電路分析基礎(chǔ)第6章-耦合電感和理想變壓器課件

1、第6章耦合電感和理想變壓器 6.1耦合電感 6.2含互感電路的分析 6.3空芯變壓器 6.4理想變壓器 *6.5鐵芯變壓器模型 習(xí)題6 6.1耦合電感6.1.1耦合電感的基本概念在第4章中我們曾介紹過電感線圈，它是孤立的單個(gè)線圈，如圖6.1-1所示。當(dāng)線圈通以變化的電流i時(shí)，其周圍將建立磁場，產(chǎn)生磁通，磁通與N匝線圈交鏈，則磁鏈=N。磁通(或磁鏈)的方向與電流的參考方向成右手螺旋關(guān)系，如圖6.1-1所示。磁鏈與電流i滿足以下關(guān)系：=Li (6.1-1)圖6.1-1孤立的單個(gè)線圈當(dāng)通過電感線圈的電流發(fā)生變化時(shí)，磁鏈也相應(yīng)地發(fā)生變化，根據(jù)電磁感應(yīng)定律，線圈兩端將產(chǎn)生感應(yīng)電壓，感應(yīng)電壓等于磁鏈的變化

2、率。當(dāng)端電壓u與端電流i取關(guān)聯(lián)參考方向(見圖6.1-1)時(shí)，有如果在一個(gè)線圈的鄰近還有另一個(gè)線圈，并分別通以電流，則其周圍也將激發(fā)磁場產(chǎn)生磁通。由于磁場的耦合作用，每個(gè)線圈中的電流產(chǎn)生的磁場除穿過本線圈外，還有一部分穿過鄰近的線圈，即兩個(gè)線圈具有磁耦合，我們將這種具有磁耦合的兩個(gè)線圈稱為耦合線圈，如圖6.1-2所示。(6.1-2)圖6.1-2耦合線圈在圖6.1-2中，線圈1通電流i1，由i1所產(chǎn)生的并與線圈1相交鏈的磁通11稱為線圈1的自感磁通，磁通11的方向與電流i1的參考方向符合右手螺旋定則。自感磁通11與線圈1的匝數(shù)N1的乘積為線圈1的自感磁鏈，即11=N111。自感磁鏈11與電流i1的

3、關(guān)系如下：11=L1i1 (6.1-3)類似于自感系數(shù)的定義，有21=M21i1 (6.1-4) 同樣，若線圈2中通電流i2，則由電流i2產(chǎn)生的并與線圈2相交鏈的磁通22稱為線圈2的自感磁通，自感磁鏈22= N222，且有22=L2i2 (6.1-5)式中，比例系數(shù)L2稱為線圈2的自感系數(shù)(簡稱自感)。磁通22也將有一部分磁通12與鄰近的線圈1相交鏈，稱為線圈2對線圈1的互感磁通，相應(yīng)的互感磁鏈12=N112，有12=M12i2 (6.1-6)式中，比例系數(shù)M12稱為線圈2對線圈1的互感系數(shù)。由電磁場理論可以證明M12=M21=M (6.1-7)為了定量描述兩個(gè)線圈耦合的松緊程度，引入耦合系數(shù)

4、k。我們用兩個(gè)線圈的互感磁鏈與自感磁鏈比值的幾何平均值來表征兩個(gè)線圈耦合的松緊程度，定義為耦合系數(shù)，即將式(6.1-3)式(6.1-7)代入式(6.1-8)，可得耦合系數(shù)(6.1-8) (6.1-9) 6.1.2耦合電感的伏安關(guān)系由自感磁鏈產(chǎn)生的感應(yīng)電壓稱為自感電壓，如圖6.1-3(a)所示。由于自感磁鏈?zhǔn)怯杀揪€圈的電流產(chǎn)生的，因此自感磁鏈與電流符合右手螺旋關(guān)系。自感電壓的極性與自感磁鏈的方向按右手螺旋定則選取，則線圈1和線圈2的自感電壓分別為(6.1-10) 圖6.1-3耦合電感的自感電壓和互感電壓由互感磁鏈產(chǎn)生的感應(yīng)電壓稱為互感電壓。若互感電壓的極性與互感磁鏈的方向按右手螺旋定則選取(見圖

