3.2 均值不等式1

1、均值不等式的應(yīng)用 “1”的妙用學(xué)情分析：（1）從學(xué)生知識(shí)層面看：學(xué)生對(duì)均值定理的內(nèi)容和應(yīng)用已經(jīng)有了一定的了解和體會(huì)，在探究學(xué)習(xí)和應(yīng)用知識(shí)的過(guò)程中，能夠解決常見(jiàn)的利用均值定理求最值等問(wèn)題。（2）從學(xué)生素質(zhì)層面看：所任班級(jí)的學(xué)生已經(jīng)具有較好的邏輯思維能力，能夠獨(dú)立完成有關(guān)均值定理應(yīng)用方面的常見(jiàn)問(wèn)題。有較好的表達(dá)能力，合作交流能力，知識(shí)探究能力。教學(xué)內(nèi)容分析：本節(jié)課均值定理的應(yīng)用“1”的妙用是數(shù)學(xué)必修五（人教B版）第三章第二節(jié)的內(nèi)容，作為第三課時(shí)，它的主要目的是通過(guò)具體問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，得出“1”的妙用的形式，進(jìn)而利用均值定理解決。均值定理作為本章的核心內(nèi)容，對(duì)于不等式的證明及利用均值

2、定理求最值等應(yīng)用問(wèn)題都起到了工具性作用，特別是本節(jié)課的內(nèi)容，新穎，靈活，可以很好地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。有利于學(xué)生對(duì)后面不等式的證明及前面函數(shù)的一些最值、值域進(jìn)一步拓展與研究，起到承前啟后的作用。教學(xué)目標(biāo)：依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)與認(rèn)知水平，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：知識(shí)與技能：通過(guò)學(xué)習(xí)，使學(xué)生深刻理解均值定理的內(nèi)容明確均值定理的使用條件，能夠熟練利用均值定理解決最值等問(wèn)題，做到活學(xué)活用，觸類(lèi)旁通。過(guò)程與方法：通過(guò)情境設(shè)置培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的習(xí)慣；引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)問(wèn)題設(shè)計(jì)，模型歸納，類(lèi)比猜想實(shí)現(xiàn)定理的更好應(yīng)用，體會(huì)知識(shí)與規(guī)律的形成過(guò)程；通過(guò)模型對(duì)比，多個(gè)角度、多種方法求解，拓寬學(xué)生的

3、思路，優(yōu)化學(xué)生的思維方式，提高學(xué)生綜合創(chuàng)新與創(chuàng)造能力。情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)問(wèn)題的設(shè)置與解決使學(xué)生較深刻地理解數(shù)學(xué)模型建立的重要性，培養(yǎng)學(xué)生迎難而上的學(xué)習(xí)精神，同時(shí)通過(guò)學(xué)生自身的探索研究，領(lǐng)略獲取新知的喜悅。教學(xué)重點(diǎn)：均值定理中“1”的妙用教學(xué)難點(diǎn)：“1”的妙用模型的建立以及轉(zhuǎn)化變形教學(xué)策略選擇與設(shè)計(jì)： 本節(jié)課主要采用啟發(fā)引導(dǎo)式的教學(xué)策略.通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題回顧所學(xué)知識(shí)，通過(guò)引導(dǎo)，對(duì)比，歸納，建模，拓展，鞏固等環(huán)節(jié)讓學(xué)生領(lǐng)悟新知的形成過(guò)程和探究方法，增強(qiáng)學(xué)生的探究能力。教學(xué)資源與手段：學(xué)案、多媒體課件。創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，鞏固所學(xué)；學(xué)生板演講解，提高學(xué)生思維能力與表達(dá)，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)交流。題目

4、難度層層遞進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生迎難而上的勇氣。小組討論交流，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作精神。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)：情景激疑：設(shè)為正數(shù)，則的最小值為（ ）某同學(xué)的解法：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立。所以最小值為8。問(wèn)題：這種解法正確嗎？如果不正確，說(shuō)明理由。其中運(yùn)用了我們前面學(xué)習(xí)過(guò)的那些知識(shí)？學(xué)生回答：（1）不正確，要使結(jié)論成立，必須同時(shí)滿足和，而當(dāng)時(shí)，不能同時(shí)成立。（2）均值定理當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。使用條件：一正、二定、三相等變形公式：（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。積定和最小（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。和定積最大設(shè)計(jì)意圖：情景設(shè)置，檢驗(yàn)學(xué)生所學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，同時(shí)，回顧所學(xué)知識(shí)，加深知識(shí)理解

5、和識(shí)記。知識(shí)回顧：1、均值定理：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。使用條件：一正、二定、三相等2、變形公式：（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。積定和最?。?），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。和定積最大設(shè)計(jì)意圖：回憶所學(xué)知識(shí)，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的記憶。典例初探：教師展示例1：已知，則的最小值為 。學(xué)生讀題，教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目問(wèn)題：與前面所學(xué)的題目有哪些區(qū)別？學(xué)生回答：已知中沒(méi)有給定的定值，沒(méi)有均值定理的形式出現(xiàn)。教師板書(shū)問(wèn)題：，是怎么出現(xiàn)的？學(xué)生回答：是將變成，之后代入。問(wèn)題：接下來(lái)應(yīng)該如何進(jìn)行？學(xué)生回答：展開(kāi)，可以出現(xiàn)均值定理形式，運(yùn)用均值定理求解。解：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立。所以最小值是16。設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生

