第六章無限脈沖響應數字濾波器的設計課件

1、第六章 無限脈沖響應數字濾波器的設計 數字濾波器的基本概念 模擬濾波器的設計 脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器 雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器 數字高通、帶通和帶阻濾波器的設計 IIR 數字濾波器的直接設計法7/19/20221一、數字濾波器 是指輸入、輸出均為數字信號，通過一定運算關系改變輸入信號所含頻率成分的相對比列或者慮除某些頻率成分的器件。二、數字濾波器的分類經典濾波器從功能上分：低通、高通、帶通、帶限從實現的網絡結構或單位脈沖響應：IIR、FIR現代濾波器維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應濾波器等最佳濾波器。第一節(jié) 數字濾波器的基本概念7/19/20222三、標準理想濾波器

2、的特性低通高通帶通帶阻01-01-01017/19/20223通帶截止頻率阻帶截止頻率四、濾波器的技術指標過渡帶00.7073dB通帶截止頻率7/19/20224如將|H(ej0)|歸一化為1，上式則表示成：7/19/20225第二節(jié) 模擬濾波器的設計 模擬濾波器的理論和設計方法已發(fā)展得相當成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等。 7/19/20226模擬低通濾波器的設計指標有 ，其中 分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率， 是通帶 中的最大衰減系數， 是

3、阻帶 的最小衰減系數一、模擬低通濾波器設計指標及逼近方法7/19/20227濾波器的技術指標給定后，需要設計一個傳輸函數，希望其幅度平方函數滿足給定的指標 和 ，一般濾波器的單位沖激響應為實數，因此幅度平方函數可表示成：7/19/20228 巴特沃斯濾波器是指在通帶內的幅度特性具有最大平坦特性，是一全極點型濾波器，巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數用下式表示：巴特沃斯幅度特性和N的關系二、巴特沃斯低通濾波器的設計7/19/20229將幅度平方函數寫成s的函數： 此式表明幅度平方函數有2N個極點，極點sk用下式表示：極點分布：2N個極點在S平面上是象限對稱分布在半徑為c的圓上； 極點間的角度間隔為

4、/N rad ； 極點決不會落在虛軸上； 保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性 N為奇數則實軸上有極點，N為偶數實軸上無極點。三階巴特沃斯濾波器極點分布7/19/202210 為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個極點中只取s平面左半平面的N個極點構成Ha(s)，而右半平面的N個極點構成Ha(s)。 Ha(s)的表示式為：設N=3，極點有6個，它們分別為取s平面左半平面的極點s0,s1,s2組成Ha(s)： 7/19/202211 由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設計統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對3dB截止頻率c歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為 式中，s/c=j/c。令=/c，稱為歸一化頻率；令p=j，p稱為歸一化

5、復變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數為式中pk為歸一化極點，用下式表示：7/19/2022127/19/202213令,則N可表示為： 上式確定的N可能有小數部分，應取大于等于N的最小整數。關于3dB截止頻率c，如果技術指標中沒有給出，可以由下面推導得到： 7/19/202214 (1)根據技術指標p,p,s和s，求出濾波器的階數N。 (2) 求出歸一化極點pk，得到歸一化傳輸函數Ha(p)。 (3)將Ha(p)去歸一化。將p=s/c代入Ha(p)，得到實際的濾波器傳輸函數Ha(s)。 低通巴特沃斯濾波器的設計步驟如下：7/19/202215巴特沃斯歸一化低通濾波器參數 7/19/202216

6、7/19/2022177/19/202218 例 已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減p=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減s=30dB，按以上技術指標設計巴特沃斯低通濾波器。解 (1) 確定階數N。 7/19/202219 (2) 其極點為歸一化傳輸函數為 上式分母可以展開成為五階多項式，或者將共軛極點放在一起，形成因式分解形式。直接查表更簡單，由N=5，直接查表得到極點：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878; -1.0000式 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.23617/19/20222

