物理奧賽：力學(xué)物體的平衡31-優(yōu)質(zhì)課件

1、第三專(zhuān)題 物體的平衡解題知識(shí)與方法研究疑難題解答研究例題6例題7例題8一、兩種常見(jiàn)的約束三、靜摩擦角的應(yīng)用二、利用對(duì)稱(chēng)性確定力的方向四、多摩擦點(diǎn)何處“打滑”的確定1、光滑鉸鏈1-1、概念：使物體上的一點(diǎn)保持不動(dòng)的一種約束. 1-2、分類(lèi)：為柱鉸鏈和球鉸鏈兩種.一、兩種常見(jiàn)的約束解題知識(shí)與方法研究圖1、圖2為柱鉸鏈，圖3為球鉸鏈.鉸鏈實(shí)例：1-3、性質(zhì):（1）光滑鉸鏈與物體間 的作用力 (彈力)通過(guò)鉸鏈的中心（“銷(xiāo)”心或球心）物體繞鉸鏈自由轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)例：鉸鏈的施力與受力實(shí)例：受力施力施力受力受力施力（2）物體可繞柱鉸鏈無(wú)摩擦地在二維平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng), 可繞球鉸鏈無(wú)摩擦地在三維 空間自由轉(zhuǎn)動(dòng). 2、連桿

2、2-1、概念：一根輕桿，其兩端分別用光滑鉸鏈和兩物體相連，僅可兩端受力.2-2、性質(zhì)：（1）無(wú)論靜止還是運(yùn)動(dòng)，其兩端受力必為一對(duì)平衡力，方向沿桿長(zhǎng)方向.（2）通過(guò)連桿，只能沿桿長(zhǎng)方向向其他物體施力.連桿實(shí)例：連桿施力你能不能證明這一性質(zhì)？連桿受力 例1 如圖所示的水平放置的由五根輕桿和一個(gè)拉力器構(gòu)成的正方形框架. A、B、C、D四處由鉸鏈連接，AC桿和BD桿交匯處不連接. 如果調(diào)解拉力器，使它產(chǎn)生拉力為T(mén)，問(wèn)：各桿受到的力是拉力還是壓力？各力的大小等于多少？解AB桿：AD桿：對(duì)鉸鏈A的拉力TAB(=T)必然水平向右.對(duì)鉸鏈A的力不能是向上的壓力，只能是向下的拉力TAD. AC桿：對(duì)鉸鏈A只能是

3、壓力TAC，方向沿CA.進(jìn)而可得到根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知：BD桿：對(duì)鉸鏈B的壓力TBD=TAC=T,方向沿DB.DC桿：對(duì)鉸鏈D的拉力TDC=TAB=T,方向向右.BC桿：對(duì)鉸鏈B的拉力TBC=TAD=T,方向向下. 要使AB和AD桿的合力T(AB、AD)與TAC反向且等大，必須ABDC 例2 四個(gè)質(zhì)量相同的小球A、B、C、D用相同長(zhǎng)度的輕質(zhì)剛性細(xì)桿光滑鉸接成一個(gè)菱形，開(kāi)始時(shí)菱形為正方形，在光滑的水平面上沿著對(duì)角線(xiàn)AC方向以速度v作勻速運(yùn)動(dòng).如圖所示，在它前方有一與速度方向垂直的粘性固定直壁，C球與其相碰后立即停止運(yùn)動(dòng). 試求碰后瞬間A球的速度vA. vABDC解碰后瞬間各球的運(yùn)動(dòng)如圖.設(shè)碰撞中C球所

4、受的沖量為I，則對(duì)整個(gè)系統(tǒng)由動(dòng)量定理得A、B、D球的速度有關(guān)系將 代入化簡(jiǎn)得設(shè)碰撞時(shí)C球受到DC、BC桿的沖量為I.對(duì)C球由動(dòng)量定理得即ABDC BC桿、DC桿同時(shí)對(duì)B、D球也有沖量I. 即由、式 題后思考此結(jié)果有點(diǎn)意外，該如何解釋?（或D）球，在BC（或DC）方向上由動(dòng)量定理有對(duì)B便可解出二、利用力學(xué)平衡系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性確定力的方向 例 如圖，三根不光滑的質(zhì)量、形狀完全相同的桿對(duì)稱(chēng)的架立在水平不光滑地面上. 試確定各桿受其他桿的作用力的方向？你認(rèn)為是哪種情況？為什么？對(duì)稱(chēng)：系統(tǒng)的某種屬性、狀態(tài)經(jīng)某種操作（或變換）后能保持不變，便稱(chēng)系統(tǒng)的這種屬性、狀態(tài)對(duì)此操作（或變換）具有對(duì)稱(chēng)性（或者說(shuō)是對(duì)稱(chēng)

