2022高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(人教A理一輪)2.8　函數(shù)與方程

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI2.8函數(shù)與方程第二章2022內(nèi)容索引0102必備知識 預(yù)案自診關(guān)鍵能力 學(xué)案突破必備知識 預(yù)案自診【知識梳理】 1.函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義對于函數(shù)y=f(x)(xD),把使成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)(xD)的零點.(2)與函數(shù)零點有關(guān)的等價關(guān)系方程f(x)=0有實數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與有交點函數(shù)y=f(x)有.f(x)=0 x軸 零點(3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理) 連續(xù)不斷的 f(a)f(b)0)的圖象與零點的關(guān)系 函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)0=00圖象與x軸的交點無交點零點

2、個數(shù)(x1,0),(x2,0) (x1,0) 2103.二分法函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷,且,通過不斷地把它的零點所在區(qū)間,使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.f(a)f(b)0 一分為二 零點 常用結(jié)論1.若y=f(x)在閉區(qū)間a,b上的圖象連續(xù)不斷,且有f(a)f(b)0,則函數(shù)y=f(x)一定有零點.2.f(a)f(b)0是y=f(x)在閉區(qū)間a,b上有零點的充分不必要條件.3.若函數(shù)f(x)在a,b上是單調(diào)函數(shù),且f(x)的圖象連續(xù)不斷,則f(a)f(b)0函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上只有一個零點.【考點自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正

3、確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)函數(shù)f(x)=x2-1的零點是(-1,0)和(1,0).()(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)在b2-4ac0時沒有零點.()(3)只要函數(shù)有零點,我們就可以用二分法求出零點的近似值.()(4)已知函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)圖象連續(xù)且單調(diào),若f(a)f(b)0,則函數(shù)f(x)在a,b上有且只有一個零點.()(5)函數(shù)y=2sin x-1的零點有無數(shù)多個.()2.(2020云南玉溪一中二模)函數(shù)f(x)=2x+3x的零點所在的一個區(qū)間是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)答案 B解析 易知f(x)=2x+3x在R上單調(diào)遞增,且

4、f(-2)=2-2-60,f(-1)=2-1-30,所以由函數(shù)零點存在定理得,零點所在的區(qū)間是(-1,0).故選B.3.(2020山東濟南二模,2)函數(shù)f(x)=x3+x-4的零點所在的區(qū)間為()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)答案 C解析 易知函數(shù)f(x)=x3+x-4在R上單調(diào)遞增,因f(0)=-40,f(1)=-20,故函數(shù)在(1,2)上有唯一零點.故選C.4.若函數(shù)f(x)=2x-a2-a在(-,1上存在零點,則正實數(shù)a的取值范圍是()A.(0,1)B.(0,1C.(0,2)D.(0,2答案 B解析 由f(x)=2x-a2-a=0,得2x=a2+a,由x(-,

5、1,得2x(0,2,可得0a2+a2,解得0a1,故選B.5.(2020天津和平區(qū)一模)已知x表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù),g(x)=x為取整函數(shù),x0是函數(shù)f(x)=ln x+x-4的零點,則g(x0)=.答案 2解析函數(shù)f(x)=ln x+x-4在定義域(0,+)上單調(diào)遞增,且其圖象是連續(xù)不斷的,f(e)=1+e-40,函數(shù)的零點所在的區(qū)間為(e,3),g(x0)=x0=2.關(guān)鍵能力 學(xué)案突破考點1判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間【例1】 (1)(2020陜西西安中學(xué)八模,理4)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),可以判定方程ex-x-2=0的一個根所在的區(qū)間為(k,k+1)(kN),則k的值為()A.-1B.0C.1

6、D.2(2)設(shè)定義域為(0,+)內(nèi)的單調(diào)函數(shù)f(x),對任意的x(0,+),都有ff(x)-ln x=e+1,若x0是方程f(x)-f(x)=e的一個解,則x0可能存在的區(qū)間是()A.(0,1)B.(e-1,1) C.(0,e-1)D.(1,e)x-10123ex0.3712.727.3920.09x+212345答案 (1)C(2)D解析 (1)令f(x)=ex-x-2,由表格知f(1)0,所以方程ex-x-2=0的一個零點所在的區(qū)間是(1,2),所以k=1,故選C.解題心得判斷函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是否存在零點的方法(1)解方程:當(dāng)對應(yīng)方程易解時,可通過解方程,觀察方程是否有根落在給

7、定區(qū)間上.(2)利用函數(shù)零點存在定理進行判斷:首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是否連續(xù),然后看是否有f(a)f(b)0.若有,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點,若沒有,則不一定有零點.(3)通過畫函數(shù)圖象,觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.對點訓(xùn)練1(1)(2020遼寧沈陽二中五模,文6)函數(shù)f(x)=ln(x+1)- 的一個零點所在的區(qū)間是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)(2)如圖是二次函數(shù)f(x)=x2-bx+a的部分圖象,則g(x)=ex+f(x)的零點所在的大致區(qū)間是()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3

8、)答案 (1)B(2)B解析 (1)f(1)=ln 2-2ln e-1=0,即f(1)f(2)0,函數(shù)f(x)的零點在區(qū)間(1,2)上.故選B.(2)由圖象知 1,得1b2,f(x)=2x-b,所以g(x)=ex+f(x)=ex+2x-b,由g(0)=1-b0,所以g(0)g(1)0,則g(x)的零點在區(qū)間(0,1)上,故選B.考點2判斷函數(shù)零點的個數(shù)【例2】 (1)函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4(2)(2020廣東肇慶二模,理11)已知函數(shù)f(x)為定義域為R的偶函數(shù),且滿足f(1+x)=f(1-x),當(dāng)x-1,0時,f(x)=-x,則函數(shù)F

