正多面體及平面展開(kāi)圖

1、-. z.正多面體與平面展開(kāi)圖By Laurinda.201604開(kāi)場(chǎng)總結(jié)，網(wǎng)絡(luò)搜集 HYPERLINK l 正四面體#正四面體 正四面體 HYPERLINK l 正六面體#正六面體 正六面體 HYPERLINK l 正八面體#正八面體 正八面體 HYPERLINK l 正十二面體#正十二面體 正十二面體 HYPERLINK l 正二十面體#正二十面體正二十面體正四面體正六面體正八面體正十二面體正二十面體正方體展開(kāi)圖相對(duì)的兩個(gè)面涂上一樣顏色，正方體平面展開(kāi)圖共有以下11種。 鄰校比我們學(xué)校早了幾天舉行段考，拿他們的數(shù)學(xué)卷子提供應(yīng)學(xué)生充做模擬考，其中有一題作圖題，不好做，它要求將右圖，一個(gè)由正方

2、形和等腰直角三角形組成的五邊形，以兩條線切割，重組成一個(gè)等面積的等腰直角三角形。這題讓學(xué)生和我?jiàn)^戰(zhàn)了幾節(jié)課，卻總是畫(huà)不成。理論上它是可以成立的，因?yàn)榈妊苯侨切慰梢院鸵粋€(gè)正方形等面積，而且由商高定理可以知道，存在一個(gè)正方形A，它的面積等于任意兩個(gè)正方形B、C的面積和。只要A的邊長(zhǎng)是這兩個(gè)正方形B、C的邊長(zhǎng)平方和的正平方根即可。而正方形當(dāng)然可以等積于一個(gè)等腰直角三角形。但是如何以兩條直線完成這道題呢今天(5/19)，我利用周休繼續(xù)思考這道題，終于完成了，做法如左。多面體之Eulers 公式 (V - E + F = 2)V =頂點(diǎn)數(shù)( number of vertices) ; E = 邊數(shù)(

3、number of edges) ; F = 面數(shù)(number of faces)正四面體(Tetrahedron) V=4,E=6,F=4, 4 - 6 + 4 = 2正六面體(Cube)V=8,E=12,F=6, 8 - 12 + 6 = 2正八面體(Octahedron)V=6,E=12,F=8, 6 - 12 + 8 = 2正十二面體(Dodecahedron)V=20,E=30,F=12, 20 - 30 + 12 = 2正二十面體(Icosahedron)V=12,E=30,F=20,12 - 30 + 20 = 2BuckyballV=60,E=90,F = 32 (12 pe

4、ntagons + 20 he*agons),60 - 90 + 32 = 2補(bǔ)充說(shuō)明：1.用Euler示性數(shù)可以證明正多面體恰好有五種;或者假設(shè)每一頂點(diǎn)聚集有 m條線,每一條線是正n邊形的一邊,則因?yàn)槊恳徽齨邊形的一個(gè)角為180(n-2)/2 度,圍繞此頂點(diǎn)的m個(gè)角的和小于360度,否則此頂點(diǎn)附近便變成一個(gè)平面,所以m180(n-2)/n360,同樣可以導(dǎo)出(m-2)(n-2) 4.2.很多病毒是正20面體(icosahedron),例如:皰疹(herpes)病毒,水痘(chickenpo*)病毒 ,人體疣(human wart)病毒,犬類傳染性肝炎病毒,腺病毒(adenovirus)等.

5、3.巴克球就是足球的樣子,叫作準(zhǔn)正多面體.標(biāo)尺作圖正多邊形 HYPERLINK l 正三邊形和正六邊形#正三邊形和正六邊形 正三、六邊形 HYPERLINK l 正四邊形和正八邊形#正四邊形和正八邊形 正四、八邊形 HYPERLINK l 正五邊形#正五邊形 正五邊形直尺、圓規(guī)和量角器可以畫(huà)出任意正多邊形。但是在古希臘時(shí)，作圖只使用沒(méi)有刻度的直尺unmarked ruler和圓規(guī)pass。用標(biāo)尺作正偶邊形如2n,32n,52n等正多邊形并非難事。但對(duì)正奇邊形如3,5,7,9,11,13,15等的作圖，在當(dāng)時(shí)是件困難的事，而且并非全都可以作圖成功。1798年，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯只有19歲，他成功的以

6、圓規(guī)直尺做出一個(gè)正十七邊形，并證明了正奇邊形的邊數(shù)只有是費(fèi)馬質(zhì)數(shù)或不同的費(fèi)馬質(zhì)數(shù)乘積才可以標(biāo)尺作圖出來(lái)費(fèi)馬質(zhì)數(shù)是質(zhì)數(shù)且型如, k是非負(fù)正整數(shù)。當(dāng)高斯去世后，人們?yōu)榱思o(jì)念這位偉大的數(shù)學(xué)家，在他的故土(Brunschweig)的紀(jì)念碑上刻了這個(gè)正17邊形。k0123453517257655374294967297當(dāng)k=0,1,2,3,4,5時(shí)都是質(zhì)數(shù)，但一般猜想 k5時(shí)，都不是質(zhì)數(shù)。由于我們目前知道只有五個(gè)費(fèi)馬質(zhì)數(shù)存在，所以用圓規(guī)可以做出的正奇邊形是3,5 ,17,257,65537,以及這五個(gè)數(shù)的兩兩相乘積。如35,317,17257等共31個(gè)。而最大的正奇邊形的邊數(shù)是是4294967297。邊

