第四章-控制系統(tǒng)數(shù)字仿真-課件

1、 返回總目錄 第4章控制系統(tǒng)數(shù)字仿真 數(shù)字仿真是在數(shù)字機(jī)上建立系統(tǒng)模型并利用模型做實(shí)驗(yàn)，所以，進(jìn)行數(shù)字仿真首先要建立描述被仿真系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并將此模型轉(zhuǎn)換成計(jì)算機(jī)可接受的、與原模型等價(jià)的仿真模型，然后編制程序，使模型在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行。本章主要講述數(shù)字仿真的基本理論與方法。連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法 連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，一般都能以微分方程的形式給出，所以，連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)仿真算法問題通?？蓺w結(jié)為如何用計(jì)算機(jī)來求解微分方程的問題。數(shù)值積分法是解決該問題的重要方法之一，例如已知(4.1) 求 連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法解：對(duì)式(4.1)兩邊積分，則當(dāng) 時(shí) 令 則 (4.2)數(shù)值積分法是解決在已知初值的情況下，對(duì) 進(jìn)

2、行近似積分，對(duì) 進(jìn)行數(shù)值求解的方法，在數(shù)學(xué)上稱為微分方程初值問題的數(shù)值方法。連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法一.歐拉法表示函數(shù) 在 和 相鄰兩次采樣時(shí)刻之間的積分。若將此定積分中的 近似看成常數(shù)，即 則 由式(4.2)得即(4.3) 連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法式中， 為計(jì)算步距。 ，1，2， 式為(4.3)著名的歐拉積分公式。歐拉公式計(jì)算簡單，但精度較低，其原因是將 看成常數(shù) ，從而用矩形面積代替準(zhǔn)確的曲面面積 ，形成了較大的誤差面積。為了提高計(jì)算精度產(chǎn)生了梯形法。連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法二. 梯形法梯形法是用梯形的面積近似代替定積分 ，即 式中， ； ，所以 即 (4.4) 連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法從式(4.4)可以

3、看出，用梯形法進(jìn)行數(shù)值積分，會(huì)出現(xiàn)一個(gè)問題：在計(jì)算 時(shí)，先要用去計(jì)算式(4.4)右端的 ，而此時(shí) 還未求出， 顯然，這是不可能實(shí)現(xiàn)的。所以，一般采用歐拉公式先預(yù)報(bào)一個(gè) 然后將預(yù)報(bào) 的代入式(4.4)進(jìn)行校正，求出 ，即 (4.5) 式中， 一般稱式(4.5)為預(yù)報(bào)校正公式。顯然，梯形法比歐拉法精度要高，同時(shí)，每前進(jìn)一個(gè)步距，計(jì)算工作量也比歐拉法約多一倍。連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法 三. 龍格-庫塔法對(duì)于微分方程式(4.1)，若在其初值附近展開成泰勒級(jí)數(shù)，并只取前三項(xiàng)，則有(4.6)設(shè)式(4.1)的解可以寫成如下形式(4.7)連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法將用 二元函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開式展開，并只取前三項(xiàng)，則將 、

4、 代入式(4.7) (4.8)比較式(4.6)與式(4.8)，得連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法 三個(gè)方程中有四個(gè)未知數(shù)，因而解不是唯一的。所以，限定 ，則求出 。代入式(4.7)得寫成一般形式(4.9) 連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法 若在 的假設(shè)下， 時(shí)的準(zhǔn)確解為 ， 為用式(4.9)求得的近似解，則它們之差 ，稱為此時(shí)計(jì)算的截?cái)嗾`差。 式(4.6)只取到泰勒級(jí)數(shù)展開式中 的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，略去了三階以上高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。為紀(jì)念提出該方法的德國數(shù)學(xué)家C. Runge和M. W .Kutta，稱這種計(jì)算方法為二階龍格-庫塔法。其截?cái)嗾`差正比于步長 的三次方，同理若在式(4.6)的計(jì)算中，取到的 三階或四階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，則有相應(yīng)的

5、三階或四階龍格-庫塔法，相應(yīng)的截?cái)嗾`差也應(yīng)正比于 或 。連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法 一般在計(jì)算精度要求較高的情況下，多使用四階龍格-庫塔法。其計(jì)算公式為(4.10) 連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法 將歐拉公式與 的泰勒級(jí)數(shù)展開式比較可知，歐拉公式即泰勒級(jí)數(shù)展開式只取前兩項(xiàng)。而將預(yù)報(bào)校正公式與二階龍格庫塔公式比較，發(fā)現(xiàn)它們完全是一樣的。這樣，通過對(duì)龍格庫塔法的介紹，可將前面講的幾種數(shù)值積分方法統(tǒng)一起來，都可看成是 在初值附近展開成泰勒級(jí)數(shù)所產(chǎn)生的，只是其泰勒級(jí)數(shù)所取項(xiàng)數(shù)的多少不同。歐拉法只取前兩項(xiàng)，梯形法與二階龍格庫塔法取了前三項(xiàng)，四階龍格庫塔法取了前五項(xiàng)。從理論上說，取的項(xiàng)數(shù)越多，計(jì)算精度越高，但相應(yīng)的計(jì)算公

6、式更復(fù)雜，計(jì)算工作量也更大。連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法 以上介紹的幾種數(shù)值積分公式，有一個(gè)共同的特點(diǎn)，在計(jì)算 時(shí)只用到 ，而不直接用 ， ， 各項(xiàng)的值，即在本次計(jì)算中，僅僅用到前一次的計(jì)算結(jié)果，而不需要利用更前面各步的結(jié)果。這類計(jì)算方法稱為單步法。單步法運(yùn)算有下列優(yōu)點(diǎn)：(1) 需要存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)量少，占用的存儲(chǔ)空間少。(2) 只需要知道初值，就可啟動(dòng)遞推公式進(jìn)行運(yùn)算，具有這種能力的計(jì)算方法稱為自啟動(dòng)的計(jì)算方法。(3) 容易實(shí)現(xiàn)變步長運(yùn)算。與單步法相對(duì)應(yīng)的還有一類數(shù)值積分方法，在它的數(shù)值積分公式中，本次計(jì)算不僅利用前一次的計(jì)算結(jié)果，還必須利用更前面各次結(jié)果，此類方法稱為多步法。如四階阿達(dá)姆斯(Adams)

