用數學歸納法證明不等式課件-選修4-5

1、第二節(jié)用數學歸納法證明不等式【課標要求】1會用數學歸納法證明與正整數有關的不等式，特別是絕對值不等式、平均值不等式和柯西不等式2了解貝努利不等式，學會貝努利不等式的簡單應用3會用數學歸納法證明貝努利不等式【核心掃描】1利用數學歸納法證明不等式是本節(jié)考查的重點2本節(jié)常與不等式的性質、放縮法等綜合考查. 1貝努利不等式：設x1，且x0，n為大于1的自然數，則 .2貝努利不等式的更一般形式：當為實數，并且滿足1或者0時，有(1x)1x(x1)；當為實數，并且滿足01時，有(1x)1x(x1)自學導引(1x)n1nx1用數學歸納法證明3nn3(n3，nN)第一步應驗證()An1 Bn2Cn3 Dn4解

2、析由題意知n3，應驗證n3.故選C.答案C基礎自測2對于正整數n，下列說法不正確的是 ()A3212n B0.9n10.1nC0.9n10.1n D0.1n10.9n解析由貝努利不等式(1x)n1nx，(nN，x1)，當x2時，(12)n12n，故A正確當x0.1時，(10.1)n10.1n，B正確，C不正確答案C解析分母是底數為2的冪，且冪指數是連續(xù)自然增加，故選A.答案A題型一用數學歸納法證明絕對值不等式【例1】 設x1，x2，xn為實數，證明：|x1x2xn|x1|x2|xn|.思維啟迪 在nk成立證明nk1也成立時，注意應用絕對值不等式性質證明(1)|x1x2|x1|x2|，n2時命題

3、成立(2)設命題nk (k2)時成立，即|x1x2xk|x1|x2|xk|，于是，當nk1時，|x1x2xk1|(x1x2xk)xk1|x1x2xk|xk1|x1|x2|xk|xk1|.即當nk1時，命題也成立由(1)(2)知，對于任意nN*命題都成立規(guī)律方法 使用數學歸納法要完成兩步第一步要驗證“基礎”；第二步要證明“遞推”，二者缺一不可關鍵在于使用歸納假設進行遞推，這也是數學歸納法的靈活和魅力所在，要根據不同問題加強練習，逐步掌握【變式1】 證明不等式|sin n|n|sin | (nN)證明(1)當n1時，上式左邊|sin |右邊，不等式成立(2)假設當nk (k1)時，命題成立，即有|

4、sin k|k|sin |.當nk1時，|sin(k1)|sin(k)|sin kcos cos ksin |sin kcos |cos ksin |sin k|sin |k|sin |sin |(k1)|sin |.即當nk1時不等式成立由(1)(2)可知，不等式對一切正整數n均成立題型二用數學歸納法證明不等式【例2】 在數列an中，a12，an1an2n1(nN*)(1)求證an2n為等差數列；(2)設數列bn滿足bn2log2(an1n)思維啟迪 由條件第一問可通過數列的有關知識來證明進而求出an通項公式，然后求bn的通項公式，最后用數學歸納法證明要證的結論即可解(1)由an1an2n1

5、得(an12n1)(an2n)1，因此an2n成等差數列(2)an2n(a12)(n1)n1，即an2nn1，bn2log2(an1n)2n.規(guī)律方法 同用數學歸納法證明等式一樣，這類題型也通常與數列的遞推公式或通項公式有關，待證的不等式的條件可能直接給出，也可能需根據條件歸納猜想出后再證明題型三數學歸納法與數列的綜合問題思維啟迪 由題意可得如下信息：an，bn，an1成等差數對任意n都成立n1、2時也成立即可解得第一問，并歸納出通項公式，然后用數學歸納法證明之第二問列出式子發(fā)現用裂相法與放縮法即可證明比用數字歸納法簡便規(guī)律方法 這類題型通常與數列的遞推公式、通項公式有關，有時要證明的等式是直接給出，有時是根據條件從前n項入手，通過觀察、猜想，歸納出一個等式，然后再用數學歸納法證明方法技巧數學歸納法在不等式中的應用思路分析 (1)問關鍵利用anSnSn1(n