9.1.2　分層隨機(jī)抽樣

1、分層隨機(jī)抽樣學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng).通過(guò)實(shí)例，了解分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn) 和適用范圍.（重點(diǎn)）. 了解分層隨機(jī)抽樣的必要性，掌握 各層樣本量比例分配的方法.（重點(diǎn)，難 點(diǎn)）.結(jié)合具體實(shí)例，掌握分層隨機(jī)抽樣的 樣本均值.（重點(diǎn)）.通過(guò)對(duì)分層隨機(jī)抽樣的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué) 生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).通過(guò)對(duì)分層隨機(jī)抽樣的應(yīng)用，培養(yǎng) 學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)。擺新MZIZHUVOXI TAZXIZNHIL新知初探二.分層隨機(jī)抽樣的相關(guān)概念（1）分層隨機(jī)抽樣的定義：一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成假設(shè)干個(gè) 子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨 機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總

2、樣本,這樣的抽樣方法稱 為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層.（2）比例分配：在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例, 那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.樣本平均數(shù)的計(jì)算公式在分層隨機(jī)抽樣中，第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M和N,抽取的 樣本量分別為根和，第1層和第2層樣本的平均數(shù)分別為7和7,那么樣本的 平均數(shù) 也旦 _ M 旦 一C-m+n思考1:分層隨機(jī)抽樣的總體具有什么特性？提示分層隨機(jī)抽樣的總體按一個(gè)或多個(gè)變量劃分成假設(shè)干個(gè)子總體，并且每一個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體.思考2：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層隨機(jī)抽樣有什么區(qū)別和聯(lián)系？提示區(qū)別：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是從總體中逐個(gè)抽取樣本；分

3、層隨機(jī)抽樣那么首 先將總體分成幾層，在各層中按比例分配抽取樣本.聯(lián)系：（1）抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等；（2）每次抽出個(gè)體后不再將它放回，即不放回抽樣.g初試.某林場(chǎng)有樹(shù)苗30 000棵，其中松樹(shù)苗4 000棵.為調(diào)查樹(shù)苗的生長(zhǎng)情況, 采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為150的樣本，那么樣本中松樹(shù)苗的數(shù)量為 （）A. 30B. 25C. 20D. 15C 樣本中松樹(shù)苗為4 000X不儒=4 000X+ =20（棵）. JU UUU乙UU2.某校高三年級(jí)有男生500人，女生400人，為了解該年級(jí)學(xué)生的健康狀 況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進(jìn)行調(diào)查.這種抽樣方法 是

4、（）A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.抽簽法C.隨機(jī)數(shù)表法D.分層隨機(jī)抽樣D 從男生500人中抽取25人，從女生400人中抽取20人，抽取的比例相 同，因此用的是分層隨機(jī)抽樣.3.某學(xué)院的A, B, C三個(gè)專業(yè)共有1 200名學(xué)生，為了調(diào)查這些學(xué)生勤工 儉學(xué)的情況，擬采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為120的樣本.該學(xué) 院的A專業(yè)有380名學(xué)生，3專業(yè)有420名學(xué)生，那么在該學(xué)院的。專業(yè)應(yīng)抽取 名學(xué)生.40 C專業(yè)的學(xué)生有1 200380420=400（名），由分層隨機(jī)抽樣原理，應(yīng) 抽取120義器/=40（名）.1UU合作探究。提素養(yǎng)HEZUOTANIIU TISUY ANG4芝型1對(duì)分層隨機(jī)抽樣概念的理

5、解例1 (1)某政府機(jī)關(guān)在編人員共100人，其中副處級(jí)以上干部10人， 一般干部70人，工人20人，上級(jí)部門為了了解該機(jī)關(guān)對(duì)政府機(jī)構(gòu)改革的意見(jiàn)， 要從中抽取20人，用以下哪種方法最合適()A.抽簽法法B.隨機(jī)數(shù)法C.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法D.分層隨機(jī)抽樣法(2)分層隨機(jī)抽樣又稱類型抽樣，即將相似的個(gè)體歸入一類(層)，然后每類抽 取假設(shè)干個(gè)個(gè)體構(gòu)成樣本，所以分層隨機(jī)抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能抽樣，必須進(jìn) 行()A.每層等可能抽樣B.每層可以不等可能抽樣C.所有層按同一抽樣比等可能抽樣D.所有層抽取的個(gè)體數(shù)量相同(1)D (2)C (1)總體由差異明顯的三局部構(gòu)成，應(yīng)選用分層隨機(jī)抽樣法.(2)保證每個(gè)個(gè)體等

