信號與系統(tǒng)基礎及應用第5章-離散時間系統(tǒng)分析課件

1、信號與系統(tǒng)基礎及應用第1章 信號與系統(tǒng)基礎知識第2章 連續(xù)時間信號分析第3章 連續(xù)時間系統(tǒng)分析第4章 離散時間信號分析第5章 離散時間系統(tǒng)分析第6章 離散傅里葉變換及應用第7章 數(shù)字濾波器設計5.2 離散時間系統(tǒng)的頻域分析5.3 z變換5.4 離散時間系統(tǒng)的復頻域分析第5章 離散時間系統(tǒng)分析5.1 離散時間系統(tǒng)的時域分析5.1 離散時間系統(tǒng)的時域分析5.1.2 零輸入響應與零狀態(tài)響應 5.1.1 差分方程的建立和求解5.1.3 卷積和連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的比較連續(xù)系統(tǒng)（1）常系數(shù)線性微分方程離散系統(tǒng)（1）常系數(shù)線性差分方程h(t)（3）卷積積分（4）拉氏變換h(n)（3）卷積和（4）z變換（2）

2、（2）5.1.1 差分方程的建立和求解1.前向差分與后向差分 后向差分前向差分前向差分與后向差分的關系1階2階3階1階2階3階2.常系數(shù)差分方程，用來描述LTI離散系統(tǒng)。首項歸一化后：后向差分形式差分方程是具有遞推關系的代數(shù)方程，當已知初始條件和激勵時可以利用迭代法求得差分方程的數(shù)值解，尤其是當差分方程階次較低時使用方便。3.差分方程的求解方法（1）迭代法【例5.1】若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為:已知初始條件y(0)=0, y(1)=2, 激勵x(n)=2nu(n), 求y(n)。解：將原差分方程中除y(n)以外的各項都移到等號右端對n=2，將已知初始值y(0)=0, y(1)=2代入上式，得

3、依次迭代可得特點：便于用計算機求解（2）經(jīng)典解法完全解由齊次解和特解兩部分組成：LTI系統(tǒng)齊次解：齊次方程為它的N個根i (i=1,2, ,N)稱為差分方程的特征根。特征方程為N-r個單根r階重根幾種典型激勵函數(shù)相應的特解激勵函數(shù)x(n)響應函數(shù)y(n)的特解特解：選定特解后代入原差分方程，求出待定系數(shù)就得出方程的特解。完全解： 代入初始條件求出待定系數(shù)ki，于是得到完全解的閉式。解：方程的特征方程為【例5.2】若描述某系統(tǒng)的差分方程為已知初始條件y(0)=0, y(1)=-1, 激勵x(n)=2n, n0，求方程的全解。特征根為1 22，為2階重根，齊次解為由題意，設特解為將yf (n)代入

4、到原方程得全解為：將已知初始條件代入，得C11, C2=-1/4自然響應強迫響應5.1.2 零輸入響應與零狀態(tài)響應1.完全解的一般形式 零狀態(tài)響應，僅由外加激勵引起的響應零輸入響應，激勵為零時的響應零輸入零狀態(tài)自然強迫2.初始條件值起始狀態(tài)初始條件值全響應零輸入響應零狀態(tài)響應由完全態(tài)差分方程推出由零輸入差分方程推出由零狀態(tài)差分方程推出【例5.3】若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為已知x(n)=0,n0時為零，因而在n0時，系統(tǒng)的h(n)和系統(tǒng)的零輸入響應的函數(shù)形式相同。【例5.4】 設因果離散系統(tǒng)的差分方程為 y(n)-0.6 y(n-1)-0.16y(n-2)=5x(n)試求其單位脈沖響應h(n)

5、。解：當n0時，系統(tǒng)的差分方程變成齊次差分方程，即該系統(tǒng)的特征方程為 2-0.6-0.16=0特征根為-0.2和0.8，對應的特征模式為(-0.2)n和(0.8)n。得其單位脈沖響應 h(n)為 h(n)=d1(-0.2)n+d2(0.8)n , (n0)h(n)-0.6 h(n-1)-0.16h(n-2)=0h(0)= d1+d2=5因此單位脈沖響應 h(n)為 h(n)= (-0.2)n+4(0.8)n , （n0）或寫成 h(n)=(-0.2)n+4(0.8)nu(n) h(n)是零狀態(tài)響應，所以起始狀態(tài)為： h(-1)=h(-2)=h(-3)=0由 y(n)-0.6 y(n-1)-0.