7、積分公式連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法 即是多步法計(jì)算公式。多步法與單步法相比，欲達(dá)到相同精度，計(jì)算工作量較小，從式(4.11)和四階龍格庫塔式(4.10)的比較中可明顯看出。在計(jì)算 時(shí)，式(4.11)只需計(jì)算 ，而 ， ， 已由前三次計(jì)算求出，而四階龍格庫塔公式每前進(jìn)一步都要計(jì)算 ， ， ， ，相當(dāng)于四次計(jì)算右端函數(shù) ，因此在相同的條件下多步法比單步法要快。(4.11)連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法 四. 微分方程數(shù)值積分的矩陣分析方法前面介紹的數(shù)值積分公式，都是以求解單個(gè)典型微分方程 進(jìn)行介紹的。而工程實(shí)際系統(tǒng)中大量的仿真對(duì)象是以一階微分方程組或矩陣微分方程的形式給出，如 或 連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法式中， 在這

8、種情況下，各數(shù)值積分公式顯然應(yīng)采用相應(yīng)的矩陣形式 連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法(1) 歐拉公式(4.12)(2) 梯形公式(4.13) (3) 二階龍格-庫塔公式(4.14)連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法(4) 四階龍格-庫塔公式(4.15)連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法 連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法對(duì)一個(gè) 維向量 ，每前進(jìn)一個(gè)步距 ，至少要求 個(gè) 之值。對(duì)常見的線性定常系統(tǒng) ，四階龍格庫塔法的四個(gè)可表示為 連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法 連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法 對(duì) 維向量 ，取 是有四個(gè)分量的一維矢量，其中 再取 為一零向量，其中 ， 。 則四個(gè)求的公式可合并為一個(gè)公式(4.16) 在以后介紹的程序中，四階龍格庫塔法的計(jì)算將建立在上式的基

9、礎(chǔ)上。連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法 五. 數(shù)值積分方法的計(jì)算穩(wěn)定性 這里所說的數(shù)值積分方法的計(jì)算穩(wěn)定性，在數(shù)學(xué)上是指微分方程初值問題算法的數(shù)值穩(wěn)定性或計(jì)算穩(wěn)定性。由于在系統(tǒng)仿真運(yùn)算階段大量求解微分方程問題時(shí)，實(shí)際上是用不定數(shù)值積分方法求解微分方程的問題。如歐拉法就是在已知 時(shí)，用 完成對(duì)微分方程 的求解。習(xí)慣上將這些方法稱為數(shù)值方法。從穩(wěn)定性理論中，可以知道如何從系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù)去判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。那么，對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的連續(xù)系統(tǒng)，當(dāng)用某數(shù)值積分方法進(jìn)行仿真計(jì)算時(shí)，是否仍然穩(wěn)定呢？先看下面的例子。連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法 【例4.1】 已知微分方程其精確解為 取 ，用歐拉法和四階龍格-庫塔法計(jì)算 時(shí)

10、的 ：連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法 歐拉法 四階龍格-庫塔法 精確解 連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法 顯然，此時(shí)數(shù)值積分法計(jì)算的結(jié)果是錯(cuò)誤的。為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？這是因?yàn)閿?shù)值積分方法只是一種近似方法，它在反復(fù)的遞推運(yùn)算中將引入誤差。若誤差的積累越來越大，將使計(jì)算出現(xiàn)不穩(wěn)定，從而得出錯(cuò)誤的結(jié)果。所以，原系統(tǒng)的穩(wěn)定性與數(shù)值積分法計(jì)算的穩(wěn)定性是不同的兩個(gè)概念。前者用原系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)來討論，后者用逼近微分方程的差分方程來討論。由于選用的數(shù)值積分法不同，即使對(duì)同一系統(tǒng)，差分方程也各不相同，穩(wěn)定性也各不一樣。如何分析數(shù)值積分法的數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定性呢？一般來講，對(duì)高階微分方程的數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定性作全面分析是比較困難的，

11、通常用簡單的一階微分方程來考查其相應(yīng)差分方程的計(jì)算穩(wěn)定性。連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法 微分方程 (4.17) 稱測試方程。據(jù)穩(wěn)定性理論，當(dāng)其特征方程的根在平面的左半平面，即根的實(shí)部 時(shí)，則原系統(tǒng)穩(wěn)定。此時(shí)相應(yīng)的數(shù)值積分法的計(jì)算穩(wěn)定性如何呢？ 連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法 1. 歐拉法的計(jì)算穩(wěn)定性對(duì)式(4.17)按歐拉公式計(jì)算有(4.18) 用式(4.18)計(jì)算的 ，并不是 時(shí)的真值，而只是真值包含了各種誤差的近似值。隨著遞推次數(shù)的增加，此誤差是否會(huì)不斷擴(kuò)大，使 完全不能表示此時(shí)的真值呢？這決定了此差分方程計(jì)算的穩(wěn)定性。為簡化問題的討論，假設(shè)只在 時(shí)刻有誤差引入，這樣 的誤差 僅由 的誤差引起，所以(4.19

12、) 連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法 式(4.19)減式(4.18)得誤差方程同理 當(dāng) ，則 ，表明此算法若在計(jì)算中的某步引入了誤差，隨著計(jì)算步數(shù)的增加，這個(gè)誤差將逐漸擴(kuò)大，以致差分方程的解完全失真。連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法 反之，當(dāng) ，則 隨著計(jì)算步數(shù)的增加，誤差 逐漸減小并趨于零或有界，在這種情況下，稱此差分方程的算法是計(jì)算穩(wěn)定的。顯然，合理的選擇步長使其滿足 ，是保證歐拉法計(jì)算穩(wěn)定的重要條件。連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法 2. 梯形法的計(jì)算穩(wěn)定性對(duì)測試方程按梯形法計(jì)算公式，則 (4.20) 所以 (4.21)連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法 若原系統(tǒng)穩(wěn)定，則根據(jù)穩(wěn)定性理論， 應(yīng)是小于零的實(shí)數(shù)。對(duì)式(4.21)， 取任何正數(shù)

