3.2 均值不等式1

1、均值不等式的應用 “1”的妙用學情分析：（1）從學生知識層面看：學生對均值定理的內容和應用已經有了一定的了解和體會，在探究學習和應用知識的過程中，能夠解決常見的利用均值定理求最值等問題。（2）從學生素質層面看：所任班級的學生已經具有較好的邏輯思維能力，能夠獨立完成有關均值定理應用方面的常見問題。有較好的表達能力，合作交流能力，知識探究能力。教學內容分析：本節(jié)課均值定理的應用“1”的妙用是數學必修五（人教B版）第三章第二節(jié)的內容，作為第三課時，它的主要目的是通過具體問題進行數學猜想，構造數學模型，得出“1”的妙用的形式，進而利用均值定理解決。均值定理作為本章的核心內容，對于不等式的證明及利用均值

2、定理求最值等應用問題都起到了工具性作用，特別是本節(jié)課的內容，新穎，靈活，可以很好地提升學生的數學思維能力。有利于學生對后面不等式的證明及前面函數的一些最值、值域進一步拓展與研究，起到承前啟后的作用。教學目標：依據新課程標準和學生的知識結構與認知水平，確定本節(jié)課的教學目標為：知識與技能：通過學習，使學生深刻理解均值定理的內容明確均值定理的使用條件，能夠熟練利用均值定理解決最值等問題，做到活學活用，觸類旁通。過程與方法：通過情境設置培養(yǎng)學生發(fā)現問題和解決問題的習慣；引導學生通過問題設計，模型歸納，類比猜想實現定理的更好應用，體會知識與規(guī)律的形成過程；通過模型對比，多個角度、多種方法求解，拓寬學生的

3、思路，優(yōu)化學生的思維方式，提高學生綜合創(chuàng)新與創(chuàng)造能力。情感態(tài)度與價值觀：通過問題的設置與解決使學生較深刻地理解數學模型建立的重要性，培養(yǎng)學生迎難而上的學習精神，同時通過學生自身的探索研究，領略獲取新知的喜悅。教學重點：均值定理中“1”的妙用教學難點：“1”的妙用模型的建立以及轉化變形教學策略選擇與設計： 本節(jié)課主要采用啟發(fā)引導式的教學策略.通過設計問題回顧所學知識，通過引導，對比，歸納，建模，拓展，鞏固等環(huán)節(jié)讓學生領悟新知的形成過程和探究方法，增強學生的探究能力。教學資源與手段：學案、多媒體課件。創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學習興趣，鞏固所學；學生板演講解，提高學生思維能力與表達，促進學生知識交流。題目

4、難度層層遞進，培養(yǎng)學生迎難而上的勇氣。小組討論交流，培養(yǎng)團隊合作精神。教學過程設計：情景激疑：設為正數，則的最小值為（ ）某同學的解法：當且僅當時，等號成立，當且僅當，即時，等號成立。所以最小值為8。問題：這種解法正確嗎？如果不正確，說明理由。其中運用了我們前面學習過的那些知識？學生回答：（1）不正確，要使結論成立，必須同時滿足和，而當時，不能同時成立。（2）均值定理當且僅當時，等號成立。使用條件：一正、二定、三相等變形公式：（1），當且僅當時，等號成立。積定和最?。?），當且僅當時，等號成立。和定積最大設計意圖：情景設置，檢驗學生所學，培養(yǎng)學生發(fā)現問題的能力，同時，回顧所學知識，加深知識理解

5、和識記。知識回顧：1、均值定理：當且僅當時，等號成立。使用條件：一正、二定、三相等2、變形公式：（1），當且僅當時，等號成立。積定和最小（2），當且僅當時，等號成立。和定積最大設計意圖：回憶所學知識，加深學生對所學知識的記憶。典例初探：教師展示例1：已知，則的最小值為 。學生讀題，教師引導學生分析題目問題：與前面所學的題目有哪些區(qū)別？學生回答：已知中沒有給定的定值，沒有均值定理的形式出現。教師板書問題：，是怎么出現的？學生回答：是將變成，之后代入。問題：接下來應該如何進行？學生回答：展開，可以出現均值定理形式，運用均值定理求解。解：當且僅當，即時，等號成立。所以最小值是16。設計意圖：引導學生

