2022高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(人教A理一輪)高考大題專項(xiàng)(一)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI高考大題專項(xiàng)(一)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用第三章2022內(nèi)容索引0102突破1利用導(dǎo)數(shù)研究與不等式有關(guān)的問題突破2利用導(dǎo)數(shù)研究與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的問題必備知識預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破必備知識預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破【考情分析】 從近五年的高考試題來看,對導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用的考查常常是一大一小兩個題目,其中解答題的命題特點(diǎn)是:以三次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及分式函數(shù)為命題載體,以切線問題、單調(diào)性問題、極值最值問題、恒成立問題、存在性問題、函數(shù)零點(diǎn)問題為設(shè)置條件,與參數(shù)的范圍、不等式的證明、方程根的分布綜合成題,重點(diǎn)考查學(xué)生應(yīng)用

2、分類討論思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)換與化歸思想來分析問題、解決問題的能力.必備知識 預(yù)案自診【知識梳理】 突破1利用導(dǎo)數(shù)研究與不等式有關(guān)的問題1.與ex,ln x有關(guān)的常用不等式的結(jié)論(1)由f(x)=ex圖象上任一點(diǎn)(m,f(m)的切線方程為y-em=em(x-m),得exem(x+1)-mem,當(dāng)且僅當(dāng)x=m時,等號成立.當(dāng)m=0時,有ex1+x;當(dāng)m=1時,有exex.(2)由過函數(shù)f(x)=ln x圖象上任一點(diǎn)(n,f(n)的切線方程為y-ln n= (x-n),得ln x x-1+ln n,當(dāng)且僅當(dāng)x=n時,等號成立.當(dāng)n=1時,有l(wèi)n xx-1;當(dāng)n=e時,有l(wèi)n x

3、x.(3)由(1),(2)得,若x(0,+),則exx+1x-1ln x.2.證明含參數(shù)的函數(shù)不等式,其關(guān)鍵在于將所給的不等式進(jìn)行“改造”,得到“一平一曲”,然后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出“曲”的最值,將其與“平”進(jìn)行比較即可.3.函數(shù)不等式的類型與解法(1)xD,f(x)kf(x)maxk;xD,f(x)kf(x)mink;(2)xD,f(x)g(x) f(x)maxg(x)min;xD,f(x)g(x) f(x)ming(x)max.4.含兩個未知數(shù)的不等式(函數(shù))問題的常見題型及具體轉(zhuǎn)化策略(1)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的最大值.(2)x

4、1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最小值.(3)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的最小值.(4)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最大值.(5)x1a,b,當(dāng)x2c,d時,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域與g(x)在c,d上的值域交集非空.(6)x1a,b,x2c,d,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域.(7)x2c,d,x1a,b,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g

5、(x)在c,d上的值域.關(guān)鍵能力 學(xué)案突破考點(diǎn)1求函數(shù)不等式的參數(shù)的取值范圍(多考向探究)考向1求單變量函數(shù)不等式的參數(shù)的取值范圍【例1】 已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)略;(2)若當(dāng)x(1,+)時,f(x)0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.()當(dāng)2-a0,即10,于是f(x)在(1,+)上單調(diào)遞增,于是f(x)f(1)=0.()當(dāng)2-a2時,存在x0(1,+),使得當(dāng)1xx0時,f(x)0,于是f(x)在(1,x0)上單調(diào)遞減,所以f(x)0,f(x)0成立,求a的取值范圍,即求當(dāng)x0,f(x)0恒成立時的a的取值范圍,即研究a取什么范圍使得當(dāng)x0時f(x)0成立.2.對于

6、恒成立求參數(shù)取值范圍的問題,最值法與分離參數(shù)法是兩種最常用的方法.如果分離后的函數(shù)容易求最值,則選用分離參數(shù)法,否則選用最值法.最值法主要考查學(xué)生分類討論的思想,一般遵循“構(gòu)造函數(shù)分類討論”兩步來展開.一些稍難的恒成立問題,如果用分離參數(shù)法來處理,往往需要多次求導(dǎo)和使用洛必達(dá)法則.對點(diǎn)訓(xùn)練1(2020新高考全國1,21)已知函數(shù)f(x)=aex-1-ln x+ln a.(1)當(dāng)a=e時,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;(2)若f(x)1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.考向2求雙變量函數(shù)不等式的參數(shù)的取值范圍 解題心得對于含有兩個變量的不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的

7、問題,一般要找到兩個變量的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為一個變量,從而得到一個函數(shù);也可以從含有兩個變量的不等式中抽象出一個函數(shù)是單調(diào)函數(shù).對于求參數(shù)的取值范圍,可以分離出變量,得到一個不等式,通過函數(shù)的最值得參數(shù)的取值范圍;如果變量不易分離,可以對參數(shù)進(jìn)行討論,看參數(shù)在什么范圍不等式成立,從而求出參數(shù)的取值范圍.考點(diǎn)2利用導(dǎo)數(shù)證明不等式(多考向探究)考向1單未知數(shù)函數(shù)不等式的證明【例3】 已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).(1)略;(2)當(dāng)m2時,證明f(x)0.解 (1)略.又因?yàn)楫?dāng)x(-m)+時,f(x)-,當(dāng)x+時,f(x)+,所以f(x)=0在(-m,+)上有唯一的實(shí)數(shù)根x0,當(dāng)-mxx0時,f