13、都可以保證下式成立：所以 這就表明，某步計(jì)算引入的誤差，將隨著計(jì)算步數(shù)的增加而減小。也就是說，梯形法的計(jì)算在任何步長下都是穩(wěn)定的，是一種絕對(duì)穩(wěn)定的計(jì)算方法。連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法 六. 數(shù)值方法的計(jì)算精度、速度、穩(wěn)定性與步距的關(guān)系從上面的分析可以看出，一般數(shù)值積分方法的穩(wěn)定性與所選用的計(jì)算步距有關(guān)。各種數(shù)值積分方法的差分方程是對(duì)原微分方程的近似逼近，存在明顯的截?cái)嗾`差。且計(jì)算機(jī)的字長有限，計(jì)算只能限制在有限位，將引入舍入誤差。這些誤差都和計(jì)算步距密切相關(guān)，所以計(jì)算步距是影響計(jì)算精度、速度和穩(wěn)定性的重要因素。若步距取得較大，截?cái)嗾`差就會(huì)相應(yīng)地增大；反之，若步距取得較小，截?cái)嗾`差就會(huì)減小，但在給定時(shí)

14、間范圍內(nèi)，計(jì)算次數(shù)必然增加，使舍入誤差積累，相應(yīng)地增加。 連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分方法 這兩種誤差與步距的關(guān)系可用圖4.1表示。從圖中可知，兩種誤差對(duì)步距的要求是矛盾的，但兩者之和有一個(gè)最小值，步距最好能選在最小值。然而，實(shí)際要做到這一點(diǎn)是很困難的。一般只能根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定一個(gè) 附近的合理步長區(qū)，如可將 限制在系統(tǒng)的最小時(shí)間常數(shù)數(shù)量級(jí)上。圖4.1 誤差與步距關(guān)系控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其描述 一. 控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)形式 1. 單輸入-單輸出開環(huán)控制結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖4.2所示。其中控制器、控制對(duì)象等環(huán)節(jié)可用第3章所述任何一種數(shù)學(xué)模型描述, 為參考輸入量, 為控制量, 為輸出量。圖4.2 單輸入-單輸出開環(huán)控制

15、結(jié)構(gòu)圖控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其描述 2. 單輸入-單輸出前饋控制結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖4.3所示。這種結(jié)構(gòu)形式本身仍為開環(huán)控制形式，但為補(bǔ)償輸入引起的誤差，在已知誤差變化規(guī)律的情況下，加入補(bǔ)償環(huán)節(jié)，對(duì)誤差作提前修正。補(bǔ)償環(huán)節(jié)同樣可用任一種數(shù)學(xué)模型描述。圖4.3 單輸入-單輸出前饋控制結(jié)構(gòu)圖控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其描述 3. 單輸入單輸出閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)這是控制系統(tǒng)中應(yīng)用最廣泛的控制結(jié)構(gòu)形式，大多數(shù)控制系統(tǒng)為保證其控制精度、性能指標(biāo)要求，都采用這種閉環(huán)負(fù)反饋形式，如圖4.4所示。該系統(tǒng)控制原理主要是根據(jù)偏差(或誤差)確定控制量，使輸出量按希望的精度變化，減小或消除偏差，即所謂的偏差控制系統(tǒng)。圖中 為偏差量(或誤差

16、量)， 為反饋量。反饋環(huán)節(jié)可用任一種數(shù)學(xué)模型描述。當(dāng)反饋為單位反饋時(shí)，有則偏差控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其描述 圖4.4 單輸入-單輸出閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)圖稱作誤差，而此時(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)稱作單位反饋系統(tǒng)?？刂葡到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其描述 凡是單輸入-單輸出控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)均能方便地表示為圖論中的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)形式，即使系統(tǒng)環(huán)節(jié)再增多，反饋和前饋聯(lián)系再復(fù)雜，表述也很清晰，如圖4.5所示。圖中各環(huán)節(jié)用序號(hào)表示，每個(gè)環(huán)節(jié)都有自己的輸入和輸出變量 和 (1,2,.，6)，對(duì)應(yīng)其相互關(guān)系的數(shù)學(xué)描述，可以是第3章所述形式的任一種。圖4.5 控制系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其描述 4. 多輸入-多輸出控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)若干個(gè)單輸入-單輸出控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

17、形式通過一定方式組合在一起，構(gòu)成了多輸入-多輸出控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式，用來描述較復(fù)雜的多變量控制系統(tǒng)。根據(jù)不同的環(huán)節(jié)組合形式，也有不同的控制結(jié)構(gòu)。如變量和環(huán)節(jié)有單向耦合作用關(guān)系的結(jié)構(gòu)形式見圖4.6(a)、交叉反饋耦合作用關(guān)系的結(jié)構(gòu)形式見圖4.6(b)等。控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其描述 (a) 單向耦合結(jié)構(gòu) (b) 交叉反饋耦合結(jié)構(gòu)圖4.6 多輸入-多輸出控制結(jié)構(gòu)圖控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其描述 二.控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)描述任何一個(gè)復(fù)雜的控制系統(tǒng)，都是由一些簡單的不同類型的典型環(huán)節(jié)采用串聯(lián)、并聯(lián)、反饋等形式組合而成的。若對(duì)常見的一些典型環(huán)節(jié)能準(zhǔn)確地加以定量描述，則復(fù)雜系統(tǒng)的描述也只是復(fù)雜在各部分的相互連接關(guān)系上。采用

18、前述系統(tǒng)關(guān)系描述，把這種連接關(guān)系用相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)出來，就可以得到在計(jì)算機(jī)上能方便運(yùn)行的“仿真模型”。經(jīng)典控制理論中常見的典型環(huán)節(jié)如下所述：控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其描述 (1) 比例環(huán)節(jié) (2) 慣性環(huán)節(jié) 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其描述 (3) 慣性比例環(huán)節(jié) (4) 積分環(huán)節(jié) 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其描述 (5) 比例積分環(huán)節(jié) (6) 二階振蕩環(huán)節(jié) 式中，為阻尼比，01時(shí)，系統(tǒng)為欠阻尼二階振蕩情況； 為無阻尼自然振蕩頻率。 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其描述 (7) 純滯后環(huán)節(jié) 式中，(8) 高階線性環(huán)節(jié)為純滯后時(shí)間?？刂葡到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其描述 式中， , 為分母多項(xiàng)式系數(shù)，亦稱特征多項(xiàng)式系數(shù)； , ,為分子多項(xiàng)式系數(shù)；它們均