6、16y(n-2)=5x(n)得:h(0)=0.6 h(-1)+0.16h(-2)+5(0)=5h(1)=0.6 h(0)+0.16h(-1)=3h(1)= d1(-0.2)+d2(0.8)=3求取系數(shù)：解得：d1=1，d2=45.1.3 卷積和1. 零狀態(tài)響應與卷積和2. 卷積和的性質(zhì)3. 卷積和的計算 (n) h(n)1.零狀態(tài)響應與卷積和系統(tǒng)系統(tǒng)x(n)的分解： x(n) yzs(n)=x (n)*h (n)一般定義: 2. 卷積和的性質(zhì)（1）卷積代數(shù)（2）離散卷積和的單位元是(n)（3）u(n)是數(shù)字積分器3. 卷積和的計算（1）直接按定義或性質(zhì)計算（2）圖解法計算（3）豎式法計算（1）

7、直接按定義或性質(zhì)計算【例5.5 】設有離散信號x1(n)=u(n),x2(n)=(1/2)nu(n)，求y(n)= x1(n)* x2(n)。由等比數(shù)列求和公式有 也可利用卷積和的性質(zhì)3u(n)是數(shù)字積分器性質(zhì)，得到解：（2）圖解法計算（3）豎式法計算不需要作進位。結論：三個LTI系統(tǒng)響應相同 4.利用卷積分析系統(tǒng)的簡單情況： 123【例5.6】LTI離散時間系統(tǒng)的輸入輸出關系如下圖所示：已知系統(tǒng)1的h1(n)=u(n), 系統(tǒng)2的h2(n) (n)-(n-1), 求系統(tǒng)1的輸出y1(n)、系統(tǒng)2的輸出y2(n)以及系統(tǒng)輸出y(n)?？梢?，系統(tǒng)1為累加器，系統(tǒng)2為一階差分運算器。若將系統(tǒng)1和系

8、統(tǒng)2級聯(lián)成一個系統(tǒng)，有系統(tǒng)輸出為恒等系統(tǒng)解：5.2.1 系統(tǒng)頻率響應5.2 離散時間系統(tǒng)的頻域分析5.2.2 正弦穩(wěn)態(tài)響應5.2.3 系統(tǒng)頻率響應的分析5.2.1 系統(tǒng)頻率響應h(n)稱H(ej)為離散時間系統(tǒng)的頻率響應；表示系統(tǒng)對輸入信號頻譜的作用；H(ej)是的周期函數(shù)，周期為2。1. 定義2. 系統(tǒng)頻率響應的計算差分方程【例5.7】 有一線性時不變系統(tǒng)，初始狀態(tài)為0，且由下列差分方程表征： 解：該系統(tǒng)的頻率響應為 試求其系統(tǒng)頻率響應和單位脈沖響應。 為了確定相應的單位脈沖響應，需要求 的反變換。和連續(xù)時間情況一樣，有效的方法是利用部分分式展開法，即 其中每一項的反變換都能直接求出來，其結

9、果為【例5.8】 已知一離散LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應為輸入信號為試求零狀態(tài)響應yzs(n)。 解：根據(jù)時域卷積性質(zhì)有 求上式IDTFT，有 5.2.2 正弦穩(wěn)態(tài)響應離散時間系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應與連續(xù)時間系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應類似。對于線性時不變系統(tǒng)，設輸入信號的形式為則一個單位脈沖響應為h(n)的因果系統(tǒng)相應的穩(wěn)態(tài)輸出為【例5.9】一個離散時間LTI系統(tǒng)的頻率響應為若輸入信號求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出響應yss(n)。根據(jù)頻率響應的物理意義可直接寫出下式解：分析輸入信號x(n)，知其頻率為/2。5.2.3 系統(tǒng)頻率響應的分析離散系統(tǒng)的濾波特性與連續(xù)系統(tǒng)的濾波特性類似。低通帶通高通帶阻全通頻率軸定標數(shù)字頻率【例

