8數(shù)字信號處理4課件

1、即輸入x(n)，輸出為X(k)，分別討論DFT與FFT運算及系8.5 DFT與FFT的有限字長影響DFT與FFT在數(shù)字濾波器、頻譜分析中應用廣泛，了解DFT有限字長影響很重要，不過要精確分析是很困難的，只對選擇所需要寄存器長度的簡化分析就足以。分析時為方便要做許多假設(shè)，也采用輸入、輸出方式進行分析，數(shù)量化誤差的影響。8.5.1、DFT直接定點舍入計算誤差分析DFT定義為k=0,1,2,N-1(8.5-1)若將上式中的X(k)當作輸出，x(n)當作輸入，而的作用相當于單位脈沖響應，的運算流圖如圖所示。則無限精度下第k個X(k)值x(0)x(1)x(2)x(N1)X(k)不考慮的量化誤差，僅討論運

2、算引起的誤差。因為定點舍入運算每次相乘都會產(chǎn)生誤差，與前面的分析類似，將每次舍入誤差等效為一個噪聲源，此時第k個X(k)值的等效統(tǒng)計模型如圖所示。x(0)x(1)x(2)x(N1)(0,k)(2,k)(1,k)(N 1,k) 圖8.5-2中X(k)是無限精度下第k個X(k)值的運算結(jié)果，是有限精度下第k個X(k)值的運算結(jié)果，F(xiàn)(k)是第k個X(k)值運算結(jié)果的誤差。由圖8.5-2可見，各誤差直接加至輸出端，因此總的誤差輸出為有限精度運算下的輸出為(8.5-2)(8.5-3)通常x(n)、均為復數(shù)，計算的一次復數(shù)乘法是由四次實數(shù)乘法實現(xiàn)的，因此一次復數(shù)乘法會產(chǎn)生四次誤差，即(8.5-4)為了簡

3、化計算對輸出噪聲F(k)方差的計算，對i(n,k)(1)所有誤差i(n,k)是平穩(wěn)的零均值白噪聲序列；在(i=14)的統(tǒng)計特性作如下假設(shè)：2b/2 2b /2均勻分布，故方差；(2)各i(n,k)噪聲源彼此不相關(guān)；且某一次復乘的四個誤差源與其他復乘的噪聲源互不相關(guān)；(3)各誤差i(n,k)與輸入x(n)不相關(guān)，從而與輸出X(k)也不相關(guān)。復乘誤差的模平方為(8.5-5)由于各i(n,k)噪聲源彼此不相關(guān)，則由得到輸出噪聲F(k)方差(噪聲功率)為 (n,k) =1(n,k)+ 2(n,k)2+3(n,k) 4(n,k)2由此得到輸出噪聲F(k)方差(噪聲功率)為與FIR系統(tǒng)直接型相同，輸出噪聲

4、的方差正比于N。(8.5-6)由于定點運算受到動態(tài)范圍的限制，要防止X(k)溢出，因此要求(8.5-7)再由上式可得出輸出不溢出的充分條件為(8.5-8)即輸入只要乘以1/N因子，就可保證X(k)不溢出。xmax1/N =Nxmax1假設(shè)輸入x(n)是在1/N 1/N之間均勻分布的白色隨機信號，輸入信號的方差為(8.5-9)輸出信號的方差為(8.5-10)輸出噪信比為(8.5-11)上式表明噪信比與N2成正比，即N增加一倍時，為了保持噪信比不變或運算精度不變，字長必須要增加1位。8.5.2、FFT定點舍入計算誤差分析1、輸出噪信比以基2、時選法為例，分析定點舍入的運算誤差，其他FFT算法的誤差

5、分析可作相應修改。N=2M點的基2、時選FFT分為M級，每級有N/2各碟形，表示由m列到m+1列的基本模型如圖8.5-3所示蝶形定點舍入運算的統(tǒng)計Xm(i)Xm(j)(m,j)1圖中基本蝶形節(jié)點的下標m+1=M表示輸出序列X(k)。由圖可見，每個基本蝶形有一次復數(shù)乘法，產(chǎn)生一個誤差源(m,j)。該誤差源與DFT分析中的誤差源具有相同的統(tǒng)計特性，所以一次復數(shù)乘法引入誤差的方差為(8.5-12)m=0表示輸入序列x(n)，Xm(i)Xm(j)(m,j)1由于定點的加法運算無誤差，不影響方差；并且所以乘以系數(shù)對方差也沒有影響。因此各誤差源(m,j)通過后級碟形時，即誤差從源頭傳輸?shù)捷敵龆藭r方差不會變