6、對比前面所學，歸納總結新知，強調“1”的妙用的數學模型的建立過程和運用規(guī)律。培養(yǎng)學生知識探究和總結能力。教師展示：變式1：（2014河南）設正實數,滿足，則 的最小值 。一學生板書，并講解。其他學生在學案上完成解：當且僅當，即時，等號成立。所以，最小值是1教師總結:首先，“1”的妙用不僅僅局限于數字“1”本身，也試用于其他數字，甚至是某些表達式。其次，“1”的代入不僅可以乘在式子前后，也可以代入所求表達式。最后，均值定理使用條件中三相等必須得出x，y的結果值。設計意圖：以學生為主體，培養(yǎng)學生知識探究能力，語言表達能力，促進學生間的知識交流，形成良好的學習素養(yǎng)。教師展示：例2：若，且，求的最大值

7、是 。學生讀題問題：與前面的例1有什么區(qū)別和聯(lián)系？原因是什么？學生回答：變成求和的最大值，因為前面已知中出現了。教師引導學生思考一學生發(fā)言，教師板書。解:當且僅當即，時，等號成立。所以最大值是2。教師總結：注意均值定理的使用條件以及不等式變號后對所求最值的影響。設計意圖：本題改變已知中x，y的符號，即改變均值定理的使用條件，能夠很好地考察學生的變式能力，養(yǎng)成活學活用，觸類旁通的學習素養(yǎng)，提升學生的知識探究能力。教師展示變式2： 若，則的最大值是 。小組討論探究解題方法，后由一學生板書。其他學生在學案上完成解：當且僅當，即，時等號成立。所以，最大值是18。教師總結：類比于例2，本題首先需要除xy

8、轉化為“1”的妙用形成，之后又需要注意均值定理使用條件，對于初學者難度較大。設計意圖：本題很好地驗證了“1”的妙用的代入方式和均值定理使用的條件的靈活性，可以很好地發(fā)散學生的思維，提高解題能力。小試牛刀：教師展示1、（2014山東模擬）已知，函數的圖象經過點（0,1），則的最小值是 。學生動腦思考在學案上完成，并利用投影儀展示完成結果教師提問，學生與大家分享解題思路教師提問，是否有不同解法解：法一：解：由的圖象經過點（0，1）可得，當且僅當，即時，等號成立。所以最小值是法二：解：，之后同上。教師總結：本題既可以將“1”代入表達式，也可以與所求表達式相乘，進而轉化為均值定理形式。設計意圖：本題體

9、現一題多解，可以很好地考察學生對所學知識的理解，充分發(fā)揮學生的解題能力，強化學生的思維和表達。起到了幫助學生理解和消化所學的目的。教師展示2、（2016江西）已知，那么的最小值是 。學生思考在學案上完成。解：當且僅當即，時，等號成立所以，最大值是8。教師總結：本題簡單考察“1”的妙用，只需移項，等式兩邊均除即可構造出“1”的模型。設計意圖：加深學生對“1”的妙用的理解和掌握。大顯伸手：教師展示近兩年高考真題。1、（2015甘肅）函數的圖象恒過定點A,若點A在直線上，則的最小值是 。學生前后桌四人組成學習小組共同討論交流，并在學案上完成。找一名學生的學案，利用投影儀展示完成情況教師講解，提出解題要點，闡述解題思路和方法解：由恒過定點A可知，點A的坐標為（1，1）又因為點A在直線上，所以當且僅當即，時，等號成立，所以最小值是4。教師總結，本題難點在于定點A的坐標，我們可以對比學習過的指數函數過定點（0，1）來探究所過定點A。設計意圖：從高考的角度考察學生的學習成果，讓學生提前感知高考，體會高考，告知學生其實高考就在身邊，只要夯實基礎，迎難而上，一定能有所突破。積厚