10、5.10】分析系統(tǒng)取a=0.5低通高通取a=-0.5的頻率響應特性。解：5.3 z變換5.3.1 z變換的定義及收斂域5.3.2 基本z變換對5.3.3 z變換的性質(zhì)5.3.4 z反變換5.3.4 z變換與拉氏變換的關系5.3.1 z變換的定義是復變量z-1的冪級數(shù)，又稱為羅朗級數(shù)。雙邊z變換：若雙邊序列取單邊z變換，或對因果信號序列取z變換，得 1.對z變換式的理解z的正冪級數(shù)構成左邊序列z的負冪級數(shù)構成右邊序列（1）收斂域的定義收斂的所有z 值之集合為收斂域，即需滿足下式：對于任意給定的序列x(n) ，能使（ROC: Region of convergence）不同的x(n) 可能對應于相

11、同的z變換，但收斂域不同。故在確定 z 變換時，必須指明收斂域。2. z變換的收斂域（2）有限長序列的收斂域所以，收斂域為 的z平面。 設則有當時，即 時收斂ROC：（3）右邊序列的收斂域【例5.11】求信號x(n)的z變換的收斂域。若該序列收斂，則要求即收斂域為： 半徑為1/3的圓外解：ROC: （4）左邊序列的收斂域當即時收斂?！纠?.12】求信號x(n)的z變換的收斂域。收斂域為：解：半徑為3的圓內(nèi)（5）雙邊序列的收斂域【例5.13】求信號x(n)的z變換的收斂域。x(n)的ROC:解：左邊序列收斂域為：右邊序列收斂域為： 內(nèi)徑為1/3、外徑為3的圓環(huán)小結X(z)的收斂域（ROC）為 z

12、 平面以原點為中心 的圓環(huán)；ROC內(nèi)不包含任何極點（以極點為邊界）；有限長序列的ROC為整個 z 平面 （可能除去z = 0 和z = ）；右邊序列的ROC為 的圓外；左邊序列的ROC為 的圓內(nèi)；雙邊序列的ROC為 的圓環(huán)。1單位抽樣信號5.3.2 基本z變換對2單位階躍序列3指數(shù)序列(1)右邊序列注意：z 變換相同時，左邊序列的定義和收斂條件。(2)左邊序列則4正弦與余弦序列 單邊余弦序列 同理，對于單邊正弦序列因為5.3.3 z變換的性質(zhì)性質(zhì)名稱數(shù)學表達式線性時移特性雙邊單邊z域尺度變換性質(zhì)名稱數(shù)學表達式復頻移特性z域微分時域翻轉時域卷積初值定理終值定理續(xù)前頁表5.3.4 z變換與拉氏變換

13、的關系1. 關系式s平面z平面2.兩個平面相互映射的4種情況（1）s平面的原點 ，z平面 ，即 。左半平面虛軸右半平面左向右移單位圓內(nèi)單位圓上單位圓外半徑擴大（2）（3）（4）sz映射不是單值的。，即s實軸z正實軸1.部分分式展開法5.3.5 z反變換2.冪級數(shù)展開法1部分分式展開法z變換式的一般形式 為了保證z=處收斂，其分子多項式的階次不能大于分母多項式的階次。因果序列右邊序列收斂域|z|R,包括z=。z變換最常見的基本形式： 部分分式展開法求z反變換的步驟（1）使 為真分式；（2）進行部分分式展開；（3）（4）查常用z變換表。（1）一階極點是一階極點的系數(shù)是極點z=0的系數(shù)所以【例5.1

14、4】查表解：（1）（2）（3）（4）收斂域與原函數(shù)的對應：右 右右 左左 左（2）高階極點（重根）為r階極點則r階極點的系數(shù)為：【例5.15】已知求反變換x(n)。解：（1）（2）（3）（4）根據(jù)題目中給出的收斂條件：2冪級數(shù)展開法z變換式一般是z的有理函數(shù)，即： 可直接用長除法進行反變換。（是一個關于z 的冪級數(shù)）右邊序列進行z反變換時將X(z)以z的降冪排列左邊序列進行z反變換時將X(z)以z的升冪排列因為長除結果無常數(shù)項，可設x(0)=0。【例5.16】解：【例5.17】已知求x(n)。解：5.4 離散時間系統(tǒng)的復頻域分析5.4.1差分方程的z域求解5.4.2 系統(tǒng)函數(shù)5.4.3 零極點