5、6.1-3(a)，則線圈1和線圈2的互感電壓分別為于是，每個(gè)線圈的端電壓等于自感電壓和互感電壓的代數(shù)和。對于圖6.1-3(a)所示的耦合線圈，有(6.1-11) 根據(jù)右手螺旋定則，可標(biāo)出電流所產(chǎn)生的磁通方向如圖6.1-3(b)所示。取感應(yīng)電壓極性與產(chǎn)生它的磁通方向符合右手螺旋關(guān)系，則耦合電感的伏安關(guān)系為(6.1-12) (6.1-13) 6.1.3互感線圈的同名端互感線圈的同名端是這樣規(guī)定的：它是分屬于兩個(gè)線圈的一對端鈕，當(dāng)兩個(gè)電流各自從這對端鈕流入時(shí)，它們所產(chǎn)生的磁場是相互加強(qiáng)的(即自感磁通與互感磁通方向一致)，則這一對端鈕稱為互感線圈的同名端，用“”或“*”來表示。按此規(guī)定，在圖6.1-3

6、(a)中，電流i1從線圈1的a端流入，電流i2從線圈2的c端流入，這時(shí)它們所產(chǎn)生的磁場是相互加強(qiáng)的，我們稱端鈕a、c為同名端，并用“”標(biāo)示，如圖所示。顯然，端鈕b、d也是同名端。在圖6.1-3(b)中，當(dāng)電流分別從a端和d端流入時(shí)，它們產(chǎn)生的磁場是相互加強(qiáng)的，故端鈕a、d是同名端，端鈕b、c也是同名端。標(biāo)定了同名端, 圖6.1-3(a)和(b)所示的互感線圈就可用圖6.1-4(a)和(b)所示的電路模型來表示，而不必再畫出互感線圈的繞向。圖6.1-4耦合電感的電路模型下面就圖6.1-5(a)所示的耦合電感寫出其端口的伏安關(guān)系式。 圖6.1-5耦合電感的時(shí)域模型和相量模型對于未標(biāo)明同名端的一對耦

7、合線圈，可用圖6.1-6所示的實(shí)驗(yàn)裝置來確定其同名端。 圖6.1-6同名端的實(shí)驗(yàn)確定法6.1.4耦合電感的串聯(lián)和并聯(lián)1. 耦合電感的串聯(lián)耦合電感的串聯(lián)有兩種方式：順接串聯(lián)和反接串聯(lián)。順接串聯(lián)是將兩個(gè)線圈的異名端相連接，如圖6.1-7(a)所示。圖6.1-7耦合電感的順接串聯(lián)設(shè)電壓、電流的參考方向如圖6.1-7(a)所示，根據(jù)耦合電感的伏安關(guān)系有式中L順串=L1+L2+2M (6.1-14)反接串聯(lián)是將兩個(gè)線圈的同名端相連接，如圖6.1-8(a)所示。由圖6.1-8(a)可得式中L反串=L1+L22M (6.1-15)圖6.1-8耦合電感的反接串聯(lián)2. 耦合電感的并聯(lián) 耦合電感的并聯(lián)也有兩種連接

8、方式：一種是兩線圈的同名端兩兩相接，如圖6.1-9(a)所示，稱為同名端同側(cè)并聯(lián)；另一種是兩線圈的異名端兩兩相接，如圖6.1-9(b)所示，稱為同名端異側(cè)并聯(lián)。圖6.1-9耦合電感的并聯(lián)下面分析圖6.1-9(a)所示的同名端并聯(lián)電路，其相量模型如圖6.1-10所示。圖6.1-10耦合電感同名端同側(cè)并聯(lián)電路的相量模型6.2含互感電路的分析 6.2.1耦合電感的去耦等效1. 同名端相連 圖6.2-1(a)所示為具有互感的三端電路，它是由兩個(gè)同名端相連的串聯(lián)耦合線圈從連接點(diǎn)引出一個(gè)公共端所構(gòu)成的。在圖6.2-1(a)所示的電壓、電流參考方向下，有(6.2-1) 圖6.2-1耦合電感的去耦等效圖(一)