7、0 (3) 為將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率c：將p=s/c代入Ha(p)中得到：7/19/202221切比雪夫型濾波器幅度平方函數可表示為： 三、切比雪夫型濾波器的設計切比雪夫型濾波器幅頻特性 7/19/202222式中為小于1的正數，表示通帶內幅度波動的程度，愈大，波動幅度也愈大。p稱為通帶截止頻率。CN(x)稱為N階切比雪夫多項式，定義為當N=0時，C0(x)=1； 當N=1時，C1(x)=x；當N=2時，C2(x)=2x 21； 當N=3時，C3(x)=4x 3 3x。由此可歸納出高階切比雪夫多項式的遞推公式為C N+1 (x)=2xCN(x)C N-1 (x)7/19/20

8、2223 下圖為N=0,4,5時切比雪夫多項式特性，由圖可見： (1)切比雪夫多項式的過零點在|x|1的范圍內； (2)當|x|1時，|CN(x)|1,在|x|1時，CN(x)是雙曲線函數，隨x單調上升。 7/19/202224 平方幅度函數與三個參數即,p和N有關。其中與通帶內允許的波動大小有關，定義允許的通帶波紋用下式表示： 切比雪夫型與巴特沃斯低通曲線7/19/202225 設阻帶的起始點頻率(阻帶截止頻率)用s表示，在s處的A2(s)為： 令s=s/p，由s1，有可以解出 7/19/202226 3dB截止頻率用c表示通常取c1，因此上式中僅取正號，得到3dB截止頻率計算公式： 以上p

9、,和N確定后，可以求出濾波器的極點，并確定Ha(p)，p=s/p。7/19/202227 設Ha(s)的極點為si=i+ji，可以證明： 上式是一個橢圓方程，長半軸為pch(在虛軸上)，短半軸為psh(在實軸上)。令bp和ap分別表示長半軸和短半軸，可推導出：7/19/202228設N=3，平方幅度函數的極點分布如圖所示。為穩(wěn)定，用左半平面的極點構成Ha(p)，即由上式可導出：c=2 N-1，從而得歸一化的傳輸函數為：去歸一化后的傳輸函數為7/19/2022291) 確定技術要求p,p,s和p是=p時的衰減系數，s是=s時的衰減系數： 這里p就是前面定義的通帶波紋。歸一化頻率切比雪夫型濾波器設

10、計步驟：7/19/2022302) 求濾波器階數N和參數 由幅度平方函數可得：7/19/2022313) 求歸一化傳輸函數Ha(p) 為求Ha(p)，先求出歸一化極點pk,k=1,2,:,N。 根據定義可得： 將極點pk代入即得： 4) 將Ha(p)去歸一化，得到實際的Ha(s)，即 其中p=7/19/202232 例 設計低通切比雪夫濾波器，要求通帶截止頻率fp=3kHz，通帶最大衰減p=0.1dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減s=60dB。 (2) 求階數N和：解： (1) 濾波器的技術要求： 7/19/202233 (3) 求Ha(p):求出N=5時的極點pi，代入上式，得

11、到： (4)將Ha(p)去歸一化，得到：7/19/2022341) 低通到高通的頻率變換 和之間的關系為上式即是低通到高通的頻率變換公式，如果已知低通G(j)，高通H(j)則用下式轉換：四、模擬濾波器的頻率變換 模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設計7/19/202235 模擬高通濾波器的設計步驟： (1)由高通濾波器的技術指標（通帶下限頻率p，阻帶上限頻率s，通帶最大衰減p，阻帶最小衰減s）確定相應低通濾波器的設計指標： 低通濾波器通帶截止頻率p=1/p； 低通濾波器阻帶截止頻率s=1/s； 通帶最大衰減仍為p，阻帶最小衰減仍為s。(2)設計歸一化低通濾波器G(p)。(3)求模擬高通的H(s)。將

12、G(p)轉換成歸一化高通H(q)，為去歸一化，將q=s/c代入H(q)中，得 7/19/202236 解 高通技術要求： fp=200Hz,p=3dB; fs=100Hz,s=15dB 歸一化頻率：低通技術要求：例 設計高通濾波器：fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性單調下降，fp處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減s=15dB。7/19/202237 設計歸一化低通巴特沃斯濾波器G(p) 求模擬高通H(s)：7/19/2022382) 低通到帶通的頻率變換 低通與帶通濾波器的幅度特性如圖所示帶通與低通濾波器的幅度特性 7/19/202239由對應關系可得與的關系為：由上表及上式有：上式稱