19、為反映高階線性環(huán)節(jié)動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能的重要參數(shù)。以上典型環(huán)節(jié)，無論其階次高低，均可應(yīng)用MATLAB語言方便地求出輸入量作用下輸出量的響應(yīng)性能。 和 之間的數(shù)學(xué)表達(dá)關(guān)系可以由傳遞函數(shù) 方便地轉(zhuǎn)化為其他各種形式，如狀態(tài)方程、零極點(diǎn)增益、部分分式等?？刂葡到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其描述 三. 控制系統(tǒng)的連接矩陣 對(duì)圖4.7所表示的線性系統(tǒng)，各環(huán)節(jié)均為線性的，在各自的輸入量 作用下，給出各自的輸出量 ，這種作用關(guān)系是通過各環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)描述體現(xiàn)出來的，其數(shù)學(xué)關(guān)系可以是(4.2.2)節(jié)所述的任何一種。但各環(huán)節(jié)之間存在相互作用， 不是孤立的，只要與其他環(huán)節(jié)有連接關(guān)系，就要受到相應(yīng) 變化的影響。因此，要完整地將系統(tǒng)描述出來，還應(yīng)該

20、分析各環(huán)節(jié)輸出 對(duì)其他環(huán)節(jié)有無輸入作用，才能完整地進(jìn)行仿真分析。 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其描述圖4.7 控制系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其描述 根據(jù)圖4.7中 、 的連接關(guān)系，可逐個(gè)寫出每個(gè)環(huán)節(jié)輸入 受哪些環(huán)節(jié)輸出 的影響，現(xiàn)列寫如下：(4.22) 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其描述 引入向量 則式(4.22)可表示為控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其描述 即 式中， 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其描述 式中，W為連接矩陣，nn型，矩陣中元素清楚地表示出各環(huán)節(jié)之間的連接關(guān)系，W0為輸入連接矩陣，nm型(當(dāng)參考輸入為m維時(shí))，陣中元素表示環(huán)節(jié)與參考輸入之間的連接關(guān)系。仔細(xì)研究連接矩陣W，可從其元素值直接看出各環(huán)節(jié)之間的連接情況，即wij0，

21、環(huán)節(jié)j不與環(huán)節(jié)i相連；wij 0，環(huán)節(jié)j與環(huán)節(jié)i有連接關(guān)系；wij 0，環(huán)節(jié)j與環(huán)節(jié)i直接相連(wij=1)或通過比例系數(shù)相連(wij為任意正實(shí)數(shù))；wij 0，環(huán)節(jié)j與環(huán)節(jié)i直接負(fù)反饋相連(wij=-1或通過比例系數(shù)負(fù)反饋相連(wij為任意負(fù)實(shí)數(shù))；wii 0，環(huán)節(jié)i單位自反饋(wii=l或wii=-1)或通過比例系數(shù)自反饋(wii為任意實(shí)數(shù))。面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 一. 典型閉環(huán)系統(tǒng)的數(shù)字仿真 1. 典型閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式控制系統(tǒng)最常見的典型閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖4.8所示。其中面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 圖4.8 典型閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 2. 系統(tǒng)仿真模型與求解思路所謂仿真模型是指經(jīng)一

22、定方式把數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為便于在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行的表達(dá)形式。這種表達(dá)形式往往是一些適合于具體編程實(shí)現(xiàn)的數(shù)學(xué)關(guān)系式。對(duì)圖4.8所示系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，可按照能控標(biāo)準(zhǔn)型寫出其開環(huán)狀態(tài)方程(4.23) 式中,面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 其中， ， 矩陣中， ， ，( 1,2,， 0,1,，, )為式(3.4)首一化后分母、分子各系數(shù)，即 ， , 且 。由圖又知，控制量 ，代入式(4.23)得再由，則(4.24)即得系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)方程，其中為系統(tǒng)閉環(huán)系數(shù)矩陣，而輸入矩陣B和輸出矩陣C不變。這就是圖4.8系統(tǒng)的仿真模 面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 仿真模型一旦確立，就可以考慮求解與編程實(shí)現(xiàn)。觀察式(4.24)可知，該式其實(shí)為一

23、個(gè)一階微分方程組的矩陣表達(dá)形式，而數(shù)值積分法最適宜解一階微分方程，當(dāng)采用四階龍格庫塔法求解此閉環(huán)狀態(tài)方程時(shí)，其步驟如下：對(duì) 知此為對(duì)應(yīng) 個(gè)狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù) 的n維向量表達(dá)式。其中，r為隨時(shí)間變化的已知輸入函數(shù)。于是，當(dāng)求 解過程進(jìn)行到 時(shí)刻，欲求 時(shí)刻各量，需先求面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 以上各系數(shù) 、 、 、 可認(rèn)為是對(duì)應(yīng)維狀態(tài)變量在時(shí)刻的四組斜率，每組為維斜率向量，即每組個(gè)龍格庫塔系數(shù)。面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 最后，再由 求得 時(shí)刻狀態(tài) ，立即可得輸出相應(yīng)時(shí)刻值按以上算式，取k0，1，2，N不斷遞推，即求得所需時(shí)刻各點(diǎn)的狀態(tài)變量 和輸出量 。面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 3仿真程序框圖與實(shí)現(xiàn)基于以上仿

24、真模型和求解思路，我們可以著手考慮面向這類典型閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的仿真程序的編制與實(shí)現(xiàn)。作為系統(tǒng)仿真程序，使用時(shí)應(yīng)盡可能方便，使用者只要將開環(huán)傳遞函數(shù) 的分母、分子各系數(shù) ， 和反饋系數(shù)輸入計(jì)算機(jī)，計(jì)算機(jī)就掌握了有關(guān)該系統(tǒng)的基本信息模型參數(shù)。然后求取首一化表達(dá)形式，以及形成開、閉環(huán)狀態(tài)方程各矩陣等步驟均由仿真程序自動(dòng)完成，無需人工干預(yù)。因此，程序應(yīng)有輸入數(shù)據(jù)模塊和初始化程序模塊。面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 在參考輸入函數(shù) 的作用下，系統(tǒng)輸出 開始隨時(shí)間變化，仿真程序應(yīng)能按照給定的計(jì)算步長，采用已確定的數(shù)值算法，對(duì)系統(tǒng)中各狀態(tài)變量和輸出逐點(diǎn)變化情況進(jìn)行求解運(yùn)算。這部分模塊是整個(gè)仿真程序的核心部分，計(jì)算