9、將i=i1+i2代入式(6.2-1)，可得(6.2-2) 2. 異名端相連 圖6.2-2(a)所示的三端互感電路是由兩個(gè)異名端相連的串聯(lián)耦合線圈從連接點(diǎn)引出一個(gè)公共端所構(gòu)成的。在圖6.2-2(a)所示的電壓、電流參考方向下，有(6.2-3) 將i=i1+i2代入式(6.2-3)，得(6.2-4) 圖6.2-2耦合電感的去耦等效圖(二)(1) 耦合電感去耦等效電路的參數(shù)與電流的參考方向無關(guān)，只與兩耦合線圈的自感系數(shù)、互感系數(shù)和同名端的位置有關(guān)。(2) 耦合電感去耦等效電路雖是通過三端電路導(dǎo)出的，但也適用于具有互感的四端電路。例如，圖6.2-3(a)所示的四端互感電路中，具有互感的兩線圈之間沒有公

10、共端子。為了便于進(jìn)行去耦等效，可以人為地將1和2兩個(gè)端子連接在一起作為一個(gè)公共端子，構(gòu)成圖6.2-3(b)所示的電路，這樣做并不影響原電路中電壓、電流之間的關(guān)系。對圖6.2-3(b)，可按三端耦合電感進(jìn)行去耦等效，其去耦等效電路如圖(c)所示。圖6.2-3四端耦合電感的去耦等效【例6.2-1】互感電路如圖6.2-4(a)所示，已知自感系數(shù)L1=10 mH， L2=2 mH，互感系數(shù)M=4 mH，求端口等效電感Lab。解應(yīng)用耦合電感的去耦等效圖6.2-2，將圖6.2-4(a)等效為圖(b)。根據(jù)無互感的電感串、并聯(lián)公式，可得圖6.2-4例6.2-1用圖【例6.2-2】互感電路如圖6.2-5所示，

11、已知激勵(lì)is(t)= 4(1e3t) A，求電壓u2(t)。解應(yīng)用四端耦合電感的去耦等效圖6.2-3，將圖6.2-5(a)等效為圖(b)。根據(jù)電感元件的伏安關(guān)系有圖6.2-5例6.2-2用圖6.2.2含互感電路的相量法分析【例6.2-3】求圖6.2-6(a)所示的互感電路的ab端輸入阻抗。解應(yīng)用耦合電感的去耦等效圖6.2-1，將圖6.2-6(a)等效為圖(b)。根據(jù)阻抗串、并聯(lián)公式，得ab端口輸入阻抗為圖6.2-6例6.2-3用圖【例6.2-4】圖6.2-7(a)所示為耦合電感的正弦穩(wěn)態(tài)電路，已知us(t)=12 cost V，is(t)=6 cost A，求電壓u(t)。圖6.2-7例6.2

12、-4用圖【例6.2-5】電路如圖6.2-8(a)所示，已知us(t)=10 cos2t V，M=0.5 H，問負(fù)載阻抗ZL為何值時(shí)可獲得最大有功功率？ 最大有功功率PLmax為多少？圖6.2-8例6.2-5用圖6.3空 芯 變 壓 器 空芯變壓器通常由兩個(gè)具有磁耦合的線圈繞在非鐵磁材料制成的空芯骨架上構(gòu)成。它在高頻電路和測量儀器中獲得廣泛應(yīng)用。由于變壓器是利用電磁感應(yīng)原理制作的，因此可以用耦合電感來構(gòu)成它的模型。圖6.3-1(a)所示為空芯變壓器的電路模型。圖6.3-1空芯變壓器的電路模型和相量模型對圖6.3-1(b)所示的電路，設(shè)初、次級回路電流、的參考方向如圖中所示，則可列出初級回路和次級

13、回路的KVL方程為將式(6.3-1)寫為(6.3-2) (6.3-1) 式中：Z11=R1+jwL1為初級回路自阻抗，Z22=R2+j w L2+ZL為次級回路自阻抗，ZM=j w M 為互感阻抗。由式(6.3-2)解得令(6.3-3) (6.3-4) 代入式(6.3-3)，得由式(6.3-2)的第二個(gè)式子，得次級回路電流根據(jù)式(6.3-5)和式(6.3-6)可作出初級等效電路和次級等效電路，如圖6.3-2所示。(6.3-5) (6.3-6) 圖6.3-2空芯變壓器初、次級等效電路【例6.3-1】互感電路如圖6.3-3(a)所示，已知，R1=7.5 W， wL1=30 W ，R2=45 W ，