13、為低通到帶通的頻率變換公式。利用該式將帶通的邊界頻率轉換成低通的邊界頻率。7/19/202240 1) 確定模擬帶通濾波器的技術指標： 帶通上限頻率u，帶通下限頻率l 下阻帶上限頻率 s1 ,上阻帶下限頻率 s2 通帶中心頻率20=lu，通帶寬度B=ul 與以上邊界頻率對應的歸一化邊界頻率如下：模擬帶通的設計步驟7/19/202241 (2) 確定歸一化低通技術要求：s與-s的絕對值可能不相等，一般取絕對值小的s，這樣保證在較大的s處更能滿足要求。通帶最大衰減仍為p，阻帶最小衰減亦為s。 (3) 設計歸一化低通G(p)。 (4) 將G(p)轉換成帶通H(s)： 7/19/202242 例 設計

14、模擬帶通濾波器，通帶帶寬B=2200rad/s，中心頻率0=21000rad/s，通帶內最大衰減p=3dB，阻帶s1=2830rad/s,s2=21200rad/s，阻帶最小衰減s=15dB。 解：1) 模擬帶通的技術要求： 0=21000rad/s,p=3dB s1 =2830rad/s,s2=21200rad/s,s=15dB B=2200rad/s; 0=5,s1=4.15,s2=67/19/202243 2) 模擬歸一化低通技術要求： 取s=1.833,p=3dB,s=15dB。 3)設計模擬歸一化巴特沃斯低通濾波器G(p)： 7/19/202244 取N=3，查表得：(4) 求模擬帶

15、通H(s)： 7/19/202245 3) 低通到帶阻的變換 低通與帶阻濾波器的幅頻特性如圖所示。 l和u分別是下通帶和上通帶截止頻率，s1和s2分別為阻帶的下限頻率和上限頻率，0為阻帶中心頻率，20=ul，阻帶帶寬B=ul，B作為歸一化參考頻率。相應的歸一化邊界頻率為： u=u/B,l=l/B,s1=s1/B,s2=s2/B;20=ul 7/19/202246 根據與的對應關系，可得到：7/19/2022471)確定模擬帶阻濾波器的技術要求，即：下通帶截止頻率l,上通帶截止頻率u阻帶下限頻率s1，阻帶上限頻率s2阻帶中心頻率 ，阻帶寬度B=ul它們相應的歸一化邊界頻率為 l=l/B,u=u/

16、B,s1=s1/B; s2=s2/B,20=ul以及通帶最大衰減p和阻帶最小衰減s。 帶阻濾波器設計步驟7/19/202248 (2) 確定歸一化模擬低通技術要求，即： 取s和s的絕對值較小的s；通帶最大衰減為p，阻帶最小衰減為s。 (3) 設計歸一化模擬低通G(p)。 (4) 將G(p)轉換成帶阻濾波器H(s)。7/19/202249 例 設計模擬帶阻濾波器，其技術要求為： l=2905rad/s, s1=2980rad/s, s2= 21020rad/s,u=21105rad/s,p=3dB, s=25dB。試設計巴特沃斯帶阻濾波器。 解 (1) 模擬帶阻濾波器的技術要求： l=2905,

17、u=21105; s1=2980,s2=21020; 20=lu=4+21000025,B=ul=2200; l=l/B=4.525,u=u/B=5.525; s1=s1/B=4.9,s2=5.1; 20=lu=257/19/202250 (2) 歸一化低通的技術要求：(3)設計歸一化低通濾波器G(p): (4) 帶阻濾波器的H(s)為7/19/202251第三節(jié) 脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器 數字濾波器的設計可先按設計要求設計一個模擬濾波器，再按一定轉換關系將模擬濾波器轉換成數字濾波器。 為了保證轉換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術要求，對轉換關系提出兩點要求： 1) 因果穩(wěn)定的模擬濾波