6、化。所以計算第k個X(k)值運算結(jié)果的總輸出誤差F(k)，只要計算從輸入端到輸出端所涉及的蝶形數(shù)量即可。圖8.5-4 是N=8點的FFT時選流圖，圖中紅粗線條標明了與X(3)計算相關(guān)的蝶形。1x (0)x (1)x (2)x (3)x (4)x (5)x (6)x(7)X (0)X (1)X (2)X (3)X (4)X (5)X(6)X(7)11111111111第(1)級四個蝶形第(2)級兩個蝶形第(3)級一個蝶形第一級四個。由圖可見與X(3)有關(guān)的蝶形：第三級一個；第二級兩個F(3)=7(m,j)，一共有碟形1+2+22=7個 輸出噪聲源輸出噪聲方差EF(3) 2 = 7q2 /3 =

7、722b /3 由此可以類推N=2M點時噪聲輸出的一般情況，共有M級1 + 2 + 22 +2M-1 = 2M 1 = N 1 (8.5-13) 蝶形，與第k個X(k)有關(guān)的蝶形：M(末級)級一個；M1級(末前級) 兩個；M2級四個；，總共有碟形總的輸出噪聲方差當N很大時(8.5-14)由圖8.5-3的可見蝶形的運算關(guān)系為(8.5-15)由上式可以得到 (8.5-16) 的兩倍。一個N點FFT有M=log2N級蝶形，所以FFT的最這說明，蝶形結(jié)的輸出最大值不超過，但有可能為輸入后輸出不超過，但有可能為輸入的N=2M倍。即=Xm(i)+ Xm(j)2maxXm(i), Xm(j) maxX(k)

8、 2Mmax x(n)=N maxx(n) 所以若要保證X(k)不溢出，即maxX(k)1 ，就 (0nN 1) (8.5-17)假設(shè)信號是在1/N1/N之間均勻等概分布的白色隨機信號，其方差為(8.5-18)maxX(k) 2Mmax x(n)=N maxx(n) 要求x(n) 1/N FFT輸出的方差為(8.5-19)輸出噪信比為 (8.5-20) 噪信比與N2成正比。說明FFT算法僅提高運算速度，噪信比與直接算法相同。每增加一級(M加1)，噪信比增加4倍?；驗榱吮３衷胄疟炔蛔兓蜻\算精度不變，N增加一倍時字長要增加1位。2、改善噪信比的方法輸出信噪比不高的原因在很大程度上是由于輸入幅度限制

9、的過小所至，這種狀況是可以改善的。由前分析可知，一個蝶形結(jié)的輸出最大不超過輸入的兩倍。如果如圖運算不會溢出。所示，對每個蝶形結(jié)都乘以系數(shù)1/2，就可以保證蝶形1/2Xm(i)Xm(j)1Xm+1(j)Xm+1(i)不同，是把1/N的比例因子分解到每級運算中。 因為共有M=log2N級碟形，所以對全部FFT運算相當設(shè)置了比例因子 (1/2)M=1/N。與前面所討論的FFT處理因此在保持輸出信號方差不變的情況下，輸入幅度增加了N倍，即(8.5-21)這種處理輸出信號方差不變，但輸出噪聲卻小得多。x(n) 1 1/2由圖可見，由于多乘了一個系數(shù)，每個蝶形噪聲源由一個變?yōu)閮蓚€，且這樣每個蝶形噪聲方差為

10、Xm+1(j)Xm+1(i)Xm(i)Xm(j)(m,j)(m,i)1用，其幅度被衰減到1/2，而方差被衰減到1/4。這個誤差每通過后一級蝶形，受1/2比例因子的加權(quán)作注意到噪聲源所處的運算級不同，則最后的影響不同。 因此輸出噪聲的總方差為若M1，則輸出方差為(8.5-22)上式證明，噪聲方差一次次的被(1/2)2衰減，使得輸出這個結(jié)果正比 N 而不是 N 2。輸出噪信比：的方法好。噪聲越來越小的處理方法，比一次性乘以1/N比例因子(8.5-23)說明保持噪信比或運算精度不變的情況下，每增加一級蝶形只要增加二進制的半個數(shù)位(字長)；或每增加兩級蝶形只要增加二進制的一個數(shù)位(字長)。因此把1/N

11、的衰減分解到每級蝶形，以改善輸出噪信比，應該是更好的選擇。Xm(j)Xm(i) (m,j)8.5.3、FFT浮點舍入計算誤差分析與定點情況相同，對不同的FFT算法，相應的有限字長效應不同。仍以基2、時選N=2M 為例，從一個蝶形運算產(chǎn)生的誤差開始討論。圖中符號意義與定點運算統(tǒng)計模型相同。單個蝶形浮點運算統(tǒng)計模型如圖所示，1蝶形上端輸出為(下端輸出的討論相同)(8.5-24)其中em+1具有實部和虛部，即em+1 =er+j eier、ei分別由Xm+1(i)的實部和虛部運算所決定。浮點運算不論加法、乘法都產(chǎn)生誤差，而在這個運算中有兩次乘法、兩次加法，均引入舍入誤差，均用相對誤差表示，即以1、2

