a第二章2.1參數(shù)曲線2.2弧長

1、微分幾何 Differential GeometryChapter 2 曲線論 2.1 參數(shù)曲線 2.2 曲線的弧長2.1 參數(shù)曲線Parametric Curve1-dimensional manifold 參數(shù)曲線三維歐氏空間 中的一條曲線 是一個連續(xù)映射 ，稱為參數(shù)曲線. 幾何上，參數(shù)曲線 是映射 的象. 取定正交標架 ，則曲線上的點 與它的位置向量 一一對應. 令 . 則(1.3) 其中 為曲線的參數(shù)，(1.3)稱為曲線的參數(shù)方程.曲線的切線導數(shù)（1.4）如果坐標函數(shù) 是連續(xù)可微的，則稱曲線 是連續(xù)可微的. 此概念與標架的取法無關. (為什么？)導數(shù) 的幾何意義：割線的極限位置就是曲線

2、的切線. 正則參數(shù)曲線如果 ，則 是該曲線在 處的切線的方向向量，稱為該曲線的切向量. 這樣的點稱為曲線的正則點. 曲線在正則點的切線方程為(1.5) 其中 是固定的， 是切線上點的參數(shù)， 是切線上參數(shù)為 的點的位置向量. 正則參數(shù)曲線定義. 如果 是至少三次以上的連續(xù)可微向量函數(shù)，并且處處是正則點，即對任意的 ， ，則稱曲線 是正則參數(shù)曲線. 將參數(shù)增大的方向稱為曲線的正向.上述定義與 中直角坐標系的選取無關. 正則曲線：正則參數(shù)曲線的等價類. 參數(shù)變換曲線的參數(shù)方程中參數(shù)的選擇不是唯一的.在進行參數(shù)變換時，要求參數(shù)變換 滿足： 是 的三次連續(xù)可微函數(shù)； 處處不為零. 這樣的參數(shù)變換稱為可允

3、許的參數(shù)變換. 當 時，稱為保持定向的參數(shù)變換. 根據(jù)復合函數(shù)的求導法則，這種可允許的參數(shù)變換在所有正則參數(shù)曲線之間建立了一種等價關系. 等價的正則參數(shù)曲線看作是同一條曲線，稱為一條正則曲線. 以下總假定 是正則曲線.如果一條正則參數(shù)曲線只允許作保持定向的參數(shù)變換，則這樣的正則參數(shù)曲線的等價類被稱為是一條有向正則曲線. 參數(shù)變換例1.1例1.1 圓柱螺線 ，其中 是常數(shù)， . 所以圓柱螺線是正則曲線.例1.2連續(xù)可微性和曲線的正則性（光滑性）是不同的概念.（與數(shù)學分析中的結論比較）例1.2 半三次曲線 . 這條曲線不是正則曲線. 平面曲線的一般方程 和隱式方程 . 空間曲線的一般方程(1.6)

4、 和隱式方程(1.8) 這些方程可以化為參數(shù)方程. (習題4：正則曲線總可以用一般方程表示)曲線(1.8)的切線方向，正則性. 課外作業(yè)：習題2，5，62.2曲線的弧長曲線的弧長設 中一條正則曲線 的方程為 則 是該曲線的一個不變量，即與正交標架的選取無關與曲線的可允許參數(shù)變換無關 不變量 的幾何意義是該曲線的弧長 其中 是區(qū)間 的任意一個分割， ， 圖2-41-dimensional manifold弧長參數(shù)令(2.4)則 是曲線 的保持定向的可允許參數(shù)變換，稱為弧長參數(shù). 它是由曲線本身確定的，至多相差一個常數(shù)，與曲線的坐標表示和參數(shù)選擇都是無關的. 任何正則曲線都可以采用弧長 作為參數(shù)，

5、當然，允許相差一個常數(shù).注意 也是曲線的不變量，稱為曲線的弧長元素(或稱弧微分). 一維流形的度量問題：怎么判定弧長參數(shù)？雖然理論上任何正則曲線都可以采用弧長參數(shù) ，但是具體的例子中，曲線都是用一般的參數(shù) 給出的. 由(2.4)，即使 是初等函數(shù)， 也不一定是初等函數(shù). 下面的定理給出了判別一般參數(shù)是否是弧長參數(shù)的方法. 定理2.1. 設 是 中一條正則曲線，則 是它的弧長參數(shù)的充分必要條件是 . 即 是弧長參數(shù)當且僅當(沿著曲線 )切向量場是單位切向量場. 證明. “ ”由(2.4)可知， . “ ”如果 是弧長參數(shù)，則 ，從而 以下用“”表示對弧長參數(shù) 的導數(shù)，如 ， 等等，或簡記為 等等. 而“ ”則用來表示對一般參數(shù) 的導數(shù).