18、器轉換成數字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。 2)數字濾波器的頻率響應模仿模擬濾波器，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應的頻率之間成線性關系。7/19/202252 設模擬濾波器的傳輸函數為Ha(s),相應的單位沖激響應是ha(t) 設模擬濾波器Ha(s)只有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將Ha(s)用部分分式表示： 式中si為Ha(s)的單階極點。將Ha(s)進行逆拉氏變換得： 對ha(t)進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到： 7/19/202253對h(n) 進行Z變換，得到數字濾波器的系統(tǒng)函數H(z)： 設ha(t)的采樣信號用 表示：對 進行拉氏變換，得到: 上式表示采樣

19、信號的拉氏變換與相應的序列的Z變換之間的映射關系可用下式表示： 7/19/202254 模擬信號ha(t)的傅里葉變換Ha(j)和其采樣信號的傅里葉變換之間的關系如下：將s=j代入上式，得上式表明將模擬信號ha(t)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期s=2/T延拓后，再按 映射關系映射到z平面上，就得到H(z)。 可稱為標準映射關系。7/19/202255下面進一步分析這種映射關系。設得到:因此得到: 那么 =0,r=1 0,r0,r1 另外，注意到z=esT是一個周期函數，可寫成為任意整數7/19/202256z=esT,s平面與z平面之間的映射關系頻率混疊現象7/19/202257 假設

20、沒有頻率混疊現象，即滿足由 ，并將關系式s=j代入，=T，代入得到：為避免采樣間隔較小而導致 H(z)過大，令： 則：7/19/202258 如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為極點為 可以推導出相應的數字濾波器二階基本節(jié)為： 如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為 極點為 相應的數字濾波器二階基本節(jié)為：一般Ha(s)的極點是復數且共軛成對的形式出現，將一對復數共軛極點放在一起，形成一個二階基本節(jié)。7/19/202259 例 已知模擬濾波器的傳輸函數Ha(s)為用脈沖響應不變法將其轉換成數字濾波器的系統(tǒng)函數。 解 首先將Ha(s)寫成部分分式：極點為：那么H(z)的極點為：由上式并經整理得：7/19/

21、202260也可以首先將Ha(s)寫成如下形式，如極點s1，2=1j1,則再由上分析得H(z)為：T=1sT=0.1s7/19/202261脈沖響應不變法的特點：優(yōu)點：T保證了模擬角頻率與數字角頻率之間的線性關系缺點：在附近產生混疊失真所以，一般只適用于帶限濾波器，高通、帶阻濾波器不能直接進行變換所以，脈沖響應不變法適用情況：帶限濾波器H(s)要能用部分分式展開成單階極點7/19/202262雙線性變換的含義第一次映射:將整個S平面壓縮到S1平面的一條橫帶內（ -/T, +/T ）第二次映射:將S1平面映射到Z平面雙線性映射的變換式第一次映射：正切變換實現頻率壓縮第二次映射:雙線性變換法的公式

22、：第四節(jié) 雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器7/19/202263S平面S1平面Z平面7/19/202264雙線性變換法的頻率變換關系雙線性變換法幅度和相位特性非線性映射7/19/202265系數關系表 7/19/2022667/19/202267 例 試分別用脈沖響應不變法和雙線性不變法將下圖所示的RC低通濾波器轉換成數字濾波器。 解 首先按照圖寫出該濾波器的傳輸函數Ha(s)為 利用脈沖響應不變法轉換，數字濾波器的系統(tǒng)函數為 利用雙線性變換法轉換，數字濾波器的系統(tǒng)函數H2(z)為7/19/202268H1(z)和H2(z)的網絡結構分別如圖所示數字濾波器H1(z)和H2(z)的幅頻特性

23、7/19/202269 利用模擬濾波器設計IIR數字低通濾波器的步驟1)確定數字低通濾波器的技術指標：通帶截止頻率p、通帶衰減p、阻帶截止頻率s、阻帶衰減s。2)將數字低通濾波器的技術指標轉換成模擬低通濾波器的技術指標。如果采用雙線性變換法，邊界頻率的轉換關系為 3)按照模擬低通濾波器的技術指標設計模擬低通濾波器。 4)將模擬濾波器Ha(s)，從s平面轉換到z平面，得到數字低通濾波器系統(tǒng)函數H(z)。7/19/202270 解 (1) 用脈沖響應不變法設計數字低通濾波器。 數字低通的技術指標為 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模擬低通的技術指標為 T=1s,p=