25、速度、精度誤差均取決于它。通常稱為運(yùn)行程序模塊。在使用者規(guī)定的時(shí)間范圍內(nèi)，將計(jì)算數(shù)據(jù)按照一定要求存儲(chǔ)，并在仿真結(jié)束時(shí)，按使用者指定格式輸出仿真結(jié)果，以便對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析研究，這就是所謂的輸出程序模塊。綜上所述，構(gòu)成一個(gè)完整的仿真程序必須至少建立：輸入數(shù)據(jù)塊、初始化塊、運(yùn)行計(jì)算塊、輸出結(jié)果塊四個(gè)子程序模塊，才能正常地完成仿真任務(wù)。面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 1) 程序框圖程序框圖如圖4.9所示。圖4.9 典型閉環(huán)系統(tǒng)的仿真程序框圖面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 2) 程序語句用MATLAB語言編制的程序語句如下： EXP4-1.M % 輸入數(shù)據(jù) aao,a1，an； %n1維分母系數(shù)向量 bb0,b1,.,bm；

26、 %ml維分子系數(shù)向量 XOx10,x20,.,xn0； %狀態(tài)向量初值 VVo ； %反饋系數(shù) nno ； %系統(tǒng)階次 T0=t0； %起始時(shí)間 Tf=tf； %終止時(shí)間 h=h0； %計(jì)算步長 R=r %階躍輸入函數(shù)的幅值 % 形成開、閉環(huán)系數(shù)矩陣面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真B=b/a(1)；a=a/a(1)；A=a(2:n+1) %首一化處理A=rot90(rot90(eye(n-1,n)；-fliplr(A)；%形成能控標(biāo)準(zhǔn)形A陣B=zeros(1,n-1)，1； %形成輸入矩陣B(n維列向量)m1=length(b)； %分子系數(shù)向量維數(shù)m+1C=fliplr(b),zeros(1,n-m1

27、)； %形成輸出矩陣C(n維行向量)=A-B*C*V； %形成閉換系數(shù)矩陣X=X0；y=0；t=T0； %設(shè)初值，準(zhǔn)備開始遞推運(yùn)算% 運(yùn)算求解N=round(Tf-T0)/h)； %確定輸出點(diǎn)數(shù)For i=1:N %四階龍格-庫塔法 K1=*X+B*R K2=*(X+h*K1/2)+B*R； K3=*(X+h*K2/2)+B*R； K4=*(X+h*K3)+B*R %求各系數(shù)K X=X+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6 %求狀態(tài) y=y,C*X； %求輸出并以向量形式保存 t=t,t(i)+h； %輸出對(duì)應(yīng)時(shí)刻以列向量形式保存end % 輸出結(jié)果 t,y %輸出數(shù)據(jù)形式結(jié)果 plot

28、(t,y) %輸出曲線形式結(jié)果 面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真以上即為采用MATLAB語言實(shí)現(xiàn)面向典型閉環(huán)系統(tǒng)數(shù)字仿真的程序。上面程序中用到了幾個(gè)MATLAB語言的特殊功能，使得程序較為簡練。簡要說明如下：eye(m,n) 產(chǎn)生mn型 陣，即主對(duì)角元素均為1，其余元素為零的長方陣length() 求取括號(hào)內(nèi)向量的維數(shù)zeros(m,n) 產(chǎn)生mn型零陣rot90() 將括號(hào)內(nèi)矩陣左轉(zhuǎn)90fliplr() 將括號(hào)內(nèi)矩陣或向量左右翻轉(zhuǎn)round() 對(duì)括號(hào)內(nèi)運(yùn)算取整plot(t,y) 將打印為橫軸，為縱軸的曲線 面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真【例4.2】 求圖4.10所示系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 的數(shù)值解。 圖4.10 控制系

29、統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 解：該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式為典型閉環(huán)控制系統(tǒng)，用EXP4-1.M求解過程如下：(1) 取開環(huán)放大系數(shù)k=1，反饋系數(shù)v=1，階躍輸入幅值r=1。(2) 利用MATLAB語言中conv()卷積函數(shù)功能，先將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 化為要求的傳遞函數(shù)形式的分母、分子多項(xiàng)式，系數(shù)向量為 和 。(3) 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)向量初值 均為零。(4) 系統(tǒng)運(yùn)行參數(shù) ， ， ， 。面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真(5) 按以上步驟和參數(shù)，在MATLAB語言環(huán)境下，輸入以下命令語句： k=1； a=conv(1 0 0,conv(0.25 1,0.25 1)； a= 0.0625 0.5000 1.0000 0.0

30、000 0.0000 b=2*k k b= 2 1X0=0 0 0 0v=1；n=4；T0=0；Tf=10；h=0.25；R=1；EXP4-1.M % 運(yùn)行EXP4-1.M仿真程序Plot(t,y) % 輸出曲線形式結(jié)果(見圖4.11) 面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 圖4.11 輸出響應(yīng) 曲線面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 二. 復(fù)雜連接的閉環(huán)系統(tǒng)數(shù)字仿真 實(shí)際工程中常常遇到的是復(fù)雜結(jié)構(gòu)形式的控制系統(tǒng)，這些控制系統(tǒng)是由若干典型環(huán)節(jié)按照一定規(guī)律連接而成的，可用前述的形式將其描述為復(fù)雜連接的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。要采用上節(jié)所述方法仿真，必須先將復(fù)雜結(jié)構(gòu)圖簡化成為圖4.8的典型結(jié)構(gòu)式，求出開環(huán)傳遞函數(shù)，然后運(yùn)用上節(jié)程序進(jìn)行

