不等式證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造方法及技巧

1、-PAGE . z. . - . -可修- .師學(xué)院本科生畢業(yè)論文不等式證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造方法與技巧學(xué) 院 教師教育學(xué)院 專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 研 究方 向數(shù)學(xué)教育學(xué) 生姓 名雨琳學(xué) 號(hào) 1 指導(dǎo)教師秀麗指導(dǎo)教師職稱副教授 2015年5月25日-. z.摘 要不等式的證明問(wèn)題是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一類很重要的問(wèn)題，有些不等式的證明問(wèn)題可以運(yùn)用我們所學(xué)的根底知識(shí)直接解決，但有些不等式成立需要借助于構(gòu)造輔助函數(shù)，構(gòu)造輔助函數(shù)證明不等式成立的方法有很多。本文簡(jiǎn)單介紹了幾種在證明不等式時(shí)可以運(yùn)用的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法和技巧，并且給出了在常見的幾種不等式類型中這些方法的應(yīng)用，主要就是通過(guò)構(gòu)造出適合的輔助函數(shù)，

2、將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)楦椎?、?jiǎn)單的問(wèn)題，提高解題的效率。關(guān)鍵詞：不等式；構(gòu)造；輔助函數(shù)；方法；技巧；-. z.AbstractProving inequalities is a class of very important problems in learning Higher Mathematics. The proof of some inequalities can be solved directly using what we have learned the basic knowledge , but some inequalities can be established by

3、constructing an au*iliary function , constructing an au*iliary function that inequality into the established method has much . This article simply introduces the methods and skills of several in proving inequalities can be used to construct the au*iliary function , and gives the application of these

4、 methods in several mon types of inequality , mainly is by constructing a suitable au*iliary function , transformation of the ple* issues as basis , a simple problem , improve their problem solving efficiency .Keywords: inequality; structure; au*iliary function;methods;techniques;-. z.目錄TOC o 1-3 h

5、z uHYPERLINK l _Toc420051418第一章 前言 PAGEREF _Toc420051418 h 1HYPERLINK l _Toc420051419第二章幾種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法與技巧 PAGEREF _Toc420051419 h 2HYPERLINK l _Toc4200514202.1 利用單調(diào)性法 PAGEREF _Toc420051420 h 2HYPERLINK l _Toc4200514212.2 參數(shù)變易法 PAGEREF _Toc420051421 h 3HYPERLINK l _Toc4200514222.3 變形法 PAGEREF _Toc420051

6、422 h 4HYPERLINK l _Toc4200514232.4 利用凸函數(shù)定義 PAGEREF _Toc420051423 h 5HYPERLINK l _Toc4200514242.5 利用詹森不等式 PAGEREF _Toc420051424 h 6HYPERLINK l _Toc4200514252.6 借助中值定理 PAGEREF _Toc420051425 h 7HYPERLINK l _Toc420051426第三章構(gòu)造輔助函數(shù)證明幾類常見不等式 PAGEREF _Toc420051426 h 9HYPERLINK l _Toc4200514273.1 一般不等式的證明 P

7、AGEREF _Toc420051427 h 9HYPERLINK l _Toc4200514283.2 含積分符號(hào)的不等式的證明 PAGEREF _Toc420051428 h 10HYPERLINK l _Toc4200514293.3 含微分符號(hào)的不等式的證明 PAGEREF _Toc420051429 h 11HYPERLINK l _Toc420051430第四章總結(jié)PAGEREF _Toc420051430 h 12HYPERLINK l _Toc420051431參考文獻(xiàn) PAGEREF _Toc420051431 h 13-. z.前言不等式證明是數(shù)學(xué)中一類十分重要的問(wèn)題，它可