14、 wL2=60 W ， wM=30 W ，求初、次級回路電流、和電阻R2上消耗的功率。圖6.3-3例6.3-1用圖6.4理 想 變 壓 器空芯變壓器是將兩個(gè)具有互感的線圈繞在非鐵磁材料制成的空芯骨架上構(gòu)成的。6.4.1理想變壓器的電路模型和變換特性1. 電路模型理想變壓器也是一種耦合元件，它是由實(shí)際變壓器抽象出來的。理想變壓器的電路模型如圖6.4-1所示，與耦合電感元件的符號相同。圖6.4-1理想變壓器模型2. 變壓、變流特性在圖6.4-1所示的同名端和電壓、電流參考方向下，理想變壓器初級電壓u1、電流i1與次級電壓u2、電流i2有如下關(guān)系：(6.4-1) 如果我們把同名端的位置變更，u1參考

15、方向的“+”極性端設(shè)在同名端，u2參考方向的“+”極性端設(shè)在異名端，如圖6.4-2所示，則理想變壓器的電壓、電流關(guān)系為無論由式(6.4-1)還是式(6.4-2)，都可導(dǎo)出理想變壓器在所有時(shí)刻t從初級端口和次級端口吸收的功率總和為(6.4-2) (6.4-3) 圖6.4-2理想變壓器的電壓、電流特性說明圖【例6.4-1】理想變壓器電路如圖6.4-3所示，試寫出初、次級電壓、電流變換關(guān)系式。解應(yīng)用理想變壓器的變壓、變流特性，對圖6.4-3(a)有對圖6.4-3(b)有圖6.4-3例6.4-1用圖【例6.4-2】求圖6.4-4所示的含理想變壓器電路的輸入電阻Rab。圖6.4-4例6.4-2用圖3變換

16、阻抗特性圖6.4-5(a)所示的電路中，理想變壓器次級接電阻RL，設(shè)電壓、電流的參考方向及同名端位置如圖中所示。由初級端看去的輸入電阻作對應(yīng)的等效電路如圖6.4-5(b)所示。(6.4-4) 圖6.4-5理想變壓器變換電阻特性用圖(一)圖6.4-6(a)所示的理想變壓器電路中，初級端看去的輸入電阻作對應(yīng)的等效電路如圖6.4-6(b)所示。(6.4-5) 圖6.4-6理想變壓器變換電阻特性用圖(二)圖6.4-7所示為兩種常見的理想變壓器阻抗折合等效電路。圖6.4-7兩種常見的理想變壓器阻抗折合等效電路【例 6.4-3】正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖6.4-8所示，已知，求電壓 。解法一將次級8 電阻折合到初級

17、，折合電阻為，作初級等效電路如圖6.4-9(a)所示。由電阻的分壓公式，得由變壓器的變壓特性得圖6.4-8中電壓為圖6.4-8例6.4-3用圖(一)圖6.4-9例6.4-3用圖(二)【例6.4-4】正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖6.4-10(a)所示，已知，負(fù)載RL=50 。試確定理想變壓器的匝比n，使負(fù)載電阻RL能獲得最大功率，并求出該最大功率PLmax。圖6.4-10例6.4-4用圖6.4.2實(shí)現(xiàn)理想變壓器的條件條件1：無損耗。這意味著繞初、次級線圈的金屬導(dǎo)線無電阻，或者說，繞線圈的金屬導(dǎo)線導(dǎo)電率。此時(shí)對6.3節(jié)所介紹的圖6.3-1所示的空芯變壓器電路模型而言，R1= 0，R2=0，電路改畫為圖6.4-

18、11。初、次級回路方程為(6.4-6) 圖6.4-11無損耗情況下變壓器電路模型條件2：全耦合，即耦合系數(shù)k=1。在全耦合情況下，變壓器初、次級線圈的磁通分布示意圖如圖6.4-12所示。初級線圈的互感磁通等于次級線圈的磁通，即12=22；次級線圈的互感磁通等于初級線圈的自感磁通，即21=11。設(shè)初、次級線圈的匝數(shù)分別為N1和N2，由圖6.4-12可見，與初、次級線圈交鏈的總磁鏈分別為(6.4-7) 圖6.4-12全耦合情況下變壓器的磁通分布示意圖在全耦合理想條件下，有12=22，21=11，則式(6.4-7)寫為根據(jù)，對式(6.4-8)求導(dǎo)，得初、次級電壓分別為(6.4-8) 故得條件3：自感