31、仿真分析。但存在如下問題：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，內(nèi)部存在交叉耦合、局部回環(huán)等情況時(shí)，化簡并非易事，尤其通過手工化簡使工作量陡增；有時(shí)在分析中，還需要得知結(jié)構(gòu)圖中某些環(huán)節(jié)的輸出變量情況，若經(jīng)過化簡消去這些環(huán)節(jié)，則不便進(jìn)行觀察分析；在分析中常常需要改變某個(gè)參數(shù)，觀察其對(duì)輸出的影響，但改動(dòng)一個(gè)參數(shù)值，就有可能需將所有開環(huán)傳遞函數(shù)分子、分母系數(shù)統(tǒng)統(tǒng)重新計(jì)算再次輸入計(jì)算機(jī)，很不方便；對(duì)實(shí)際系統(tǒng)中存在的非線性情況，更是無法加以考慮。鑒于以上原因，編制面向復(fù)雜連接的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的系統(tǒng)仿真程序，必須使其能克服上節(jié)仿真程序的不足之處且應(yīng)該具有以下特點(diǎn)：(1) 可按照系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖輸入各環(huán)節(jié)參數(shù)，對(duì)應(yīng)關(guān)系明確，改變參數(shù)方便

32、。(2) 可方便地觀察各環(huán)節(jié)輸出動(dòng)態(tài)響應(yīng)。(3) 各環(huán)節(jié)存在非線性特性時(shí)易于處理。面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 1典型環(huán)節(jié)的二次模型化復(fù)雜連接閉環(huán)系統(tǒng)數(shù)字仿真程序的基本思路是：與實(shí)際系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖相對(duì)應(yīng)，在計(jì)算機(jī)程序中也應(yīng)能方便地給出表示各實(shí)際環(huán)節(jié)的典型環(huán)節(jié)，并將環(huán)節(jié)之間的連接關(guān)系輸入計(jì)算機(jī)，由計(jì)算機(jī)程序自動(dòng)形成閉環(huán)狀態(tài)方程，運(yùn)用數(shù)值積分方法求解響應(yīng)。因此，選定典型環(huán)節(jié)是很重要的，要使其既具有代表性，又不致于造成輸入數(shù)據(jù)復(fù)雜煩瑣?？紤]控制系統(tǒng)典型環(huán)節(jié)有以下幾種情況。比例環(huán)節(jié)： 積分環(huán)節(jié)： 面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 比例積分： 慣性環(huán)節(jié)： 一階超前滯后環(huán)節(jié)： 二階振蕩環(huán)節(jié)： 面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 可見，除二階

33、振蕩環(huán)節(jié)外，都是一階環(huán)節(jié)，完全可用一個(gè)通用一階環(huán)節(jié)(見圖4.12)表示，即圖4.12 典型一階環(huán)節(jié)(4.25)式中， 為第i個(gè)環(huán)節(jié)的輸出； 為第i個(gè)環(huán)節(jié)的輸入；n為系統(tǒng)中的環(huán)節(jié)數(shù)(也就是系統(tǒng)的階次)。而二階振蕩環(huán)節(jié)可以化為如圖4.13方式連接而成的等效結(jié)構(gòu)圖。面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 由圖可見，二階振蕩環(huán)節(jié)完全可以用一階環(huán)節(jié)等效連接得到。因此，選定式(4.25)作為組成復(fù)雜系統(tǒng)仿真模型的典型環(huán)節(jié)是適合的。圖4.13 二階振蕩環(huán)節(jié)的等效結(jié)構(gòu)圖面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 設(shè)：輸入向量 ，其中各分量表示各環(huán)節(jié)輸入量；輸出向量 ，其中各分量表示各環(huán)節(jié)輸出量； 模型參數(shù)矩陣為于是系統(tǒng)中所有環(huán)節(jié)輸出、輸入關(guān)系用矩陣

34、表示如下:面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 2系統(tǒng)的連接矩陣與仿真求解1) 連接矩陣僅把系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)描述出來還不夠，要進(jìn)行數(shù)值積分求解，還必須把各環(huán)節(jié)之間的相互作用關(guān)系清楚地表達(dá)出來，這種表達(dá)是通過建立本章第4.2節(jié)所述的連接矩陣實(shí)現(xiàn)的。為說明問題，現(xiàn)舉例說明如下：圖4.14 某閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖4.14所示，圖中編號(hào)1、2、3表示三個(gè)典型環(huán)節(jié)， 、 為環(huán)節(jié)間直接作用的比例系數(shù)。各環(huán)節(jié)輸入 與輸出 的關(guān)系為 整理為矩陣形式得 (4.27) 面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 式中,(4.28) 面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 2) 求系統(tǒng)的解將式(4.27)代入式(4.26)，則整理，得為避免輸入

35、函數(shù)為階躍函數(shù)時(shí),初始點(diǎn)導(dǎo)數(shù) , 為階躍函數(shù))為無窮大，要求使 ，則即 面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 式中，若Q矩陣的逆矩陣 存在，則式(4.29)兩邊同時(shí)左乘 ，得即 式中， (4.30)面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 式(4.30)是典型的一階微分方程組矩陣形式，利用4.3.1節(jié)介紹的求解方法，可方便地求出各環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)。然而，建立系統(tǒng)仿真模型還應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1) 存在的條件。為了分析 存在的條件，分析圖4.15所示例子。圖4.15 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 由于Q陣中有兩列全為零，所以 不存在。其原因在于它的第一個(gè)環(huán)節(jié)為純比例環(huán)節(jié)，第三個(gè)環(huán)節(jié)為純微分環(huán)節(jié)，按典型環(huán)節(jié)給出的

36、方程分別為顯然不是微分方程而是代數(shù)方程，因而使 不存在。為避免系統(tǒng)中出現(xiàn)代數(shù)方程，必須保證系統(tǒng)中所有環(huán)節(jié)的 ，從而使環(huán)節(jié)能用微分方程給出。從數(shù)學(xué)上說，因?yàn)?， 保證了B非奇異，即使此時(shí) ，也可保證Q非奇異。所以當(dāng)系統(tǒng)中出現(xiàn)純比例、純微分這類使 的環(huán)節(jié)時(shí)，則應(yīng)設(shè)法與其他環(huán)節(jié)合并處理，或設(shè)法化為系統(tǒng)可接受的環(huán)節(jié)。面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 (2) 的條件 當(dāng)被仿真系統(tǒng)的輸入函數(shù)有階躍函數(shù)時(shí)，階躍函數(shù)在t=0點(diǎn)的 ,此時(shí)若 ,將使微分方程中的 為無窮大。使無解。為避免出現(xiàn)這種情況，要求 。由于D為NN對(duì)角陣， 為NR矩陣，而 中只有承受輸入作用的那些環(huán)節(jié)的 ，其余都為零。面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 要使 ，只要

