專題06 不等式（理）（教學(xué)案）

1、專題六不等式一.考場(chǎng)傳真.L【2015高考四川，理9】如果函數(shù)2)/+( 8卜+ 1(m20, 20)在區(qū)間2上單 TOC o 1-5 h z 22(D)812調(diào)遞減，則2的最大值為()(A) 16(B) 18(C) 25【答案】B【解析】根W2時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為根W2時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為x =上學(xué).據(jù)題意“當(dāng)機(jī)2時(shí)，2二色22即m-2m-2/ 2/tz i 幾2m+n12 .: y/2m-n 6,/. mn W18 .由 2m=且 2m+ = 12 得m=3, = 6 .當(dāng)機(jī) 2時(shí)，拋2物線開口向下，據(jù)題意得，2二學(xué)工工即加+218.T荷工如也2,故應(yīng)舍去.要使得機(jī)取得最大值，應(yīng)有m+2

2、= 18 (m8).所以mn = (18-2/? (18-2x8)x8 = 16,所以最大值為 18選 B.y W 0,2.12015高考北京，理2若x, y滿足x+yWl,則z = x + 2y的最大值為()0,C.-C.-D. 2【解析】如圖，先畫出可行域，由于z = x + 2p,則p =+ 令Z = 0,作直線p = -( X , TOC o 1-5 h z 222在可行域中作平行線，得最優(yōu)解(0,1),此時(shí)直線的截距最大，Z取得最小值2.3.12015高考廣東，理6】若變量，滿足約束條件則的最小值為()A.B. 6C.D.4【答案【解析】不等式所表示的可行域如下圖所示，37.二一-1

3、 由n=3x+2i得1,=一二x+二，由上圖結(jié)合題意可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線八丫 = -二x+二經(jīng)過(guò)a時(shí)，z4 23取得最小值即z, =3xl + 2x =二，故選。學(xué)科曲 山 e.A A【考點(diǎn)定位】二元一次不等式的線性規(guī)劃.4. 2015 高考陜西，理 9】設(shè)/(x) = lnx,0 ，若 p = f(4ab)，q = /() , r = (/(6Z)+ /(/?),則下列關(guān)系式中正確的是()A. q rpC. p rq【答案】c【解析】p(病=ln而，q = f(等) = ln等=支3) +)=9成=ln而,函數(shù)/(x) = lnx在(0,y)上單調(diào)遞增，因?yàn)橥烈睯%,所以/(竺茄)，所以q =

4、 r,故選C.x + 205.12015高考天津，理2】設(shè)變量滿足約束條件x y + 320 ,則目標(biāo)函數(shù)z = x + 6y的最大值為2x+y-30()(A) 3(B) 4(C) 18(D) 40【答案】C7.12015高考陜西，理10】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A, B兩種原料.已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需 原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬(wàn)元、4萬(wàn)元，則該企業(yè) 每天可獲得最大利潤(rùn)為()A. 12萬(wàn)元B. 16萬(wàn)元C. 17萬(wàn)元D. 18萬(wàn)元甲原料限額A (噸)3212B (噸)128【答案】D【解析】設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x、y噸，則利

5、潤(rùn)z = 3x + 4y由題意可列3x + 2y 12 x+2jQ y0其表示如圖陰影部分區(qū)域:8.12015高考山東，理5】不等式5|2的解集是()(A) (-S, 4)(B) (6 1)(C) (1, 4)(1, 5)【答案】A【解析】原不等式同解于如下三個(gè)不等式解集的并集;(D)(/)Jxl11 - x x - 5 21 x5(/乂x 1 + x-52x 1 x+5 2解(I)得：XV1 ,解(II)得：1%4，解(III)得：，所以，原不等式的解集為小4 .故選A.二.高考研究【考綱要求】.不等關(guān)系了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景. 一元二次不等式（1）會(huì)

6、從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通過(guò)函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.（3）會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖.二元一次不等式組與簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題（1）會(huì)從實(shí)際情境中抽冢出二元一次不等式組.（2）了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.（3）會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題，并能加以解決.基本不等式： 號(hào)之而力之0）掌握兩個(gè)（不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均 數(shù)的定理，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用。（1）了解基本不等式的證明過(guò)程.（2）會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（?。┲祮?wèn)題.不等