19、系數(shù)L1、L2為無窮大，且L1/L2為常數(shù)?？紤]到耦合系數(shù)，則互感系數(shù)也為無窮大。對式(6.4-6)的第一個(gè)式子兩端積分，得(6.4-10) (6.4-9) 參見圖6.4-12，由M、L1的定義，并考慮k=1的條件，得式(6.4-11)可寫為將式(6.4-11)代入式(6.4-10)中，當(dāng)L1時(shí)，有(6.4-11) (6.4-12) * 6.5鐵芯變壓器模型1. 全耦合變壓器如果變壓器的耦合系數(shù)k=1，無損耗，參數(shù)L1、L2和M均不為無限大，則這樣的變壓器稱為全耦合變壓器。由于全耦合，即k=1，因此導(dǎo)得電壓方程式(6.4-9)，即u1=nu2 (6.5-1) 由式(6.4-10)和式(6.4-

20、11)可得(6.5-2)根據(jù)式(6.5-1)和式(6.5-2)，可作出全耦合變壓器的等效電路模型，如圖6.5-1(b)所示。圖6.5-1全耦合變壓器的等效電路模型()2 鐵芯變壓器設(shè)電流i1在初級線圈產(chǎn)生的磁通為11，其中大部分與次級線圈相交鏈，即初級線圈對次級線圈的互磁通(見圖6.5-2)，記為21，而11中另一小部分不與次級線圈相交鏈的磁通稱為漏磁通，記為s1。類似地，電流i2在次級線圈產(chǎn)生的磁通為22，其中與初級線圈相交鏈的互磁通為12，不與初級線圈相交鏈的漏磁通為s2。顯然有(6.5-3) 圖6.5-2鐵芯變壓器的磁通分布示意圖根據(jù)自感系數(shù)L1、L2和互感系數(shù)M的定義，結(jié)合式(6.5-

21、3)，有(6.5-4) 引入漏感和全耦合等效電感系數(shù)后，可作出非全耦合變壓器等效電路模型，如圖6.5-3(b)所示。再考慮初、次級線圈的損耗電阻R1和R2，一個(gè)實(shí)際的鐵芯變壓器等效電路模型如圖6.5-3(c)所示。圖6.5-3實(shí)際鐵芯變壓器的等效電路模型【例 6.5-1】電路如圖6.5-4(a)所示，已知，試求電流、和電壓。圖6.5-4例6.5-1用圖習(xí)題66-1試標(biāo)出題6-1圖所示耦合線圈的同名端。 題6-1圖6-2試寫出題6-2圖所示耦合電感的VAR。題6-2圖6-3電路如題6-3圖所示，試求開路電壓u2。題6-3圖6-4耦合電感的相量模型如題6-4圖所示，試寫出它們的VAR。題6-4圖6

22、-5求題6-5圖所示電路ab端的輸入阻抗Zab(w=1 rad/s)。題6-5圖6-6互感電路如題6-6圖所示，已知，角頻率w=2 rad/s，求電流。 題6-6圖 6-7電路如題6-7圖所示，已知， ，w=1 rad/s，求電流。 題6-7圖6-8電路如題6-8圖所示，求ab端口的等效阻抗Zab。題6-8圖 6-9在題6-9圖所示的電路中，已知，求開路電壓。題6-9圖6-10題6-10圖所示為兩個(gè)有損耗的電感線圈串聯(lián)連接，它們之間存在互感，通過測量電流和功率能夠確定這兩個(gè)線圈之間的互感系數(shù)?，F(xiàn)在將頻率為50 Hz、電壓有效值為60 V的電源加在串聯(lián)線圈兩端進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。當(dāng)線圈順接時(shí)，測得電流有效值為2 A，平均功率為96 W；當(dāng)線圈反接時(shí)，測得電流為2.4 A，功率已變。試確定該兩線圈間的互感M。題6-10圖6-11求題6-11圖所示電路中的電流和。已知電源的角頻率=100 rad/s。題6-11圖6-12電路如題6-12圖所示，耦合系數(shù)k=0.5，求電壓。題6-12圖6-13題6-13圖所示的電路中，is(t)=sint A，us=cost V，試求每一元件的電壓和電流。題6-13圖6-14電路如題6-14圖所示，原已處于