37、被輸入函數(shù)作用的那些環(huán)節(jié)的 即可。面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 3仿真程序框圖與實(shí)現(xiàn)根據(jù)前面分析，在已建立的仿真模型基礎(chǔ)上，用MATLAB語言編程實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)仿真。具體實(shí)現(xiàn)時(shí)應(yīng)注意采取合理的方法。l) 系統(tǒng)參數(shù)輸入方法為利用MATLAB語言的矩陣處理功能，系統(tǒng)參數(shù)輸入按各環(huán)節(jié) 輸入?yún)?shù)矩陣P。如然后由程序自動(dòng)形成式(4.26)中A、B、C、D各矩陣和式(4.30)中閉環(huán)狀態(tài)方程各系數(shù)矩陣。面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 2) 連接矩陣輸入方法連接矩陣W和 中大量的元素是零元素，而表示連接關(guān)系的 非零元素并不多。因此，程序中采用只輸入非零元素的方式，可大大加快輸入速度，輸入后由程序內(nèi)部自動(dòng)形成完整的連接矩陣W和 ，具

38、體方法是建立非零元素矩陣 (m3型)，將非零元素按照i，j， 次序逐行輸入。其中，i為被作用環(huán)節(jié)號(hào)；j為作用環(huán)節(jié)號(hào)； 為作用關(guān)系值(連接系數(shù))；m為非零元素個(gè)數(shù)(包括 陣中非零元素)。例如，按照?qǐng)D4.14和式(4.28)，相應(yīng) 的應(yīng)按如下格式寫出：面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 3) 程序框圖程序框圖如圖4.16所示。框圖中四階龍格-庫塔法求解部分完全可調(diào)用4.2節(jié)程序EXP4-1.M中的運(yùn)行程序模塊。面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 4) 程序?qū)崿F(xiàn)采用MATLAB語言編程實(shí)現(xiàn)。 % 輸入數(shù)據(jù) Pa1，b1，cl，dl； a2，b2，c2，d2； ； an，bn，cn，dn； %各環(huán)節(jié)參數(shù)輸入

39、 ； %連接陣非零元素輸入nno； %環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)系統(tǒng)階次Y0y0 %階躍輸入幅值Yt0y10，y20，yn0 %各環(huán)節(jié)初值hh0 %計(jì)算步長Lll1 %打印間隔點(diǎn)數(shù)(每隔點(diǎn)l1輸出一次) TO=t0 Tftf noutnput %輸出環(huán)節(jié)編號(hào) % 形成閉環(huán)各系數(shù)陣面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 Adiag(P(:,1)；Bdiag(P(:,2)； Cdiag(P(:,3)；Ddiag(P(:,4)； mlength(Wij(:,1)； %求非零元素個(gè)數(shù) W0zeros(n,1)；Wzeros(n,n)；%建立初始W(nn型方陣)、W0陣(n維列向量)For k=l : m if (Wij(k,2)O):

40、WO(Wij(k,1)Wij(k,3)； else W(Wij(k,l)，(Wij(k,2)Wij(k,3)； end； end； %求Wo陣和W陣 ； ； %求和陣 ； ； %求和陣 ； ； %形成閉環(huán)系數(shù)陣面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 % 數(shù)值積分求解YYtO；yY(nout)；t=T0； %置初值，做好求解準(zhǔn)備Nround(Tf-TO)(h*Ll)； %總輸出點(diǎn)數(shù)for il: N； %每循環(huán)一次，輸出一點(diǎn)數(shù)據(jù)for j1: L1； %每輸出點(diǎn)之間計(jì)算Ll次(調(diào)用四階龍格-庫塔法程序塊，求解end；yy,Y(nout)； %保存輸出環(huán)節(jié)動(dòng)態(tài)響應(yīng)值tt,t(i)+h*L1； %保存時(shí)間向量end

41、；% 輸出結(jié)果t,y %輸出響應(yīng)數(shù)據(jù)plot(t,y) %輸出響應(yīng)圖形同樣，在以上程序語句中用到了以下MATLAB語言提供的特殊功能函數(shù)： diag( )； %產(chǎn)生以括號(hào)內(nèi)向量元素作為主對(duì)角元素的對(duì)角陣 P(:,I)； %取P陣中第I列的所有元素作為單獨(dú)列向量若需要觀察其他環(huán)節(jié)動(dòng)態(tài)響應(yīng)，可重新輸入 值，再次運(yùn)行程序，即可得到另一環(huán)節(jié)輸出變化曲線、數(shù)據(jù)。面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 4計(jì)算步長的選擇程序中采用固定步長計(jì)算方法，即計(jì)算步長 是固定不變的，這樣計(jì)算過程簡便，誤差也在工程設(shè)計(jì)允許范圍之內(nèi)。通?？砂匆韵陆?jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)選擇四階龍格-庫塔法的步長值。為系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的剪切頻率； 為系統(tǒng)階躍響應(yīng)的上升時(shí)間

42、； 為系統(tǒng)階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時(shí)間(過渡過程時(shí)間)。 或面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真 若系統(tǒng)中有局部閉環(huán)，則以上各值應(yīng)按響應(yīng)速度最快的局部閉環(huán)考慮。當(dāng) 、 大致能估計(jì)范圍時(shí)，以上經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)意味著，為充分反映系統(tǒng)響應(yīng)開始階段變化較快的情況，在 內(nèi)至少應(yīng)計(jì)算10個(gè)點(diǎn)；或?yàn)槿娣从诚到y(tǒng)響應(yīng)整個(gè)過渡過程變化情況，在 內(nèi)至少應(yīng)計(jì)算40個(gè)點(diǎn)。此外，還應(yīng)注意到， 的選取應(yīng)小于系統(tǒng)中最小時(shí)間常數(shù) 的兩倍，即 以保證數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性，得到較可靠的結(jié)果。連續(xù)系統(tǒng)的離散相似法 差分方程是描述離散(采樣)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，其主要特點(diǎn)是方程中各變量由各相鄰時(shí)刻的變化量(差分及高階差分關(guān)系)制約，方程一旦列出，就相當(dāng)于得到遞推方程。從