6、可能的被抽取是三種基本抽樣方式的共同特征，為了保 證這一點(diǎn)，分層隨機(jī)抽樣時(shí)必須在所有層都按同一抽樣比等可能抽取.規(guī)律方法.使用分層隨機(jī)抽樣的前提分層隨機(jī)抽樣的總體按一個(gè)或多個(gè)變量劃分成假設(shè)干個(gè)子總體，并且每一個(gè)個(gè) 體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，而層內(nèi)個(gè)體間差異較小.使用分層隨機(jī)抽樣應(yīng)遵循的原那么(1)將相似的個(gè)體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉, 即遵循不重復(fù)、不遺漏的原那么；(2)分層隨機(jī)抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)行簡(jiǎn)單隨 機(jī)抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個(gè)體數(shù)量的比等于抽樣比.領(lǐng)跟蹤訓(xùn)練.1.以下問(wèn)題中，最適合用分層隨機(jī)抽樣抽取樣本的是()A.從10名同學(xué)中抽取

7、3人參加座談會(huì)B.某社區(qū)有500個(gè)家庭，其中高收入的家庭125戶，中等收入的家庭280 戶，低收入的家庭95戶，為了了解生活購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容 量為100戶的樣本C.從1000名工人中，抽取100人調(diào)查上班途中所用時(shí)間D.從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量B A中總體所含個(gè)體無(wú)差異且個(gè)數(shù)較少，適合用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；C和D 中總體所含個(gè)體無(wú)差異且個(gè)數(shù)較多，不適合用分層隨機(jī)抽樣；B中總體所含個(gè)體 差異明顯，適合用分層隨機(jī)抽樣.W型2分層隨機(jī)抽樣的應(yīng)用例2 某學(xué)校有在職人員160人，其中行政人員有16人，教師有112 人，后勤人員有32人.教育部門為了了解在職人員對(duì)學(xué)校機(jī)構(gòu)改革的意見(jiàn)

8、，要 從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，請(qǐng)利用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取，寫出抽樣過(guò) 程.解抽樣過(guò)程如下：201第一步，確定抽樣比，樣本容量與總體容量的比為有=6.ou o第二步，確定分別從三類人員中抽取的人數(shù)，從行政人員中抽取16x1= O2（人）；從教師中抽取112義1=14（人）；從后勤人員中抽取32X=4（人）. OO第三步，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，抽取行政人員2人，教師人員14人， 后勤人員4人.第四步，把抽取的個(gè)體組合在一起構(gòu)成所需樣本.規(guī)律方法分層隨機(jī)抽樣的步驟Q跟蹤訓(xùn)練2.某一個(gè)地區(qū)共有5個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，人口 3萬(wàn)人，其人口比例為3 ： 2 ： 5 ： 2 ： 3, 從3萬(wàn)人中抽取一個(gè)300人

9、的樣本，分析某種疾病的發(fā)病率，這種疾病與不 同的地理位置及水土有關(guān)，問(wèn)應(yīng)采取什么樣的方法？并寫出具體過(guò)程.解因?yàn)榧膊∨c地理位置和水土均有關(guān)系，所以不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的發(fā)病情況差異 明顯，因而采用分層隨機(jī)抽樣的方法.具體過(guò)程如下：第一步，將3萬(wàn)人分為5層，其中一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)為一層.第二步，按照樣本容量的比例求得各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的人數(shù)分別為60人，40人, 100 人，40 人，60 人.第三步，按照各層抽取的人數(shù)隨機(jī)抽取各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的樣本.第四步，將300人合到一起，即得到一個(gè)樣本.二類型3分層隨機(jī)抽樣中的計(jì)算問(wèn)題探究問(wèn)題.在分層隨機(jī)抽樣中，N為總體容量，n為樣本容量，如何確定各層的個(gè)體數(shù)？提示每層抽取的個(gè)體的個(gè)數(shù)

10、為修=NjX即 其中Ni為第，k)yi層的個(gè)體數(shù)，R為抽樣比.在分層隨機(jī)抽樣中，總體容量、樣本容量、各層的個(gè)體數(shù)、各層抽取的 樣本數(shù)這四者之間有何關(guān)系？提示設(shè)總體容量為N,樣本容量為“，第詆=1,2,，Q層的個(gè)體數(shù)為Ni,各層抽取的樣本數(shù)為小,貝哈=白 這四者中，其中三個(gè)可以求出另外 IV/ 1V一個(gè).例3 (1)交通管理部門為了解機(jī)動(dòng)車駕駛員(簡(jiǎn)稱駕駛員)對(duì)某新法規(guī)的 知曉情況，對(duì)甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)做分層隨機(jī)抽樣調(diào)查，假設(shè)四個(gè)社區(qū)駕駛 員的總?cè)藬?shù)為N,其中甲社區(qū)有駕駛員96人.假設(shè)在甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)抽 取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43,那么這四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)雙為()