8、(x)x0時,f(x)0,所以f(x)在(-m,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=x0時,f(x)取得最小值.證法3:當(dāng)m2,x(-m,+)時,ln(x+m)ln(x+2),于是f(x)ex-ln(x+2),所以只要證明ex-ln(x+2)0(x-2),就能證明當(dāng)m2時,f(x)0.由ln xx-1(x0)可得ln(x+2)x+1(x-2).又因?yàn)閑xx+1(xR),且兩個不等號不能同時成立,所以exln(x+2),即ex-ln(x+2)0(x-2),所以當(dāng)m2時,f(x)0.解題心得1.對于含有參數(shù)的一個未知數(shù)的函數(shù)不等式,其證明方法與不含參數(shù)的一個未知數(shù)的函數(shù)不等式證明

9、大體一致.可以直接證明,也可以放縮后再證明,也可以分離參數(shù)后,利用導(dǎo)數(shù)求最值來證明.2.證法1與證法2中出現(xiàn)的x0的具體數(shù)值是無法求解的,只能求出其范圍,我們把這種零點(diǎn)稱為“隱性零點(diǎn)”.證法2比證法1簡單,這是因?yàn)槔昧撕瘮?shù)單調(diào)性將命題ex-ln(x+m)0加強(qiáng)為ex-ln(x+2)0,轉(zhuǎn)化為研究一個特例函數(shù)的問題,從而大大降低了題目的難度.證法2中,因?yàn)?x0)的表達(dá)式涉及(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,-1)處的切線方程;(2)求證:當(dāng)a1時,f(x)+e0.(1)略;(2)設(shè)函數(shù)g(x)=ln x+1,證明:當(dāng)x(0,+)且a0時,f(x)g(x).解題心得欲證函數(shù)不等式f(x)g(x

10、)(xI,I是區(qū)間),設(shè)h(x)=f(x)-g(x)(xI),即證h(x)0,為此研究h(x)的單調(diào)性,先求h(x)的零點(diǎn),根據(jù)零點(diǎn)確定h(x)在給定區(qū)間I上的正負(fù),若h(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減或先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增,只須h(x)min0(xI)(若h(x)min不存在,則須求函數(shù)h(x)在與區(qū)間I相應(yīng)的閉區(qū)間上的端點(diǎn)處的函數(shù)值),若h(x)在區(qū)間I上先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減,只須區(qū)間I的端點(diǎn)的函數(shù)值大于或等于0;若h(x)的零點(diǎn)不好求,可設(shè)出零點(diǎn)x0,然后確定零點(diǎn)的范圍,進(jìn)而確定h(x)的單調(diào)區(qū)間,求出h(x)的最小值h(x0),再研究h(x0)的正負(fù).對點(diǎn)訓(xùn)練4(2020全國2,理2

11、1)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin 2x.(1)討論f(x)在區(qū)間(0,)的單調(diào)性;考向2雙未知數(shù)函數(shù)不等式的證明 解題心得對于兩個未知數(shù)的函數(shù)不等式問題,其關(guān)鍵在于將兩個未知數(shù)化歸為一個未知數(shù),常見的證明方法有以下四種:方法1:利用換元法,化歸為一個未知數(shù);方法2:利用未知數(shù)之間的關(guān)系消元,化歸為一個未知數(shù);方法3:分離未知數(shù)后構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性證明;方法4:利用主元法,構(gòu)造函數(shù)證明.所以h(a)在e,+)上單調(diào)遞減.所以h(a)h(e).即g(a)g(e)=ln 8e-6e+2=(1+3ln 2)-6e+2=3ln 2-6e+33-6e+3=6-6e0,所以g(a)在e,+)上

12、單調(diào)遞減,g(a)g(e)=eln 8e-3e2+3e=e(1+3ln 2)-3e2+3e=e(3ln 2-3e+4)e(3-3e+4)=e(7-3e)0,所以g(a)0時,討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個數(shù).解 (1)略.(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x)=ex+(x-1)ex-kx=xex-kx=x(ex-k),當(dāng)00,解得x0.f(x)在(-,ln k)和(0,+)上單調(diào)遞增,在ln k,0上單調(diào)遞減.由f(0)=-1,當(dāng)x(-,0)時,此時f(x)無零點(diǎn),當(dāng)x0,+)時,f(2)=e2-2ke2-20.又f(x)在0,+)上單調(diào)遞增,f(x)在0,+)上有唯一的零點(diǎn),函數(shù)f(x)在定義域