5、的）.三力斜向上三力斜向下三力水平A 例3 圖5所示的機(jī)構(gòu)由兩長(zhǎng)兩短的四根輕桿通過(guò)光滑鉸鏈連接而成, 四根桿的尺寸已在圖中標(biāo)出. 機(jī)構(gòu)豎放在光滑水平面上. W和P、P 為所加的外力, 求： （1）平衡時(shí) 與 的關(guān)系; （2）鉸鏈O對(duì)所連接的兩桿的作用力.BCONN 如圖，AB桿為二力輕桿，其A端受力FA、沿AB方向，B端受力FB沿BA方向.于是有解（1）分解W得BE桿的B端受力 與 為作用與反作用力，由 得即FB故BE桿是不是二力連桿？研究AB桿：研究BE桿：能否判斷鉸鏈O對(duì)連接的兩桿的作用力的方向？對(duì)整個(gè)機(jī)構(gòu)，由 得由 解得（2）據(jù) 對(duì)稱(chēng)性可知鉸鏈O對(duì)BE桿的作用力沿水平方向.由 知方向向右

6、.鉸鏈O對(duì)CD桿的作用力大小為方向水平向左. 題后總結(jié)與思考綜合利用了對(duì)稱(chēng)性分析和連桿的性質(zhì)假定FBE傾斜，進(jìn)行計(jì)算，看看結(jié)果？ABCONNFBEFB三、靜摩擦角的應(yīng)用1、靜摩擦角的概念1-1、定義：1-2、幾何意義：最大靜摩擦力fm和正壓力N 的合力與接觸面法向夾角.Nf（即全反力R與接觸面法向的最大夾角) 全反力2、用靜摩擦角解題有時(shí)較簡(jiǎn)便fmR1-3、重要性質(zhì)靜摩擦角的大小取決于兩接觸面的性質(zhì)！物體靜平衡時(shí)物體滑動(dòng)時(shí) 例4 如圖所示，有一長(zhǎng)為l，重為W0的勻質(zhì)桿AB，A端頂在豎直的粗糙墻壁上，桿端與墻壁的靜摩擦系數(shù)為0 , B端用一強(qiáng)度足夠而不可伸長(zhǎng)的輕繩懸掛，繩的另一端固定在墻壁的C點(diǎn)

7、. 桿呈水平狀態(tài)，繩與桿的夾角為. （1）求桿能保持平衡時(shí)0與應(yīng)滿(mǎn)足的條件; （2）桿保持平衡時(shí)，桿上有一點(diǎn)P存在：若在P點(diǎn)與A點(diǎn)之間的任一點(diǎn)懸掛一重物，則當(dāng)重物的總量W足夠大時(shí)總可以使平衡被破壞; 而在P點(diǎn)與B點(diǎn)之間的任一點(diǎn)懸掛任意重量的重物，都不能使平衡破壞. 求出這一點(diǎn)P與A點(diǎn)的距離.解一（摩擦角方法）（1）TABCW0由力的平衡條件及對(duì)稱(chēng)關(guān)系知RNf既然桿能保持平衡，所以應(yīng)有即桿未掛重物時(shí)受力如圖你能否準(zhǔn)確確定R的方向？ ABCTW0（2）桿掛上重物W時(shí)研究重物掛在何處能使1、R和N的夾角 0 2、R和N的夾角0P作出墻壁和桿間的靜摩擦角0 =BAD.又作DP AB，所得交點(diǎn)P 即為所