7、數(shù)小于100，可以標(biāo)尺作圖的正多邊形如下：3456810121516172024303234404851606468808596正三邊形和正六邊形取適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，以同半徑在圓周上取弧，再連續(xù)可取二個(gè)等弧，連接端點(diǎn)，可以連得正三邊形。以下圖，紅色局部。如果取三個(gè)等弧的中點(diǎn)，可以連成正六邊形以下圖，綠色局部。 HYPERLINK l 尺規(guī)作圖正多邊形#尺規(guī)作圖正多邊形 正四邊形和正八邊形取適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，畫(huà)二條互相垂直的直徑，連接端點(diǎn)，可以連得正四邊形以下圖，紫色局部。如果取四個(gè)等弧的中點(diǎn)，可以連成正八邊形以下圖，紅色局部。 HYPERLINK l 尺規(guī)作圖正多邊形#尺規(guī)作圖正多邊形 正五邊

8、形畫(huà)一圓 C。作直徑AB。取BC中點(diǎn)D。過(guò)C點(diǎn)作AB的垂直線交圓C于P點(diǎn)。以D點(diǎn)為圓心，DP為半徑畫(huà)弧交AB于E點(diǎn)。以P點(diǎn)為圓心，PE為半徑畫(huà)弧交圓于一點(diǎn)。再連續(xù)可取四個(gè)等弧，連接端點(diǎn)，就可以做出正五邊形。說(shuō)明：如果圓半徑是 r，圓接正五邊形的邊長(zhǎng)是 a。則 a2=r2+r2-2rrcos72=2r2(1-)=r2，因此 a=r。證明：CP= r，CD=，因此PD=r。而CE=r，所以 PE= r = r 。雪花圣誕節(jié)又降臨了，昌爸教師建議同學(xué)在窗戶裝飾一些雪花來(lái)應(yīng)景。先畫(huà)出以適當(dāng)長(zhǎng)度為一邊長(zhǎng)的正三角形，在每邊中間的三分之一的區(qū)段再貼上一塊新的正三角形，邊長(zhǎng)是原來(lái)正三角形邊長(zhǎng)的三分之一，如此重

9、復(fù)下去，將可做出如上圖的卡區(qū)雪花。每一區(qū)段是著名的卡區(qū)曲線(Koch curve)，這條既非筆直又非圓形的連結(jié)曲線，是瑞典數(shù)學(xué)家卡區(qū)(Helge vou Koch)在1904年首創(chuàng)。卡區(qū)雪花是一種饒富趣味的雪花，在制作成長(zhǎng)的過(guò)程中，周長(zhǎng)越長(zhǎng)越長(zhǎng)，面積越來(lái)越大，但不會(huì)自我穿插。每變形一次，其周長(zhǎng)變成原來(lái)的三分之四倍，如果一直重復(fù)下去，周長(zhǎng)將變得無(wú)限大。面積雖然也變大了，但不會(huì)超過(guò)原正三角形外接圓的面積?？▍^(qū)曲線(Koch curve)是一條在有限區(qū)間卻能容納無(wú)限長(zhǎng)度且不會(huì)自我穿插的曲線，它和直線一樣有無(wú)限長(zhǎng)的長(zhǎng)度，不夠它卻占了空間，但又不像平面一般，因此其維度比1大，但應(yīng)該比2小，直線是1度而平

10、面是2度。等積變形你相信一個(gè)廣口瓶(如右圖，可以在經(jīng)過(guò)切割后，重新組合成等積的正方形嗎？你試著將它切割成左以下圖，并將A、B、C、D四區(qū)域，移動(dòng)到右以下圖正方形的對(duì)應(yīng)區(qū)域。下面兩個(gè)圖形由于都以圓形局部為周界，假設(shè)要計(jì)算其面積，我們起初總會(huì)覺(jué)得必然涉及的數(shù)值。但假設(shè)細(xì)心觀察以下的切割互補(bǔ)程序，輕易可以看出兩個(gè)圖形的面積相等并且等于一個(gè)簡(jiǎn)單的長(zhǎng)方形面積。正多邊形的滾動(dòng)二個(gè)全等的正三角形，其中一個(gè)沿著另一個(gè)三角形周邊滾動(dòng)一圈后，會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)多少度呢？結(jié)果是720度。換作是其它正多邊形，是否也一樣是720度呢？圖解cos(*+y)BEO = 90，BAO = 90，ACB = 90，ADE = 90。右圖，如果AOD = * ，B