13、(-,+)上有唯一的零點(diǎn).當(dāng)k1時,令f(x)0,解得xln k,f(x)在(-,0)和(ln k,+)上單調(diào)遞增,在0,ln k上單調(diào)遞減.當(dāng)x(-,ln k)時,f(x)f(x)max=f(0)=-12,g(t)0,g(t)在(2,+)上單調(diào)遞增,g(t)g(2)=e2-20,g(t)在(2,+)上單調(diào)遞增,得g(t)g(2)=e2-20,即f(k+1)0.f(x)在ln k,+上有唯一的零點(diǎn),故函數(shù)f(x)在定義域(-,+)上有唯一的零點(diǎn).綜合可知,當(dāng)k0時,函數(shù)f(x)在定義域(-,+)上有且只有一個零點(diǎn).解題心得有關(guān)函數(shù)的零點(diǎn)問題的解決方法主要是借助數(shù)形結(jié)合思想,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單

14、調(diào)性和極值,利用函數(shù)的單調(diào)性模擬函數(shù)的圖象,根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)的要求,控制極值點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù),從而解不等式求出參數(shù)的取值范圍.(1)當(dāng)m=-1時,求函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)的零點(diǎn)個數(shù);(2)若x01,+),使得f(x0)g(x0),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.考點(diǎn)2與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的證明問題【例2】 (2019全國1,理20)已知函數(shù)f(x)=sin x-ln(1+x),f(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明:(2)f(x)有且僅有2個零點(diǎn).(2)f(x)的定義域?yàn)?-1,+).當(dāng)x(-1,0時,由(1)知,f(x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞增,而f(0)=0,所以當(dāng)x(-1,0)時,f(x)1,所以f

15、(x)0,從而f(x)在區(qū)間(,+)上沒有零點(diǎn).綜上,f(x)有且僅有2個零點(diǎn).解題心得1.如果函數(shù)中沒有參數(shù),一階導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn),判斷極值點(diǎn)大于0小于0的情況,進(jìn)而判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù).2.如果函數(shù)中含有參數(shù),往往一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)不好判斷,這時先對參數(shù)進(jìn)行分類,再判斷導(dǎo)數(shù)的符號,如果分類也不好判斷,那么需要對一階導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),在判斷二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)時,也可能需要分類.對點(diǎn)訓(xùn)練2(2020安徽合肥二模,文21)已知函數(shù)f(x)=exsin x.(e是自然對數(shù)的底數(shù))(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-2x,證明g(x)在(0,)上只有兩個零點(diǎn).(參考數(shù)據(jù):考點(diǎn)3已

16、知函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)的取值范圍【例3】 已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)有兩個零點(diǎn),求a的取值范圍.所以h(x)在R上單調(diào)遞增,而h(0)=0,所以當(dāng)x0時,h(x)0時,h(x)0,于是當(dāng)x0,當(dāng)x0時,g(x)0,所以g(x)在(-,0)上單調(diào)遞增,在(0,+)上單調(diào)遞減.g(0)=1,當(dāng)x-時,g(x)-,當(dāng)x+時,g(x)0+.函數(shù)g(x)的簡圖如圖所示.若f(x)有兩個零點(diǎn),則y=a與g(x)有兩個交點(diǎn),所以a的取值范圍是(0,1).解題心得對函數(shù)的零點(diǎn)問題,解題策略是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn),三種方式中(一平一曲、一斜一曲

17、、兩曲)最為常見的是一平一曲.方法一是直接考慮函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)情況,方法二是分離參數(shù)法,兩種方法的本質(zhì)都是一平一曲.另外我們對某些函數(shù)或許可以通過換元,降低函數(shù)的解決難度.對點(diǎn)訓(xùn)練3(2020全國1,文20)已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+2).(1)當(dāng)a=1時,討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)有兩個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解 (1)當(dāng)a=1時,f(x)=ex-x-2,則f(x)=ex-1.當(dāng)x0時,f(x)0時,f(x)0.所以f(x)在(-,0)上單調(diào)遞減,在(0,+)上單調(diào)遞增.(2)f(x)=ex-a.當(dāng)a0時,f(x)0,所以f(x)在(-,+)上單調(diào)遞增,故f

18、(x)至多存在1個零點(diǎn),不合題意.當(dāng)a0時,由f(x)=0可得x=ln a.當(dāng)x(-,ln a)時,f(x)0.所以f(x)在(-,ln a)上單調(diào)遞減,在(ln a,+)上單調(diào)遞增,故當(dāng)x=ln a時,f(x)取得最小值,最小值為f(ln a)=-a(1+ln a).考點(diǎn)4利用導(dǎo)數(shù)解決存在性問題【例4】 (2019全國3,理20)已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b.(1)討論f(x)的單調(diào)性.(2)是否存在a,b,使得f(x)在區(qū)間0,1的最小值為-1且最大值為1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,說明理由.(2)滿足題設(shè)條件的a,b存在.當(dāng)a0時,由(1)知,f(x)在0,1上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(0)=b,最大值為f(1)=2-a+b.此時a,b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.當(dāng)a3時,由(1)知,f(x)在0,1上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間0,1上的最大值為f(0)=b,最小值為f(1)=2-a+b.此時a,b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.解題心得依據(jù)已知條件,判別某種數(shù)學(xué)對象是否存在的問題,由解答者去探索和確定,它的解法是:假設(shè)存在,直接推斷,通