9、(x)=f(x)+ 在區(qū)間-9,10上零點的個數(shù)為()A.10B.12C.18D.20答案 (1)B(2)A 解題心得判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法(1)解方程法:若對應(yīng)方程f(x)=0可解時,通過解方程,有幾個解就有幾個零點.(2)零點存在定理法:利用定理不僅要判斷函數(shù)的圖象在區(qū)間a,b上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)f(b)0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有多少個零點.(3)數(shù)形結(jié)合法:轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題.先畫出兩個函數(shù)的圖象,再看其交點的個數(shù),其中交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù).對點訓(xùn)練2(1)(2020山東青島二模,8)已知圖象連續(xù)不斷

10、的函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x)是周期為2的奇函數(shù),y=|f(x)|在區(qū)間-1,1上恰有5個零點,則f(x)在區(qū)間0,2 020上的零點個數(shù)為()A.5 050B.4 041C.4 040D.2 020(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且對于任意的x0,+),滿足f(x+2)=f(x),若當(dāng)x0,2)時,f(x)=|x2-x-1|,則函數(shù)y=f(x)-1在區(qū)間-2,4上的零點個數(shù)為.答案 (1)B(2)7解析 (1)由f(x)是定義域為R的奇函數(shù),得f(0)=0,由f(x)的周期為2,得f(0)=f(2)=f(2 020)=0,由y=|f(x)|是偶函數(shù),得其圖象關(guān)于y軸對稱,由y

11、=|f(x)|在-1,1上恰有5個零點,則y=|f(x)|在-1,0)和(0,1上各有兩個零點,因f(x)的周期為2,所以y=|f(x)|的周期為1,所以y=|f(x)|在(1,2上也有兩個零點,同理在(2,3,(2 019,2 020上各有兩個零點.因為函數(shù)|f(x)|的圖象是由f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱到x軸上面,故兩個函數(shù)的零點個數(shù)相等,則f(x)在區(qū)間0,2 020上的零點個數(shù)為1+2 0202=4 041.(2)由題意作出y=f(x)在區(qū)間-2,4上的圖象,如圖所示,可知與直線y=1的交點共有7個,故函數(shù)y=f(x)-1在區(qū)間-2,4上的零點個數(shù)為7.考點3函數(shù)零點的應(yīng)用(多考向探究

12、)考向1已知函數(shù)零點所在區(qū)間求參數(shù) 解題心得對于已知函數(shù)零點所在區(qū)間求參數(shù)的問題:若已知函數(shù)在所給區(qū)間上連續(xù)且單調(diào),則由零點存在定理列出含參數(shù)的不等式,求出參數(shù)的范圍;若已知函數(shù)在所給區(qū)間上不單調(diào),則要作出函數(shù)的圖象利用數(shù)形結(jié)合法求參數(shù)的范圍.對點訓(xùn)練3(1)已知函數(shù)f(x)=2ax-a+3,若x0(-1,1),f(x0)=0,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-,-3)(1,+)B.(-,-3)C.(-3,1)D.(1,+)(2)若函數(shù)f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零點,則實數(shù)a的取值范圍是.解析 (1)由f(x)=2ax-a+3,若x0(-1,1),f(x0)=0,可得f(-1)f(1

13、)0,即(-3a+3)(a+3)0,且a1)與一次函數(shù)y=x的圖象恰好有兩個不同的交點,則實數(shù)a的取值范圍是.解析 (1)令f(x)=t,則t2-2at+3a=0,作出函數(shù)f(x)和直線y=t的圖象如圖所示,由圖象可知y=t與y=f(x)最多有3個不同交點,又當(dāng)x0時,2x+1+22,要使關(guān)于x的方程f(x)2-2af(x)+3a=0有6個不相等的實數(shù)根,則t2-2at+3a=0有兩個不同的根t1,t2(2,4,設(shè)g(t)=t2-2at+3a由根的分布可知,解題心得已知函數(shù)有零點(方程有根),求參數(shù)的取值范圍常用的方法:(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)

14、范圍.(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,再轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,再數(shù)形結(jié)合求解.對點訓(xùn)練4(1)(2020天津河北區(qū)一模,9)已知函數(shù) 若函數(shù)g(x)=f(x)-x-a有3個零點,則實數(shù)a的取值范圍是()A.0,2)B.0,1)C.(-,2D.(-,1(2)(2020山東濟寧5月模擬,16)設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),xR都有f(2-x)=f(2+x),且當(dāng)x0,2時,f(x)=2x-2.若函數(shù)g(x)=f(x)-loga(x+1)(a0,a1)在區(qū)間(-1,9內(nèi)恰有三個不同零點,則實數(shù)a的取值范圍是.解析 (1

15、)函數(shù)g(x)=f(x)-x-a有3個零點,等價于方程f(x)-x-a=0有3個實數(shù)根,即方程a=f(x)-x有3個實數(shù)根,設(shè)h(x)=f(x)-x,當(dāng)x0時,h(x)=x3-3x,h(x)=3x2-3,由h(x)0得x1(舍去),此時h(x)單調(diào)遞增.由h(x)0得-1x1,x0,-1x0時,h(x)=f(x)-x=-ln x-x單調(diào)遞減,作出函數(shù)h(x)的圖象如圖所示,要使a=h(x)有3個根,則0a0,且a1).函數(shù)y=f(x)和y=loga(x+1)的圖象在區(qū)間(-1,9內(nèi)有3個不同的公共點.作函數(shù)f(x)與y=loga(x+1)在(-1,9上的圖象如下,要點歸納小結(jié)1.函數(shù)零點的常用判定方法:(1)零點存在性定理;(2)數(shù)形結(jié)合;(3)解方程f(x)=0.2.研究方程f(x)