8、以運(yùn)用到許多相關(guān)的知識(shí)，比方函數(shù)的性質(zhì)，微積分等。關(guān)于不等式證明問(wèn)題有許多的方法，如反證法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造法等，這些方法都具有很強(qiáng)的技巧性，做題時(shí)找出最適合的方法可以事半功倍。在解決不等式證明問(wèn)題的過(guò)程當(dāng)中，我們更多的采取借助構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，將函數(shù)與不等式結(jié)合起來(lái)，構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，再利用函數(shù)的根本性質(zhì)，將問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化。掌握構(gòu)造輔助函數(shù)的方法對(duì)我們提高解決問(wèn)題的效率、靈活運(yùn)用函數(shù)與不等式的關(guān)系有著重要的意義。則，如何構(gòu)造出適合的輔助函數(shù)，需要怎樣的方法，運(yùn)用怎樣的技巧。本文首先會(huì)對(duì)幾種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法進(jìn)展闡述，其中包括在數(shù)學(xué)分析這門課中學(xué)到的有關(guān)微分中值定理、凸函數(shù)、以及

9、詹森不等式等的知識(shí)都可以運(yùn)用到這些方法中，借助這些知識(shí)構(gòu)造出適合的輔助函數(shù)，進(jìn)一步解決問(wèn)題。接著本文還會(huì)介紹前面提到的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法在幾種常見類型的不等式證明中的應(yīng)用，并通過(guò)幾個(gè)例題具體地分析，更準(zhǔn)確的把握方法的精華，并對(duì)其中涉及到的相關(guān)技巧進(jìn)展總結(jié)，到達(dá)活學(xué)活用的目的。第二章 幾種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法與技巧2.1 利用單調(diào)性法這種方法是構(gòu)造輔助函數(shù)經(jīng)?？梢杂玫降姆椒ǎ瑢⒁C明的不等式進(jìn)展移項(xiàng)或恒等變形后移項(xiàng)，讓不等式的一端為零，則另一端就是所要作的輔助函數(shù)。例1 證明：證且證明 當(dāng)時(shí)，.證 取，顯然 ，因?yàn)?，且，所以有，從而在單調(diào)增加.于是，即得證.解決這類題目的步驟很明了，先作輔助函數(shù)，

10、求出導(dǎo)數(shù)，判別函數(shù)的單調(diào)性，然后求函數(shù)在區(qū)間左右端點(diǎn)的函數(shù)值或在該區(qū)間的極限值，通常其中必有一個(gè)端點(diǎn)函數(shù)值或極限值為零，最后得出命題結(jié)論。例3 當(dāng)時(shí)，證明： .證 設(shè) ，則有,由于在區(qū)間上有，則在上是單調(diào)遞增的.因此，當(dāng)時(shí)，即 .利用函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造輔助函數(shù)，對(duì)結(jié)論形式進(jìn)展變形，可以發(fā)現(xiàn)與其相關(guān)的輔助函數(shù)，同時(shí)要求對(duì)初等函數(shù)的性質(zhì)有準(zhǔn)確的掌握。例4 故這是一個(gè)關(guān)于的減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，有，即這道題解題的關(guān)鍵在于要知道通過(guò)換元將自變量變成 ，把構(gòu)造不同的式子統(tǒng)一化，最后將函數(shù)轉(zhuǎn)化成求關(guān)于變量的函數(shù)。2.2參數(shù)變易法例5,且求證：解將結(jié)論中的參數(shù)變?yōu)樽兞?得到輔助函數(shù)，因?yàn)樵谏隙A可導(dǎo)，且故即在上單調(diào)

11、遞增，所以對(duì)于任意，都有特別地，有即例5 設(shè)在上連續(xù)，證明： .證 把上式中的參數(shù)換成，移項(xiàng)得 ，令 ，因?yàn)樗院瘮?shù)在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以，?.在上面兩道題的證明中，首要的是找出應(yīng)該轉(zhuǎn)變?yōu)樽兞康某?shù)，接著再運(yùn)用不定積分對(duì)該形式進(jìn)展進(jìn)一步解決，在一般的定積分不等式證明中，參數(shù)變易法通常要改變函數(shù)的上或下限積分，將上或下限變成所設(shè)的參量，然后運(yùn)用變限積分的求導(dǎo)或是微分中值定理等等，從而得到所要證明的結(jié)論，然后把參量變回為常量。采用此法進(jìn)展構(gòu)造輔助函數(shù)時(shí)，應(yīng)注意要盡量要將未知的轉(zhuǎn)化，根據(jù)性質(zhì)，把其中的參量或常量變化為變量，構(gòu)造出一個(gè)新的函數(shù)，使得結(jié)論也是該函數(shù)滿足條件下的一種情況，最后根據(jù)函數(shù)

