA是最小值;（反向延長PO,交00于點B此時PB就是最大值.）2. （2015綏化中考）如圖，在矩形 ABCD中，AB=10, BC=5若點M,

6、N分別是線段 AC, AB.上的兩個動點，求BM+MN的最小值.“4.如圖，點P是邊長為1的菱形ABCD對角線AC上一個動點，點 M, N分別是AB, BC邊上的中點，PM+PN的最小值是5.已知，矩形 ABCD, AB=3,AD=4點P在AD邊上移動，點 Q在BC邊上移動，求BP+PQ+QD的最小值是 課后鞏固練習(xí)20題（常見考題）1.如圖，在 RtABC中，/ACB=90 ,AC=6, BC=8, AD/ BAC的平分線，若P,Q分別是AD和AC上的動點，求 PC+PQ的最小值.6.如圖，RtABC中，AB_ LBC, AB=6, BC=4,謔 ABC內(nèi)部的一動點，且滿足/ PAB=/ P

7、BC, 求線段CP長的最小值.7.如圖，在矩形 ABCD中，AB=3, AD=4,點E是邊BC的中點，連接 AE,與對角線 BD交于點F點M是AD邊上的一個動點，連接 MF、MC,則MF+MC的最小值為 3. （2016貴陽）如圖，正方形 ABCD的邊長為4,點M在邊DC上，且DM=1, N為對角線 AC上任意-一點，求DN+MN的最小值.j11.在 RtMBC 中,Z ACB=90 , / A=22.5BC=4, D為AB垂直平分線與 AC的交點，P為.如圖，正方形 ABCD的邊長為15,點E在CD上，CE=3點F是直線 AD.上不與 A、D 重合的一個動點，將 DEF沿EF折疊，使點D落在

8、點G處，則線段BG的最小值為.如圖，菱形 ABCD的邊長為3, / BAD=60 ,點E、F在對角線 AC .上，點E在F 的左側(cè)，且 EF=1求DE+BF的最小值是_. （2018廣東深圳期末）如圖，直線y=x+2與兩坐標(biāo)軸分別交于 A、B兩點，點C 是0B的中點，D、E分別是直線 AB和y軸上的動點，則ACDE周長的最小值是 _.AB上的動點，連接 PD PC求PD+PC的最小值.如圖，RtABC中，Z ACB=90 ,AC=3, BC=4, D是斜邊 AB的中點，E、F分別是直線AC、BC上的動點，/ EDF=90 ,則線段EF長度的最小值是3.如圖，在菱形 ABCD中，AB=6,/B=

9、60 ,點 G是邊CD邊的中點，點 E、F分別是 AG、AD上的兩個動點，則 EF+ED的最小值是 .如圖，在菱形 ABCD中，/ ABC=60 , AB=2,點P是這個菱形內(nèi)部或邊上的一點， 若以點P、B、C為頂點的三角形是等腰三角形，則 P、D （P、D兩點不重合）兩點間的最 短距離為.如圖，四邊形 ABCD中，Z 0=50，/B=/D=90 , E、F分別是 BC DC上的點,當(dāng)4AEF的周長最小時，/ EAF的度數(shù)為.如圖，在菱形 ABCD中，Z BAD=120 , E、F分別是邊 AB和BC的中點，AC=4, 點P為對角線AC上一動點，則PE+EF的最小值為.如圖，在等腰梯形 ABC

10、D中，上底 AD=2,Z BCD=6（J ,對角線 AC平分/ BCD, E、F分別是底邊 AD、BC的中點，連接 EF點P是EF上的任意一 點，連接PA PB則PA+PB的最小值為. （2018山東濱州）如圖，/ AOB=60 ,點P是/ AOB內(nèi)的定點，且 0P= 43 ,若點M、N分別是射線0A、0B上異于點0的動點，則 PMN周長的最小值是.如圖，在矩形 ABCD中，AB=4, AD=6, E是AB邊的中點，F(xiàn)是線段BC邊上的動 點，將 EBF沿EF所在直線折疊得到 EBF連接BD,則BD的最小值是 .如圖，邊長為10的等邊 ABC的頂點A、B分別在x軸正半軸和y軸正半軸上運(yùn) 動，則動

11、點C到原點0的距離m的取值范圍是 .如圖,四邊形ABCD四個頂點的坐標(biāo)分別為 A(1,3), B(m, 0), C(m+2, 0), D(5, 1), 當(dāng)四邊形ABCD的周長最小時，m的值為.如圖，/MON=20 ,A、B分別為射線 OM、ON上兩定點，且0A=2, 0B=4,點P、Q分別為射線0M、ON兩動點，當(dāng)P、Q運(yùn)動時，線段AQ+PQ+PB的最小值是().如圖，點P是等腰直角三角形 ABC內(nèi)一動點，AB=243，求PA+PB+P必最小值.如圖，在4ABC中，/ACB=90 , AC=8, BC=6,P是直線AB.上的動點(不與點B 重合)，將 BCP沿CP所在的直線翻折，得到 BC選接

12、B A,B A長度的最小值是 m,B A長度的最大值是n,則m+n的值等于上.如圖，矩形 ABCD邊AD上有一動點 F在矩形內(nèi)部有一動點 E, AB=6, BC=10求 BE+CE+EF勺最小值.P.如圖，矩形 ABCD中，AB=2, BC=3以A為圓心，1為半徑畫 A,E 上-一動點，P是BC上一動點，求 PE+PD的最小值.如圖，點P是/ AOB內(nèi)任意-一點，0P=5cm,點M和點N分別是射線 OA和射線OB上的動點，若 PMN周長的最小值是 5cm,則/AOB的度數(shù)是.如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足 AE=DF連接CF交BD于點G,連接BE交AG于點H.若正方形的邊長為 2,則線段DH長度的最小值是.如圖，在 RtAOB中，0A=0B=2r2,0的半徑為1,點P是AB邊上的動點，過點作0的一條切線PQ（Q點為切點），則切線長PQ的最小值為.如圖，在正方形 ABCD中，AB=4, E是BC邊的中點，F(xiàn)是CD邊上的一點，且 DF=1若M、 N分別是線段AD、AE上的動點，則MN+MF的最小值