11、A. 101 B. 808 C. 1 212 D. 2012(2)將一個(gè)總體分為A, B,。三層，其個(gè)體數(shù)之比為5 ： 3 ： 2.假設(shè)用分層隨機(jī) 抽樣方法抽取容量為100的樣本，那么應(yīng)從C中抽取 個(gè)個(gè)體.(3)分層隨機(jī)抽樣中，總體共分為2層，第1層的樣本量為20,樣本平均數(shù) 為3,第2層的樣本量為30,樣本平均數(shù)為8,那么該樣本的平均數(shù)為.(1)B (2)20 (3)6 (1)因?yàn)榧咨鐓^(qū)有駕駛員96人，并且在甲社區(qū)抽取的駕 駛員的人數(shù)為12人，12 1所以四個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的比例為玄=, yo o所以駕駛員的總?cè)藬?shù)為(12+21+25+43)4=808(人).O(2)VA, B,。三層個(gè)體數(shù)

12、之比為5 ： 3 ： 2,又有總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的概2率相等，分層隨機(jī)抽樣應(yīng)從C中抽取100X布=20(個(gè))個(gè)體.20,30=20+30 X 3+20+30 X 8=母題探究在例3(2)中，A, B, C三層的樣本的平均數(shù)分別為15,30,20,那么樣本的平均 數(shù)為.20. 5 由題意可知樣本的平均數(shù)為532=5 + 3 + 2X 15 + 5 + 3 + 2X30+5 + 3+2X20=20,5，規(guī)隼方法進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常用到的2個(gè)關(guān)系樣本容量場(chǎng)該層抽取的個(gè)體數(shù)總體的個(gè)數(shù)N該層的個(gè)體數(shù)；總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比.樣本的平均數(shù)和各層的樣本平均數(shù)的

13、關(guān)系為： m i_, n m /yC m+nX m-n.匚課堂小結(jié)二.對(duì)于分層隨機(jī)抽樣問(wèn)題，常利用以下關(guān)系式求解：樣本容量各層抽取的樣本數(shù)總體容量N 該層的容量.選擇抽樣方法的規(guī)律：(1)當(dāng)總體和樣本量都較小時(shí)，采用抽簽法；當(dāng)總體量較大，樣本量較小時(shí), 采用隨機(jī)數(shù)法；(2)當(dāng)總體可以分為假設(shè)干個(gè)層時(shí)，采用分層隨機(jī)抽樣.DANGTANGDABIAOGUSHUANOI.判斷正誤(1)在統(tǒng)計(jì)實(shí)踐中選擇哪種抽樣方法關(guān)鍵是看總體容量的大小.()(2)分層隨機(jī)抽樣中，個(gè)體數(shù)量較少的層抽取的樣本數(shù)量較少，這是不公平 的.()(3)從全班50名同學(xué)中抽取5人調(diào)查作業(yè)完成情況適合用分層隨機(jī)抽 樣.()提示(1)

14、錯(cuò)誤.在統(tǒng)計(jì)實(shí)踐中選擇哪種抽樣方法除看總體和樣本容量大小 外，還要依據(jù)總體的構(gòu)成情況.(2)錯(cuò)誤.根據(jù)抽樣的意義，對(duì)每個(gè)個(gè)體都是公平的.(3)錯(cuò)誤.適合用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.答案(1)X(2)X(3)X.某學(xué)校為了 了解三年級(jí)、六年級(jí)、九年級(jí)這三個(gè)年級(jí)之間的學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)情況，擬從這三個(gè)年級(jí)中按人數(shù)比例抽取局部學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，那么最合理的抽 樣方法是（）A.抽簽法B.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣C.分層隨機(jī)抽樣D.隨機(jī)數(shù)法C 根據(jù)年級(jí)不同產(chǎn)生差異及按人數(shù)比例抽取易知應(yīng)為分層隨機(jī)抽樣.甲校有3 600名學(xué)生，乙校有5 400名學(xué)生，丙校有1 800名學(xué)生，為統(tǒng) 計(jì)三校學(xué)生某方面的情況，計(jì)劃采用分層隨機(jī)抽樣法抽取一個(gè)容量

15、為90的樣本, 應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生（）A. 30 人，30 人，30 人B. 30 人，45 人，15 人C. 20 人，30 人，40 人D. 30 人，50 人，10 人n901B 先求抽樣比討=3 600+5 400+1 800=而再各層按抽樣比分別抽取，甲校抽取3 600X焉 =30（人），乙校抽取5 400X45（A）,丙校抽取1 .L /V/JL800義焉=15（人），應(yīng)選B.某大學(xué)為了了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分 層隨機(jī)抽樣的方法，從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行 調(diào)查，該校一年級(jí)、二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)的本科生人數(shù)之比為 4 ： 5 ： 5 ： 6,那么應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取 名學(xué)生.460 根據(jù)題意，應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取的人數(shù)為了77