43、初始時(shí)刻開始，可以遞推求出各離散時(shí)刻的狀態(tài)變量值。因此，在一定條件下，將連續(xù)系統(tǒng)的微分方程形式的狀態(tài)方程轉(zhuǎn)化為差分方程形式的狀態(tài)方程組，就可以達(dá)到不必采用數(shù)值積分求解的目的。連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化方法在控制理論課程中已有詳細(xì)敘述，這里從數(shù)字仿真的角度簡要重述如下。連續(xù)系統(tǒng)的離散相似法 1連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化設(shè)連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為為狀態(tài)初始值(4.31)則由現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)可知，狀態(tài)變量的解為即(4.32) 連續(xù)系統(tǒng)的離散相似法 這就是控制理論中介紹的線性時(shí)不變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程， 稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。若將該系統(tǒng)進(jìn)行離散化處理，并取相鄰兩采樣時(shí)刻為KT和(k+1)T，則其狀態(tài)變量的值為(4.33)

44、(4.34) 為使此關(guān)系式能用遞推形式給出，用式(4.34)- *式(4.33)得連續(xù)系統(tǒng)的離散相似法 取 進(jìn)行變量代換，則若采用零階保持器，在相鄰兩個(gè)采樣時(shí)刻輸入信號(hào)保持不變，即 ， ，如圖4.17所示。則此時(shí)(4.35)連續(xù)系統(tǒng)的離散相似法 圖4.17 兩采樣時(shí)刻之間 的變化若希望遞推公式精度更高些，應(yīng)該考慮到在兩次采樣時(shí)刻kT和(k+1)T之間 一直在變化，用一階保持器近似更為合理，如圖4.17所示。連續(xù)系統(tǒng)的離散相似法 a1)if(UxO)Uya1；else Uy-a1；endelse UyUx；end非線性系統(tǒng)的數(shù)字仿真 2) 死區(qū)非線性圖4.22所示死區(qū)非線性環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)描述為圖4.

45、22 死區(qū)非線性環(huán)節(jié)非線性系統(tǒng)的數(shù)字仿真 相應(yīng)仿真框圖如圖4.23。據(jù)此，也可編制MATLAB程序如下：function Uydead(Ux，al) if(abs(Ux)al) if(Ux0) UyUx-a1； else Uy=Uxa1； end else Uy=O； end圖4.23 死區(qū)非線性環(huán)節(jié)仿真框圖非線性系統(tǒng)的數(shù)字仿真 3) 滯環(huán)非線性圖4.24所示滯環(huán)非線性環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)描述為圖4.24 滯環(huán)非線性環(huán)節(jié)非線性系統(tǒng)的數(shù)字仿真 式中， 表示非線性環(huán)節(jié)前一次的輸出值。從式中可知，要正確地給 賦值，需要判斷 、 的變化率大小。而這要通過與所存儲(chǔ)的 、 的前一點(diǎn)值 、 相比較來實(shí)現(xiàn)。即，若有_0

46、則認(rèn)為 ，再由( - )決定輸出是取直線值，還是保持前次值 。而 - Uxb) %輸入U(xiǎn)x增大 if(Ux-a1)=Uyb) %輸出Uy也增大 Uy=Ux-a1； %輸出Uy取直線上值 else Uy=Uyb %輸出Uy沒有增大，則保持前次值 end else if(UxUxb) %輸入U(xiǎn)x減小 if(Ux+a1)h，且T為h的整倍數(shù)最便于處理。在每個(gè)采樣周期kT時(shí)刻，離散環(huán)節(jié)信號(hào)的作用經(jīng)實(shí)際采樣開關(guān)傳遞到連續(xù)部分，并保持一個(gè)周期。在這段周期內(nèi)以步長t=h計(jì)算連續(xù)部分各環(huán)節(jié)的變化情況，直到下一采樣周期時(shí)刻t=(k+1)T，發(fā)生變化了的新的離散環(huán)節(jié)信號(hào)再次傳遞給連續(xù)部分，如此循環(huán)，直至 仿真過程

47、結(jié)束。其仿真框圖如圖4.35所示。計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真 圖4.35 連續(xù)部分采樣環(huán)節(jié)離散化方法的仿真框圖 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真 3. 控制器設(shè)計(jì)為連續(xù)系統(tǒng)環(huán)節(jié)D(s)采樣系統(tǒng)的控制器有時(shí)設(shè)計(jì)為連續(xù)系統(tǒng)環(huán)節(jié)形式，其傳遞函數(shù)為D(s)(如各類有源、無源校正網(wǎng)絡(luò)等)，但其發(fā)生的作用又是每相隔一個(gè)采樣周期T才經(jīng)采樣開關(guān)傳遞給控制對(duì)象連續(xù)部分。在T時(shí)刻內(nèi)，D(s)、 同時(shí)都在按照自己的規(guī)律連續(xù)變化，如圖4.36所示。圖4.36 控制器為D(s)形式的典型結(jié)構(gòu)圖計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真 仿真框圖如圖4.37所示。圖4.37 控制器為D(s)形式的系統(tǒng)仿真框圖計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真 三. 采樣控制系統(tǒng)仿真程序?qū)崿F(xiàn) 1. 高階差分方程的仿真程序若采樣系統(tǒng)直接給出輸入/輸出閉環(huán)Z傳遞函數(shù)形式，即一般總有，則相應(yīng)差分方程為高階差分方程。解該方程，立即可得系統(tǒng)的采樣時(shí)刻輸出響應(yīng)y(k)。計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真 若分別得到控制器Z傳遞函數(shù)D(z)和控制對(duì)象Z傳遞函數(shù) ，則需求解一組高階差分方程可見，以上算法最終都?xì)w結(jié)為求解高階差分方程問題。在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)高階差分方程的求解程序，應(yīng)當(dāng)注意以下問題：計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真 (1) 建立向量存儲(chǔ)單元，保存和記憶輸入 、輸出 前若干時(shí)刻的值 , ,和 , 。(2) 每運(yùn)算一個(gè)時(shí)刻值后，要及時(shí)刷新和摒棄相應(yīng)的存儲(chǔ)單元內(nèi)容。即只保留 及其前m個(gè)時(shí)刻