24、0.2rad/s,p=1dB; s=0.3rad/s,s=15dB例 設計低通數字濾波器，要求在通帶內頻率低于0.2時，幅度誤差不大于1dB；在頻率0.3到之間的阻帶衰減大于15dB。指定采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應不變法和雙線性變換法設計濾波器。7/19/202271 設計巴特沃斯低通濾波器，先計算階數N及3dB截止頻率c。 取N=6。由p和p求得3dB截止頻率c=0.7032rad/s。 根據階數N=6，查表得歸一化傳輸函數為7/19/202272用脈沖響應不變法將Ha(s)轉換成H(z)。首先將Ha(s)進行部分分式，并按脈沖響應不變法得到： 去歸一化：將p=s/c代入Ha(

25、p)中，得實際傳輸函數：7/19/202273 (2) 用雙線性變換法設計數字低通濾波器。 數字低通技術指標仍為 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模擬低通的技術指標為7/19/202274 設計巴特沃斯低通濾波器。階數N計算如下：取N=6。由s和s求c=0.7662rad/s。 查表得歸一化傳輸函數Ha(p)，去歸一化，將p=s/c代入Ha(p)，得實際的Ha(s)7/19/202275 用雙線性變換法將Ha(s)轉換成數字濾波器H(z)：雙線性變換法的幅度特性脈沖響應不變法的幅度特性7/19/202276第五節(jié) 數字高通、帶通和帶阻濾波器設計具體設計步驟如下：

26、1) 確定所需類型數字濾波器的技術指標。2) 將數字濾波器技術指標轉換成相應的模擬濾波器技術指標，轉換公式為3)將所需模擬濾波器指標轉換成模擬低通濾波器技術指標4)設計模擬低通濾波器。5)將模擬低通轉換成所需類型的模擬濾波器。6)采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉換成所需類型的數字濾波器。7/19/202277 例 設計一個數字高通濾波器，要求通帶截止頻率p=0.8rad，通帶衰減不大于3dB，阻帶截止頻率s=0.44rad,阻帶衰減不小于15dB。希望采用巴特沃斯型濾波器。 解 (1)數字高通的技術指標為 p=0.8rad,p=3dB; s=0.44rad,s=15dB (2) 模擬

27、高通的技術指標計算如下： 令T=1，則有7/19/202278(3)模擬低通濾波器的技術指標計算如下： 將p和s對3dB截止頻率c歸一化，這里c=p, (4)設計歸一化模擬低通濾波器G(p)。模擬低通濾波器的階數N計算如下：7/19/202279 查表得到歸一化模擬低通傳輸函數G(p)為 去歸一化，將p=s/c代入上式得到： (5) 將模擬低通轉換成模擬高通。將上式中G(s)的變量換成1/s，得到模擬高通Ha(s)： (6)用雙線性變換法將模擬高通轉換成數字高通H(z)：實際上(5)、(6)兩步可合并成一步，即7/19/202280 例 設計一個數字帶通濾波器，通帶范圍為0.3rad到0.4r

28、ad，通帶內最大衰減為3dB，0.2rad以下和0.5rad以上為阻帶，阻帶內最小衰減為18dB。采用巴特沃斯型模擬低通濾波器。 解 (1)數字帶通濾波器技術指標為 通帶上截止頻率 u=0.4rad 通帶下截止頻率 l=0.3rad 阻帶上截止頻率 s2=0.5rad 阻帶下截止頻率 s1=0.2rad 通帶內最大衰減p=3dB，阻帶內最小衰減s=18dB。 7/19/202281 (2) 模擬帶通濾波器技術指標如下： 設T=1，則有(通帶中心頻率) (帶寬) 將以上邊界頻率對帶寬B歸一化，得到 u=3.348,l=2.348; s2=4.608,s1=1.498; 0=2.8047/19/2