12、的性質(zhì)進(jìn)一步推導(dǎo)出結(jié)論。2.3變形法例6 設(shè)函數(shù)在上可微，且當(dāng)時(shí)，求證證 可將最終結(jié)論轉(zhuǎn)化為，有利用柯西中值定理，得.此例中如果直接采用微分中值定理來(lái)加以證明，處理起來(lái)會(huì)比擬復(fù)雜，因?yàn)榻Y(jié)論中出現(xiàn)了兩個(gè)不同的函數(shù)，如果將結(jié)論的形式轉(zhuǎn)化成除式，就可以采用柯西中值定理，而且在涉及到變形時(shí)，還巧妙的運(yùn)用到了兩個(gè)恒為零的項(xiàng)根據(jù)條件構(gòu)造出的，(0)=0題目中給出的條件，可以運(yùn)用這兩個(gè)變形是解決此題的重點(diǎn)之一。例7當(dāng)時(shí)，求證 .證 因?yàn)?，所以，則可將原不等式兩邊同乘，再移項(xiàng)，得令則其中等號(hào)在時(shí)取得，即，則在上為單調(diào)遞減，又在上，則，即2.4利用凸函數(shù)定義在高等數(shù)學(xué)中，我們?cè)诶脤?dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，會(huì)遇到一

13、類特殊的函數(shù)凸函數(shù)，由于它具有一些特殊的性質(zhì)，我們經(jīng)常用它來(lái)證明一些不等式。例8證明 對(duì)任何非負(fù)實(shí)數(shù)有：證 令所以因此在上是凸的，則對(duì)任何的非負(fù)實(shí)數(shù)有：即即 例9在中證明 證 令由故在是凸函數(shù)，有 ，即即故2.5 利用詹森不等式 詹森不等式：假設(shè)為上凸函數(shù)，則對(duì)任意，有例10 證明不等式其中均為正數(shù).證 設(shè)由的一階和二階導(dǎo)數(shù)可見，在時(shí)為嚴(yán)格的凸函數(shù)，根據(jù)詹森不等式有從而即例11 設(shè)，有證 設(shè)，則 ，故在時(shí)為嚴(yán)格凸函數(shù)，取依詹森不等式有即也就是即因上述不等式對(duì)任意個(gè)正數(shù)成立，取 代替有即綜合上述結(jié)論，原不等式成立.2.6借助中值定理 在高等數(shù)學(xué)中，運(yùn)用中值定理解決不等式的證明問(wèn)題是一個(gè)很好的途徑

14、，下面通過(guò)兩個(gè)實(shí)例進(jìn)展說(shuō)明。例12設(shè)證明不等式證 顯然等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立； 當(dāng)時(shí)，有 作輔助函數(shù)則在上滿足拉格朗日中值定理，則存在使由于所以故有即例13 設(shè)證 ，其中由上式,得移項(xiàng)得證畢.第三章 構(gòu)造輔助函數(shù)證明幾類常見不等式3.1 一般不等式的證明 例13證明 證 令則且等號(hào)成立的條件是：即所以 但 但由式可知即嚴(yán)格單調(diào)遞增,而所以當(dāng) 時(shí)，有，此即例14 ，求證 .證 當(dāng)時(shí)，則可將要證的不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榱顒t ，設(shè)，則故單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，有，即.而 ，故即證式，從而有3.2 含積分符號(hào)的不等式的證明通常會(huì)將要證的結(jié)論中的積分改成變限積分，并且表達(dá)式中相應(yīng)的變量也隨之改變，移項(xiàng)一側(cè)變化成0，則另外一側(cè)