15、圖與系統(tǒng)特性分析求解線性時不變離散系統(tǒng)的差分方程有兩種常用方法：時域方法z變換方法5.4.1差分方程的z域求解線性時不變（LTI）離散時間系統(tǒng)線性常系數(shù)差分方程1應用z變換求解差分方程步驟(1)對差分方程進行單邊z變換（時移性質(zhì)）；(2)由z變換方程求出響應Y(z) ；(3) 求Y(z) 的反變換，得到y(tǒng)(n) ?！纠?.18】解:方程兩邊取z變換代入起始條件LTI系統(tǒng)的差分方程為整理為差分方程解的驗證【例5.19】解：方程兩端取z變換2. 差分方程全響應y(n)的起始點確定全響應y(n)起始點根據(jù)輸入信號x(n)加上的時刻確定。對因果系統(tǒng)，y(n)不可能出現(xiàn)在x(n)之前。觀察Y(z)分子分

16、母的冪次，分母高于分子的次數(shù)是響應的起點 ，例如【例5.20】解：已知系統(tǒng)框圖，(1)列出系統(tǒng)的差分方程。求系統(tǒng)的響應 y(n)。 （1） 列差分方程，從加法器入手(2) （3）差分方程兩端取z變換，利用右時移性質(zhì)（2）進行z變換需要用到y(tǒng)(-1)、y(-2),可通過y(0)、y(1),迭代求得。a.由激勵引起的零狀態(tài)響應求零狀態(tài)響應為即b.由起始狀態(tài)引起的零輸入響應即求零輸入響應為對n-2都成立c. 全響應由方程解y(n)表達式可以得出y(0)=0, y(1)=0，和已知條件一致?；蝌炞C1定義線性時不變離散系統(tǒng)可由線性常系數(shù)差分方程描述，一般形式為 激勵為因果序列系統(tǒng)處于零狀態(tài)上式兩邊取z變

17、換得5.4.2 系統(tǒng)函數(shù)單位脈沖響應h(n)與系統(tǒng)函數(shù)H(z):H(z)只與系統(tǒng)的差分方程的系數(shù)、結構有關，描述了系統(tǒng)的特性。h(n)和H(z)為一對z變換。則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為：則解：求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應：在零狀態(tài)條件下，對差分方程兩邊取單邊z變換已知離散系統(tǒng)的差分方程為：【例5.21】1.由零極點分布確定單位脈沖響應零點極點5.4.3 零極點圖與系統(tǒng)特性分析展成部分分式：（假設無重根） H(z)的極點，可以是不同的實數(shù)或共軛復數(shù)，決定了h(n)的特性。其規(guī)律可能是指數(shù)衰減（減幅）、上升（增幅）或為等幅振蕩。 與H(z)的零點、極點分布都有關。 由零極點分布確定的單位脈沖響應為：2.極點位置與

18、h(n)形狀的關系s平面z平面極點位置h(t)特點極點位置h(n)特點虛軸上等幅單位圓上等幅原點時 左半平面減幅單位圓內(nèi)減幅右半平面增幅單位圓外增幅zs平面的映射關系對比分析3.離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性對于穩(wěn)定系統(tǒng)，只要輸入是有界的，輸出必定是有界的（Bounded Input,Bounded Output)。(2)穩(wěn)定性判據(jù)(1)定義：判據(jù)1：離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：單位脈沖響應絕對可和。判據(jù)2：對于因果系統(tǒng)，其穩(wěn)定的充要條件為： H(z)的全部極點應落在單位圓之內(nèi)，即收斂域應包括單位圓在內(nèi): 。 連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件極點H(s)的極點全部在左半平面H(z)的極點全部在單位圓內(nèi)收斂域含虛軸的右半平面含單位圓的圓外臨界穩(wěn)定的極點沿虛軸單位圓上4.連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的比較 5系統(tǒng)的因果性系統(tǒng)因果性的判斷方法：z域： 收斂域必定