12、表示乘積引入的相對誤差，以1、2表示加法引入的相對誤差。(8.5-25)先分析實部誤差er (虛部誤差ei可以類推)，因為ReXm (i)各噪聲源與運算的關(guān)系如圖所示。 1+21+11+11+2由圖8.5-7得到浮點實部運算的輸出為式中ReXm+1(i)為無限精度實部運算結(jié)果，er為有限精度= ReXm+1(i)+er(8.5-26)實部運算結(jié)果的誤差。從表達式中略去、的所有高次項，可得：為分析簡便，作如下假設(shè)(1)、所有誤差源與信號x(n)不相關(guān)、獨立；都是彼此獨立、白色、等概分布，具有相同方差，因此(2)、x(n)是白色；實、虛部方差相同；且同一級各節(jié)點方差相同，即EReXm(q) 2=

13、EImXm(q) 2EXm(q) 2= EXm(q) 2= (1/2) E Xm(q) 2由此得到實部誤差的方差為(8.5-27)同理可得到虛部誤差的方差為(8.5-28)上式表明浮點制的輸出節(jié)點噪聲與其輸入節(jié)點變量相關(guān)。(8.5-29)則輸出節(jié)點噪聲em+1的方差為與定點分析情況相同，因為前一級誤差通過后一級蝶形時其方差保持不變，所以浮點FFT總的輸出誤差與從輸入x(n)到輸出X(k)經(jīng)過的蝶形個數(shù)相關(guān)，與第k個F(k)有關(guān)的蝶形： M(末級)級一個；M1 (末前級)級兩個；M2級四個；，即在輸出端總的輸出誤差方差為(8.5-30)因為每級蝶形輸出信號的方差是輸入信號方差的2倍，即(8.5-

14、31)求式(8.5-31)的方差，可得(8.5-32)EXm+1(i)2= EXm (i)2+ EXm(j)2=2 EXm (i)2 =2 EXm (j)2利用這一關(guān)系類推，將所有Xm(j)的方差用X(k)的方差表示為EXM1(j)2=0.5 EX(k)2 ；EXM2(j)2=(0.5)2 EX(k)2 ；Ex(j)2=(0.5)M EX(k)2 ；將上面的關(guān)系代入(8.5-30)式，得到最后總的輸出誤差方差為 輸出噪信比(8.5-34)(8.5-33)小變化，這也是所有浮點制運算的共同特點。由上式可見，輸出噪信比正比M，遠遠小于定點制的N=2M。這一結(jié)果表明相同尾數(shù)字長情況下，浮點噪信比比定

15、點小(運算精度高)。當然，這是由浮點制數(shù)字表達的復雜性換來的；另外浮點噪信比不隨信號幅度大8.5.4、FFT的系數(shù)量化效應無限精度表示的DFT為化誤差等效為隨機噪聲，用統(tǒng)計的方法分析系數(shù)量化效了解FFT系數(shù)量化效應影響很有必要，但要精確分析也不易。所以分析時為方便要做許多假設(shè)，也采用輸入、輸出方式分析，即輸入為 x(n)，輸出為X(k)。將系數(shù)量應。均是WN的各次冪系數(shù)，其中一些可能是不需相乘的1。(i=1,2,M)，總的乘積為系數(shù)量化后，上式可表示為(8.5-35)式中F(k)是由系數(shù)量化引起的DFT計算誤差由某個 x(n)計算X(k)要經(jīng)過M=log2N個碟形，故中有M個因子，為了分析方便

16、，也為了得到最差情況下誤差的影響，假定這M個因子都有誤差，即x(n)通過每級碟形時，都乘了系數(shù)。成為系數(shù)量化后，每個支路的，從而(8.5-36)則系數(shù)量化后的誤差為因為(8.5-37)與前相同，假定i是統(tǒng)計獨立、白色等概的隨機變量，一般i 很小，忽略與其有關(guān)的高次項，(8.5-38)故(8.5-39)則有所以(8.5-40)i的方差為令，的方差為因為，所以(8.5-41)由式(8.5-37)的輸出誤差的方差為(8.5-42)實際上系數(shù)量化誤差與運算誤差不同，對一個確定的濾波器，系統(tǒng)的字長b一定，每個系數(shù)量化后的數(shù)值是可知的，其系數(shù)的量化誤差也是確定值。在分析中將其假設(shè)為隨機變量，用統(tǒng)計方法分析是為了對誤差的大小作概率估計，即是最有可能出