6.4.3 余弦定理、正弦定理（第1課時）余弦定理（1）

1、643余弦定理、正弦定理第一課時余弦定理教材分析本節(jié)課選自普通高中課程標準數(shù)學教科書-必修第二冊（人教A版）第六章平面向量及其應用， 本節(jié)課主要學習余弦定理及利用余弦定理的應用。本節(jié)課在證明了余弦定理及其推論以后，教科書從余弦定理與勾股定理的比擬中，提出了一個考問題“勾 股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理那么指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如 何看這兩個定理之間的關(guān)系?并進而指出，“從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，如果一個三角形兩邊的平 方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角;如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角;如 果大于第三邊的平方那么第三邊所對

2、的角是銳角。由上可知，余弦定理是勾股定理的推廣，還要啟發(fā)引導學 生注意余弦定理的各種變形式并總結(jié)余弦定理的適用題型的特點，在解題時正確選用余弦定理到達求解， 求證目的啟發(fā)學生在證明余弦定理時能與向量數(shù)量積的知識產(chǎn)生聯(lián)系，在應用向量知識的同時注意使學生 體會三角函數(shù)、正弦定理、向量數(shù)量積等多處知識之間的聯(lián)系。教學目標與核心素養(yǎng)課程目標學科素養(yǎng)A.掌握余弦定理的證明方法，牢記公式；B.掌握余弦定理公式的變式，會靈活應用 余弦定理解決兩類解三角形問題；C.掌握給出三邊判斷三角形的形狀問題；D.培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合的能力。.數(shù)學抽象：余弦定理的推導過程；.邏輯推理：余弦定理的證明；.數(shù)學運算：利用余弦定

3、理解三角形；.直觀想象：數(shù)形結(jié)合法；教學重難點L教學重點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應用;2.教學難點：利用向量的數(shù)量積推導余弦定理的思想方法及利用余弦定理求解三角形的思路。課前準備多媒體教學過程教學過程教學設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標一、復習回顧，溫故知新L向量的減法：寧【答案】OA-OB = BAo相同起點，尾尾相連，指向被減向量。2.1可量的數(shù)里積【答案】a-babcosO3 .證明三角形全等的方法有哪些？【答案】ASA, AAS, SAS, SSSo二、探索新知探究1 .在三角形A8C中，三個角A, B, C所對的邊分別為m b, c, 怎樣用a, 6和C表小c? 【解析】如圖，設(shè)C5

4、= a,C4 = b,A5=c,那么c =。匕，通過復習所學知識， 建立知識間的聯(lián)系， 提高學生概括、類比 推理的能力。通過探究，由向 量證明余弦定理，提 高學生分析問題、概f T (T -、( 、 f f f f fc = c- c = a-b - a-b = a- a+ h- b-2a- h 7 7=a2 +b2 -2abcosC所以。2 =2 + 一 2abeosC o同理可證：a2 =b2 +c2 - 2bccosAb2 = a2 +c2 - Zac cos B余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a1 -b2 +c2 - 2bc

5、cosAb2 = a2 +c2 - 2accosBc2 = a2 +b -2abcosC應用：兩邊和一個夾角，求第三邊.思考1：余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關(guān) 系，應用余弦定理，我們可以解決三角形的三邊確定三角形的角 的問題，怎么確定呢？刀2 22由余弦定理變形得cos A =2bc a2 +c2-b2cos B =lac括能力。通過思考，推導余弦定理的推論，提高學生解決問題的能力。通過思考與探 究，進一步推導余弦 定理的變形結(jié)論，提 高學生的觀察、概括 能力。 a2 +b2 -c2cos C =lab應用：三條邊求角度。思考2：勾股定理指出了直角三角形中的三條邊之間的關(guān)系

6、，余弦定 理那么指出了三角形的三條邊與其中一個角之間的關(guān)系，你能說說這兩 個定理之間的關(guān)系嗎？【解析】a1 =b2 +c2 - 2/?ccos A, a2 =b2 + c2探究2：當角C為直角時，有當角C為銳角時，這三 者的關(guān)系是什么？鈍角呢？【結(jié)論】當角C為銳角時，a2+h2c2；當角C為鈍角時，a2 +b2 c2 ；當角C為直角時，a2 +b2 =c2o一般地，三角形的三個角A, B, C和它們的對邊a, b, c叫做三角 形的元素，三角形的幾個元素求其它元素的過程叫做解三角形。例1 .在AABC中，b=60cm, c=34cm, A = 41 ,解這個三角形（角度精準到1，邊長精確到1c

7、m.）解：由余弦定理，得a2 =b2 +c2 -2bccosA = 602 +342 一 2 x 60 x 34xcos41出1676.78所以241,由余弦定理的推論，得n a2+c2-b2342+412 -602763 到巾、“凡口cos3 =，利用計算器，可lac2 x 34 x 412788得3六1060所以，C = 180-（A+B）180o-（4r+106o） = 33例2在A/LBC中， 斫7,氏8,銳角C滿足sin。二 任，求B。14（精準到1）篇：因為sinC二號,HC為銳角，所以 cos C=sh?C =J1 （4；）=卷.由余弦定理，得2a6cos C=49+64-2X7

8、X8X需=9.所以c=3.進而cos b安衛(wèi)=乎二8 = _12ca2X3X774利用計算器.可得8*98：通過例題的講解，讓 學生進一步理解余 弦定理，提高學生解 決與分析問題的能 力。三、達標檢測1.在AABC中，。=7, b=4小,c=V13,貝必45。的最小角為（）兀c兀一兀c兀A,3B6C,4D.五【答案】B【解析】由三角形邊角關(guān)系可知，角C為A8C的最小角，那么cosC。2 + 分一。2 72+（4?。? -（小5）2 小Ji- 2ab -2X7X4V3一，所以 一6,應選艮2.在A3C中，2=按+*+A，那么角A等于（）A. 60B. 45 C. 120D. 30【答案】c通過練

9、習鞏固本節(jié) 所學知識，通過學生 解決問題的能力，感 悟其中蘊含的數(shù)學 思想，增強學生的應 用意識。R + / 一I【解析】由COSA=F=2,.A=12。.應選C。.在ZkABC中，假設(shè)=20cosC,那么ABC的形狀為【答案】等腰三角形【解析】Ya = 2bcos C=2b-2ab/.a2=a2-b2c2,即 h2=c29 b=c,ABC為等腰三角形.在ABC中，內(nèi)角A, B,。的對邊分別為a, b, c,5=C,2Z? =/，貝cosA=.【答案】；【解析】由B=C,2b=4a,r用1 _ 小可付 bc j a.5.在aABC中，a=5, b=3,角。的余弦值是方程5d+7x6 =0的根，求第三邊。的長.【解析】5/+7x6=0可化為(5x3)(x+2)=0, 汨=5, %2= -2(舍去),7 cos C5.根據(jù)余弦定理.，c1=a1-b22abcos C3 52+322x5x3x 16,.c=4,即第三邊長為4.四、小結(jié).余弦定理及其推論；.利用余弦定理的解三角形。五、作業(yè)習題 6.46 (1) (2)題通過總結(jié)，讓學生 進一步鞏固本節(jié)所 學內(nèi)容，提高概括能 力，提高學生的數(shù)學 運算能力和邏輯推 理能力。教學反思本課中，教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過學生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問題解決問題、應用反 思的過程，學生成為余弦定理的“