7、式選講一（1）理解絕時(shí)值的幾何意義，并能利用含絕時(shí)值不等式的幾何意義證明以下不等式：I a+b I W I a I + I b | ； I ab I W I ac I + I cb I ；（2）會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類型的不等式：I ax+b I Wc；I ax+b I Nc；I x-c I + I x-b | 三a（3）通過(guò)一些茴單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.【命題規(guī)律】不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容之一，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和重要工具，因而是數(shù)學(xué)高考 命制能力題的重要版塊.在近年來(lái)的高考數(shù)學(xué)中，有關(guān)不等式的試題都占有較大的比重.不僅考

8、查有關(guān)不 等式的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法，而且注重考查邏輯思維能力、運(yùn)算能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn) 題的能力.在題型上，選擇題、填空題主要考查不等式的性質(zhì)、解簡(jiǎn)單不等式、簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用、絕 對(duì)值不等式、簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化求參數(shù)范圍、比較大小等;解答題主要考查基本不等式的應(yīng)用、含參不等式的解法、 求恒成立中的參數(shù)范圍、證明不等式、最值型綜合題以及實(shí)際應(yīng)用題等.試題常常是寓不等式的證明、解 不等式、求參數(shù)范圍于函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、三角、解析幾何、立體幾何、實(shí)際應(yīng)用等問(wèn)題之中，知識(shí)覆蓋 面廣、綜合性強(qiáng)、思維力度大、能力要求高，是高考數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、考能力、考素質(zhì)的主陣地.從 近幾年數(shù)學(xué)試題得到啟示

9、：涉及不等式解法的題目，往往較為容易；對(duì)簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用的考查，不但 具有連續(xù)性，而且其題型規(guī)律易于把握；對(duì)基本不等式的考查，較多的富于綜合題目之中.通過(guò)第二輪的專題復(fù)習(xí)，應(yīng)注意在鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的基礎(chǔ)上，強(qiáng).化記憶，熟化常見題型的解法， 提升綜合應(yīng)用不等式解題的能力.一.基礎(chǔ)知識(shí)整合L在證明不等式的各種方法中，作差比較法是一種最基本、最重要的方法，它是利用不等式兩邊的差是正數(shù)還是負(fù)數(shù)來(lái)證明不等式，其應(yīng)用非常廣泛，一定要熟練掌握./1 22,.對(duì)于公式疝，次7V 匕P 要理解它們的作用和使用條件及內(nèi)在聯(lián)系，兩個(gè)公式也體現(xiàn)了 I 2 ,和a+b的轉(zhuǎn)化關(guān)系.在應(yīng)用均值定理求最值時(shí)，要把握定

10、理成立的三個(gè)條件，就是“一正各項(xiàng)均為正；二定積或和為 定值；三相等等號(hào)能否取得”.若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.解不等式的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化過(guò)程,因此在學(xué)習(xí)中理解保持同解變形是解不等式應(yīng)遵循的基 本原則.轉(zhuǎn)化的方法是:超越式 分式 整式（高次） 整式（低次） 一次（或二次）不等式.其中準(zhǔn)確熟練 求解一元二次（一次）不等式是解其他不等式的基礎(chǔ)，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想。5,平面區(qū)域的確定方法是“直線定界，特殊點(diǎn)定域”，二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所 表示的半平面的交集.確定平面區(qū)域中單個(gè)變量的范圍、整點(diǎn)個(gè)數(shù)等，只需把區(qū)域畫出來(lái)，結(jié)合圖形通過(guò) 計(jì)算解決.nz76.線

11、性目標(biāo)函數(shù)z=6Lx+勿中的z不是直線依+/y=z在y軸上的截距，把目標(biāo)函數(shù)化為y= x+可知一 bbb是直線ad力=2在/軸上的截距，要根據(jù)b的符號(hào)確定目標(biāo)函.數(shù)在什么情況下取得最大值、什么情況下取得最小值.7,含有絕對(duì)值的不等式的指導(dǎo)思想是去掉絕對(duì)值。常用的方法是：（1）由定義分段討論；（2）利用絕對(duì)值不等 式的性質(zhì)；（3）平方；（4）利用絕對(duì)值的幾何意義.二.高頻考點(diǎn)突破.考點(diǎn)1簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用y 2 0,x + 2y 6,y 2 0,x + 2y 0,【例1】【江蘇省蘇州市2014屆高三九月測(cè)試試卷】已知實(shí)數(shù)滿足不等式組3x+y0,滿足 xQ,【例21廣東省廣州市越秀區(qū)2014屆高三