29、02282 (3) 模擬歸一化低通濾波器技術指標： 歸一化阻帶截止頻率歸一化通帶截止頻率p=1p=3dB,s=18dB (4) 設計模擬低通濾波器：查表得歸一化低通傳輸函數G(p)7/19/202283 (5) 將歸一化模擬低通轉換成模擬帶通： (6)通過雙線性變換法將Ha(s)轉換成數字帶通濾波器H(z)。下面將(5)、(6)兩步合成一步計算：將上式代入(5)中的轉換公式，得將上面的p等式代入G(p)中，得 7/19/202284 例 設計一個數字帶阻濾波器，通帶下限頻率l=0.19,阻帶下截止頻率s1=0.198，阻帶上截止頻率s2=0.202，通帶上限頻率u=0.21，阻帶最小衰減s=1

30、3dB，l和u處衰減p=3dB。采用巴特沃斯型。 解 (1) 數字帶阻濾波器技術指標： l=0.19rad,u=0.21rad,p=3dB; s1=0.198rad,s2=0.202rad,s=13dB (2) 模擬帶阻濾波器的技術指標： 設T=1，則有7/19/202285阻帶中心頻率平方為 20=lu=0.421阻帶帶寬為 B=u-l=0.07rad/s 將以上邊界頻率對B歸一化： l=8.786,u=9.786, s1=9.186,s2=9.386; 20=lu=85.98 (3) 模擬歸一化低通濾波器的技術指標： p=1,p=3dB7/19/202286 (4) 設計模擬低通濾波器：(

31、5) 將G(p)轉換成模擬阻帶濾波器Ha(s)： (6) 將Ha(s)通過雙線性變換，得到數字阻帶濾波器H(z)。7/19/202287第六節(jié) IIR 數字濾波器的直接設計法 1. 零極點累試法稱為零極點累試法。在確定零極點位置時要注意：1)極點必須位于單位圓內，保證數字濾波器因果穩(wěn)定；2)復數零極點必須共軛成對，保證系統(tǒng)函數有理式的系數是實的。a)零極點分布； b)幅度特性 7/19/202288 2.頻域幅度平方誤差最小法設計IIR數字濾波器 設IIR濾波器由K個二階網絡級聯(lián)而成，系統(tǒng)函數用H(z)表示， 式中A是常數；ai,bi,ci,di是待求的系數；Hd(e j)是希望設計的濾波器頻

32、響。如果在(0，)區(qū)間取N點數字頻率i,i=1,2,:,N，在這N點頻率上，比較|Hd(e j)|和|H(e j)|，寫出兩者的幅度平方誤差E為第一式中共有(4K+1)個待定的系數，求它們的原則是使E最小。下面研究采用第一式網絡結構，如何求出(4K+1)系數。7/19/202289由上式可知E是(4K+1)個未知數的函數，用下式表示： 上式表示4K個系數組成的系數向量。為推導公式方便，令 為選擇A使E最小，令7/19/202290 設k是 的第k個分量(ak或bk或ck或dk)， 因為 ,式中H*i表示對Hi函數共軛。 將上式具體寫成對ak,bk,ck,dk的偏導，得到：式中，k=1,2,3,

33、:,K；i=1,2,3,:,N。7/19/202291同理求得 由于系統(tǒng)函數是一個有理函數，極、零點均以共軛成對的形式存在，對于極點z1,一定有下面關系：7/19/202292 例 設計低通數字濾波器，其幅度特性如圖所示。截止頻率s=0.1rad。 解 考慮到通帶和過渡帶的重要，在00.2區(qū)間，每隔0.01取一點i值，在0.2區(qū)間每隔0.1取一點i值，并增加一點過渡帶，在=0.1處 |Hd(e j)|=0.5。 1.0,=0,0.01,0.02,:,0.09 0.5,=0.1 0.0,=0.11,0.12,:,0.19 0.0,=0.2,0.3,:,7/19/202293 待求的參數是A，a1,b1,c1,d1。設初始值=(0000.25)T經過90次迭代，求得E=1.2611，系統(tǒng)函數零、極點位置為 零點0.67834430j0.73474418; 極點0.75677793j1.3213916 為使濾波器因果穩(wěn)定，將極點按