8、求. 若重物W掛在P、B之間：WWDD2W2W1D1RR無(wú)論W多大，均有0.若重物W掛在P、A之間：當(dāng)W足夠大時(shí)，就能使0.由幾何關(guān)系得由此解得W解二（分析法）ABCW0掛上重物W（W可以為零）后，桿受力如圖由于桿未滑動(dòng)，故由 、 消去T得：TfWNPd由 、 消去f 得：將、代入得：按W、W0整理后得：通過(guò)討論W 和 d 對(duì)此式的影響來(lái)回答問(wèn)題：（1）若不掛重物（W=0）：則有所以（2）在成立時(shí)掛重物（W0)：此時(shí)式左端、此時(shí)只要式右端的則無(wú)論W多大，式均成立.ABCTW0fWNPd于是得、此時(shí)如果式右端的則當(dāng)W足夠大時(shí)，可使不成立.于是得綜上可知： 題后總結(jié)本題用“摩擦角法”較簡(jiǎn)單；但當(dāng)多

9、點(diǎn)摩擦?xí)r一般更適合“分析法”.ABC1、實(shí)例 判斷何接觸處的靜摩擦力先達(dá)到最大：2、處理的方法四、多摩擦點(diǎn)何處“打滑”的判斷假定一處?kù)o摩擦力達(dá)到最大根據(jù)平衡條件計(jì)算他處的摩擦力與他處的最大靜摩擦力比較大小 例5 有一木板可繞其下端的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸位于一豎直墻上，如圖所示. 開(kāi)始時(shí)木板與墻面的夾角為15，在夾角中放一正圓柱形木棍，截面半徑為r，在木板外側(cè)加一力F使其保持平衡，在木棍端面上畫(huà)一豎直向上的箭頭. 已知木棍與墻面之間和木棍與木板之間的靜摩擦系數(shù)分別為1=1.00, 2= 若板緩緩地減小所加的力F，使夾角慢慢張開(kāi)，木棍下落. 問(wèn)當(dāng)夾角張到60時(shí)，木棍端面上的箭頭指向什么方向？解當(dāng)F逐漸

10、減小時(shí)，板、墻給棍的摩擦方向如何，大小如何變化？判 斷當(dāng)壓力減小到一定程度，棍受力如圖.要使棍與墻接觸點(diǎn)先滑，則此時(shí)有而將 代入得由得由 兩式得此式成立則左邊先滑.設(shè) 取臨界角0時(shí)有將1、 2值代入，有解出當(dāng)1530時(shí)不成立: 當(dāng)30 30時(shí)，此時(shí)棍兩側(cè)均達(dá)到最大靜摩擦.由上式展開(kāi)討論：即左側(cè)達(dá)最大靜摩擦?xí)r而右側(cè)未達(dá)到（如圖1）.此時(shí)棍右滾左滑.（3）當(dāng)30時(shí)，即實(shí)際上左側(cè)尚未達(dá)到最大靜摩擦?xí)r而右側(cè)早已達(dá)到（如圖2）.此時(shí)棍左滾右滑.進(jìn)一步可求得棍截面上的箭頭轉(zhuǎn)動(dòng)的角度.三非平行力R1、 R2、當(dāng)棍左側(cè)達(dá)到最大靜摩擦?xí)r，mg共點(diǎn)于D.如圖1.考慮全反力（代替壓力和摩擦力） . 題后總結(jié)與思考兩

11、接觸點(diǎn)交替打滑是本題的特點(diǎn)和難點(diǎn)；本題用“摩擦角法”不及“分析法”清晰；、在原題條件下，若F逐漸增大，會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象；、在什么條件下棍會(huì)“自鎖”？ 例6 如圖所示，平而薄的勻質(zhì)圓板放在水平桌面上，圓板繞著過(guò)中心O的豎直軸旋轉(zhuǎn)，O相對(duì)桌面做水平運(yùn)動(dòng). 如果圓板與桌面的摩擦系數(shù)處處相同，試證明圓板所受摩擦力的合力方向必與O的運(yùn)動(dòng)方向相反.Ov0 證明圓板視為由很多面積相等的微小面元組成. 如果圓板中存在速度方向滿(mǎn)足圖中關(guān)系的兩個(gè)小面元S和S，此兩面元所受的摩擦力的合力方向與v0的方向關(guān)系怎樣？SS在圓板中究竟有沒(méi)有這樣的兩個(gè)小面元？ 由于圓的對(duì)稱(chēng)性，在A處選定S后， S可能應(yīng)在B、C、D處選擇？！