12、上學(xué)期摸底考試（理）婦知實(shí)數(shù)x j滿足學(xué)+ X1,則z = x - y的最大值是.【規(guī)律方法】這是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用的基本題型,基本思路是：畫、移、解、代.技巧是：往往在“角點(diǎn)” 處取得最值，直接代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可.需特別注意的是目標(biāo)函數(shù)中y的系數(shù)為負(fù)，所以，其取得最值的情況 與“縱截距”的大小相反.【舉一反三】【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（陜西卷）】若點(diǎn)5H位于曲線=口-“與y=2所圍成的封閉區(qū)域，則%一的最小值為.考點(diǎn)2簡(jiǎn)單線性規(guī)劃”逆向”問(wèn)題，確定參數(shù)的取值（范x 0,【例3】【2014屆江蘇誠(chéng)賢中學(xué)高三上學(xué)期月考（理）卷】已知實(shí)數(shù)與y滿足約束條件%之2工+ 1,（左為 x+

13、y + 40,【舉一反三】【2014屆山東舊照市高三12月校際聯(lián)考(理)】設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件j8x-y-4W0,x 0, 0若目標(biāo)函數(shù)z = abx+y(a0,0)的最大值為8,則a+b的最小值為.考點(diǎn)3基本不等式的應(yīng)用【例4】【2014屆江方城賢中學(xué)高三上學(xué)期月考(理)卷】設(shè)正實(shí)數(shù)xj,z滿足-3秋+ 4/z = 0,則當(dāng)二取得最小值時(shí)，x + 2y-z的最大值為.【規(guī)律方法】應(yīng)用基本不等式，應(yīng)注意“一正、二定、三相等“，缺一不可.靈活的通過(guò)“拆、漆、代(換)”, 創(chuàng)造應(yīng)用不等式的條件，是解答此類問(wèn)題的技巧;忽視等號(hào)成立的條件，是常見錯(cuò)誤之一.【舉一反三】【2014屆江蘇省新課程高三上學(xué)期第

14、三次適應(yīng)性考試(理)】若對(duì)滿足條件x+y + 8 =盯的正實(shí)數(shù)羽y都有(x + y)2 - (x + y) +12 0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.考點(diǎn)4不等式的綜合應(yīng)用【例5】(2012年高考浙江卷理科22)(本小題滿分14分)已知a0, /?eR,函數(shù)/(x) = 4/+ .(I)證明：當(dāng)OWxWl時(shí)，(i)函數(shù)/(%)的最大值為|2q+ a；/(x) -2ab + 20；(II)若-lW/(x) W1對(duì)xwO,刀恒成立，求的取值范圍.【規(guī)律方法】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)、證明不等式，解題格式明確、規(guī)范，基本思路清 晰，能使問(wèn)題解決的領(lǐng)域更寬廣.解題過(guò)程中，注意處處應(yīng)用轉(zhuǎn)化與

15、化歸思想，化生為熟、化難為易、化繁 為簡(jiǎn)，是解決問(wèn)題的基本方法.【舉一反三】已知函數(shù)f (x) = x?+ax?+bx.(1)若a = 2b,試問(wèn)函數(shù)f (x)能否在x = 1處取到極值？若有可能，求出實(shí)數(shù)a, b的值；否 則說(shuō)明理由.(2)若函數(shù)f (x)在區(qū)間( 1,2) , (2,3)內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)，試求w = a4b的取值范圍.三.錯(cuò)混辨析,.簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題，擴(kuò)大(縮小)可行域的范圍.【例1】已知1 xy 2,且2x + y4,求4x2y的氾圍, 2簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題，理解題意錯(cuò)誤.血-5-23 Mo【例2】已知 03,應(yīng)用基本不等式，忽視等號(hào)成立的條件/1 v+ 8的最小值.例 3已知：a0 , b0 , a + b = 13x-y-20,y0= &+刎口040）的最大值為1,則綽的最小值為.ab2.12014屆山東省濰坊一中高三10月份階段檢測(cè)】設(shè)函