15、的表達(dá)式即為所要做的輔助函數(shù)。 例15 設(shè)在上連續(xù)，且單調(diào)減少，證明 對(duì)于滿足的任何有證 因此單調(diào)遞減，又由，得故 ，即解決這種題目的步驟很明了，先作輔助函數(shù)，求導(dǎo)，判別導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從而判別函數(shù)的單調(diào)性，然后求函數(shù)在積分區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，其中必有一個(gè)是零或者有一個(gè)符號(hào)，最后分析得出命題的結(jié)論。 為了更好的理解，給出下面一道例題。 例16證明 設(shè)在上可積，且是在上的連續(xù)凸函數(shù)，則證 令則 由于是凸函數(shù)，故有由定積分的定義，在上式中令時(shí)，則有3.3 含微分符號(hào)的不等式的證明例17設(shè)二次函數(shù)并知其中為定值.試證 函數(shù)在*一點(diǎn)處取極小值的條件是：.證 令則由拉格朗日中值定理，則再由拉格朗日中值定理，有

16、其中由此可知，在*一點(diǎn)取極小值因?yàn)槭嵌魏瘮?shù)，必有極小值.例18 設(shè)定義在存在且單調(diào)下降，證明：對(duì)于，恒有證 當(dāng)時(shí)，結(jié)論是顯然成立的. 當(dāng)即時(shí)，分別對(duì)應(yīng)用拉格朗日中值定理，則存在使得因?yàn)閱握{(diào)下降，所以.則所以構(gòu)造輔助函數(shù)，除了要具有很強(qiáng)的對(duì)應(yīng)性外，還必須依據(jù)高等數(shù)學(xué)中相關(guān)的定理，特別是微積分的相關(guān)定理。要學(xué)會(huì)分析題目中所給出的條件，找出隱藏的特點(diǎn)，才能逐步掌握輔助函數(shù)的構(gòu)造方法。第四章 總結(jié)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，我們會(huì)不斷地遇到各種各樣的難題，但是經(jīng)歷告訴我們，只要掌握了數(shù)學(xué)思想方法的精華所在，難題就可以變得十分簡(jiǎn)單。不等式證明過(guò)程中涉及的技巧很多，需要我們?cè)谟龅綍r(shí)慢慢積累，形成一定的思路，將思

17、路轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的思維，并且靈活運(yùn)用，這樣難題就不再困難。本文講到的不等式證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造方法與技巧對(duì)我們的要會(huì)將問(wèn)題歸類，并且學(xué)會(huì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，將抽象復(fù)雜的轉(zhuǎn)化為具體簡(jiǎn)單的。方法與技巧就是開啟數(shù)學(xué)大門的鑰匙，如果你想真正進(jìn)入到數(shù)學(xué)的世界，則你一定得先獲得鑰匙，它會(huì)出現(xiàn)在我們探索數(shù)學(xué)知識(shí)的途中，只要你用心領(lǐng)會(huì)，就一定會(huì)發(fā)現(xiàn)。當(dāng)今社會(huì)的變化日新月異，對(duì)人才的要求愈加嚴(yán)格，這對(duì)我們是一個(gè)很大的挑戰(zhàn)，需要我們將學(xué)到的知識(shí)活學(xué)活用，要善于總結(jié)規(guī)律和靈活轉(zhuǎn)化，只有這樣，專業(yè)知識(shí)的學(xué)習(xí)對(duì)于即將走向社會(huì)的我們才會(huì)大有裨益，如果只是死記硬背公式定理不去理解運(yùn)用，則它于我們只不過(guò)是大腦的匆匆過(guò)客，不會(huì)留下一絲痕跡，更不用說(shuō)讓我們依靠它拼出自己的美好未來(lái)了。會(huì)學(xué)