6、對(duì)比前面所學(xué)，歸納總結(jié)新知，強(qiáng)調(diào)“1”的妙用的數(shù)學(xué)模型的建立過(guò)程和運(yùn)用規(guī)律。培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)探究和總結(jié)能力。教師展示：變式1：（2014河南）設(shè)正實(shí)數(shù),滿足，則 的最小值 。一學(xué)生板書(shū)，并講解。其他學(xué)生在學(xué)案上完成解：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立。所以，最小值是1教師總結(jié):首先，“1”的妙用不僅僅局限于數(shù)字“1”本身，也試用于其他數(shù)字，甚至是某些表達(dá)式。其次，“1”的代入不僅可以乘在式子前后，也可以代入所求表達(dá)式。最后，均值定理使用條件中三相等必須得出x，y的結(jié)果值。設(shè)計(jì)意圖：以學(xué)生為主體，培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)探究能力，語(yǔ)言表達(dá)能力，促進(jìn)學(xué)生間的知識(shí)交流，形成良好的學(xué)習(xí)素養(yǎng)。教師展示：例2：若，且，求的最大值

7、是 。學(xué)生讀題問(wèn)題：與前面的例1有什么區(qū)別和聯(lián)系？原因是什么？學(xué)生回答：變成求和的最大值，因?yàn)榍懊嬉阎谐霈F(xiàn)了。教師引導(dǎo)學(xué)生思考一學(xué)生發(fā)言，教師板書(shū)。解:當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)，等號(hào)成立。所以最大值是2。教師總結(jié)：注意均值定理的使用條件以及不等式變號(hào)后對(duì)所求最值的影響。設(shè)計(jì)意圖：本題改變已知中x，y的符號(hào)，即改變均值定理的使用條件，能夠很好地考察學(xué)生的變式能力，養(yǎng)成活學(xué)活用，觸類(lèi)旁通的學(xué)習(xí)素養(yǎng)，提升學(xué)生的知識(shí)探究能力。教師展示變式2： 若，則的最大值是 。小組討論探究解題方法，后由一學(xué)生板書(shū)。其他學(xué)生在學(xué)案上完成解：當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立。所以，最大值是18。教師總結(jié)：類(lèi)比于例2，本題首先需要除xy

8、轉(zhuǎn)化為“1”的妙用形成，之后又需要注意均值定理使用條件，對(duì)于初學(xué)者難度較大。設(shè)計(jì)意圖：本題很好地驗(yàn)證了“1”的妙用的代入方式和均值定理使用的條件的靈活性，可以很好地發(fā)散學(xué)生的思維，提高解題能力。小試牛刀：教師展示1、（2014山東模擬）已知，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,1），則的最小值是 。學(xué)生動(dòng)腦思考在學(xué)案上完成，并利用投影儀展示完成結(jié)果教師提問(wèn)，學(xué)生與大家分享解題思路教師提問(wèn)，是否有不同解法解：法一：解：由的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立。所以最小值是法二：解：，之后同上。教師總結(jié)：本題既可以將“1”代入表達(dá)式，也可以與所求表達(dá)式相乘，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為均值定理形式。設(shè)計(jì)意圖：本題體

9、現(xiàn)一題多解，可以很好地考察學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，充分發(fā)揮學(xué)生的解題能力，強(qiáng)化學(xué)生的思維和表達(dá)。起到了幫助學(xué)生理解和消化所學(xué)的目的。教師展示2、（2016江西）已知，那么的最小值是 。學(xué)生思考在學(xué)案上完成。解：當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)，等號(hào)成立所以，最大值是8。教師總結(jié)：本題簡(jiǎn)單考察“1”的妙用，只需移項(xiàng)，等式兩邊均除即可構(gòu)造出“1”的模型。設(shè)計(jì)意圖：加深學(xué)生對(duì)“1”的妙用的理解和掌握。大顯伸手：教師展示近兩年高考真題。1、（2015甘肅）函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線上，則的最小值是 。學(xué)生前后桌四人組成學(xué)習(xí)小組共同討論交流，并在學(xué)案上完成。找一名學(xué)生的學(xué)案，利用投影儀展示完成情況教師講解，提出解題要點(diǎn)，闡述解題思路和方法解：由恒過(guò)定點(diǎn)A可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1）又因?yàn)辄c(diǎn)A在直線上，所以當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)，等號(hào)成立，所以最小值是4。教師總結(jié)，本題難點(diǎn)在于定點(diǎn)A的坐標(biāo)，我們可以對(duì)比學(xué)習(xí)過(guò)的指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（0，1）來(lái)探究所過(guò)定點(diǎn)A。設(shè)計(jì)意圖：從高考的角度考察學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，讓學(xué)生提前感知高考，體會(huì)高考，告知學(xué)生其實(shí)高考就在身邊，只要夯實(shí)基礎(chǔ)，迎難而上，一定能有所突破。積厚