12、SOv0 xySSS疑難題解答研究xyOABCDv0rvAv0rvBv0rv0rvCvDv0 如圖，將S 選在與A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) B處，若將S 選在C處，則S應(yīng)選在D處. 小面元S、 S 所受摩擦力f、f 的合力與v0方向相反.fE、HHrv0但板轉(zhuǎn)動(dòng)較快（較大）時(shí)，是否在圓板上任選一面元都能在圓板上別處選出另一面元使二者的摩擦力的合力與v0的方向相反？yxoEHfF、GfE、H注意到此時(shí)E、H關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)面元F、G，二者所受摩擦力的合力fF、G仍必將與v0反向. 當(dāng)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)面元E、H所受摩擦力的合力與v0同向時(shí)，便能在圓板上選出E、H關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)面元F、G，使四者所受摩擦力的合力

13、方向與v0的方向相反. 如圖，由速度合成的平行四邊形的幾何關(guān)系有所以由此可知FG綜上可知，在圓板上任選一小面元： 若該面元的速度方向與v0的方向夾角 90，則能在圓板的另處對(duì)應(yīng)地選出另一個(gè)小面元，使 二者所受的摩擦力的合力與v0方向相反.（等于90時(shí)合力為零） 若該面元的速度方向與v0的方向夾角 90，則能在圓板的另處對(duì)應(yīng)地選出另三個(gè)小面元，使 四者所受的摩擦力的合力與v0方向相反.Ov0如此不重復(fù)、不遺漏地選遍整個(gè)圓板，即知圓板所受摩擦力合力與v0方向相反. 題后思考對(duì)于正方形的、長(zhǎng)方形的、橢圓形的薄板，還有此結(jié)論嗎？研究板上哪些區(qū)域的點(diǎn)部位所受的摩擦力的沿v0方向的分量與v0反向？ 例7

14、如圖, 在傾角為 的面積足夠大的粗糙斜面上，有一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，被一根輕彈性繩拴住，繩的另一端固定在斜面上O點(diǎn). 彈性繩的形變服從胡克定律. 繩原長(zhǎng)為L(zhǎng)，勁度系數(shù)為k . 斜面與質(zhì)點(diǎn)間的靜摩擦系數(shù)為. 試確定質(zhì)點(diǎn)在斜面上可靜止的區(qū)域(用曲線(xiàn)方程表示）.fNGTOzyx解建立Ox y z 坐標(biāo).質(zhì)點(diǎn)受力如圖， 質(zhì)點(diǎn)的平衡方程所確定的坐標(biāo)（x, y) 滿(mǎn)足的區(qū)域即為質(zhì)點(diǎn)靜止的區(qū)域. 由于當(dāng)質(zhì)點(diǎn)距O的距離小于L時(shí)繩沒(méi)有張力，故將x-y平面分成兩個(gè)區(qū)域研究：而張力還應(yīng)滿(mǎn)足進(jìn)一步研究利用這些式子找出（x, y）滿(mǎn)足的方程?。?）由：由 ：所以將代入得：將代入得：將、代入得：fNGTOzyx（2）而上述

15、式也是在滿(mǎn)足此兩式的情況下得出的.最終可知，曲線(xiàn)所圍的區(qū)域都是質(zhì)點(diǎn)的靜止區(qū)域.此區(qū)域的具體形狀與的取值有關(guān).僅需滿(mǎn)足OzyxfNGOK 例8 五根質(zhì)量與長(zhǎng)度均相同的勻質(zhì)細(xì)棒用質(zhì)量與線(xiàn)度均可忽略不計(jì)的光滑鉸鏈兩兩首尾連成一個(gè)五邊形. 今將其一個(gè)頂點(diǎn)掛在天花板下.試求平衡時(shí)此五邊形的五個(gè)頂角. 又若在最下邊的細(xì)棒的中點(diǎn)再懸掛一重物，能否使五根細(xì)棒構(gòu)成一個(gè)等腰三角形？解設(shè)每根棒質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l.TTTmgmg隔離研究左邊兩棒的受力情況：將二者的鏈接處的受力進(jìn)行分解，其受力如圖所示.對(duì)左邊上面的棒：對(duì)左邊下面的棒：又由幾何關(guān)系得將此三方程簡(jiǎn)化為只需求出圖中的1、 2即可T由、 兩式得即代入化簡(jiǎn)后，令利用計(jì)算器進(jìn)行一元高次方程的逼近求解將此三方程簡(jiǎn)化為OKTTTmgmgT0.1 0.2 0.15 0.17 0.171 0.1715 0.5 -0.24 0.16