高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（學(xué)生版）：10.1橢圓及其性質(zhì)42

1、第十章 圓錐曲線本章知識結(jié)構(gòu)圖曲線與方程軌跡方程的求法：直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)范圍、對稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸（實(shí)軸）、短軸（虛軸）、漸近線（雙曲線）、準(zhǔn)線（只要求拋物線）離心率對稱性問題中心對稱軸對稱點(diǎn)(x1，y1) eq o(sdo3(),sup3(關(guān)于點(diǎn)(a，b)對稱)點(diǎn)(2ax1，2by1)曲線f (x，y) eq o(sdo3(),sup3(關(guān)于點(diǎn)(a，b)對稱)曲線f (2ax，2by) eq blc(aal(Af(x1x2,2)Bf(y1y2,2)C0,f(y2y1,x2x1)(f(A,B)1) 特殊對稱軸xyC0直接代入法點(diǎn)(x1，y1

2、)與點(diǎn)(x2，y2)關(guān)于直線AxByC0對稱第一節(jié) 橢圓及其性質(zhì)考綱解讀了解圓錐曲線的實(shí)際背景及其在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.掌握橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何圖形及其簡單性質(zhì)了解橢圓的簡單應(yīng)用理解數(shù)形結(jié)合的思想命題趨勢研究橢圓是圓錐曲線的重要內(nèi)容，高考主要考查橢圓的基本性質(zhì)，橢圓方程的求法，橢圓定義的運(yùn)用和橢圓中各個(gè)量的計(jì)算，尤其是對離心率的求解，更是高考的熱點(diǎn)問題，在各種題型中均有題型預(yù)測2019年高考對本節(jié)考查內(nèi)容為：利用標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)，尤其是離心率的求值及取值范圍問題.利用已知條件求出橢圓的方程，特別是與向量結(jié)合求方程更是重點(diǎn).橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)及直線相交問題的

3、考查以中檔題目為主，每年高考分值大多保持在5分.知識點(diǎn)精講橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：注明：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.橢圓的方程、圖形與性質(zhì)橢圓的方程、圖形與性質(zhì)所示.（如下表10-1）焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一方程參數(shù)方程第一定義到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2，即（）范圍且且頂點(diǎn)、軸長長軸長 短軸長 長軸長 短軸長對稱性關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱焦點(diǎn)、焦距離心率 準(zhǔn)線方程（不考）點(diǎn)和橢圓的關(guān)系切線方程對于過橢圓上一點(diǎn)的切線方程，只

4、需將橢圓方程中換為，換為便得切點(diǎn)弦所在的直線方程焦點(diǎn)三角形面積為短軸的端點(diǎn)）焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是焦半徑左焦半徑：又焦半徑：上焦半徑：下焦半徑：焦半徑最大值，最小值通徑過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=（最短的過焦點(diǎn)的弦）弦長公式設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，,則弦長（其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）題型歸納及思路提示題型136 橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程思路提示（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫出橢圓方程.（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在軸還是軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件列出的方程組，解出，從而求得標(biāo)準(zhǔn)方程.注意：如果橢圓的焦點(diǎn)位置

5、不能確定，可設(shè)方程為.與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)為.與橢圓有相同離心率的橢圓，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上）或（，焦點(diǎn)在軸上）.橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的求解動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為10，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（ ）A. B. C. D. 變式1 求焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，且過點(diǎn)的橢圓的方程.變式2 已知點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過點(diǎn)作長軸的垂線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求此橢圓的方程.在，已知，動(dòng)點(diǎn)使得的周長為10，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_. 變式1 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與圓相切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.變式2 已知一動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.變式3 已知圓，圓圓，動(dòng)圓與圓內(nèi)切

6、，與圓外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.例10.3 已知橢圓的長軸長是8，離心率是，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）A. B. 或 C. D. 或變式1 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為.過的直線交于兩點(diǎn)，且的周長為16，那么的方程為_.變式2 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且過，則橢圓的方程為_.變式3 經(jīng)過兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.橢圓方程的充要條件若方程表示橢圓，則的取值范圍是_.變式1 如果表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是_.變式2 “”是“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的（ ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也

7、不必要條件變式3 若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.題型137 離心率的值及取值范圍思路提示求離心率的本質(zhì)就是探究之間的數(shù)量關(guān)系，知道中任意兩者間的等式關(guān)系或不等關(guān)系便可求解出的值或其范圍.具體方法為方程法、不等式法和定義法.已知橢圓(1)若長軸長，短軸長，焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率為_.(2)若長軸長，短軸長，焦距成等比數(shù)列，則該橢圓的離心率為_.變式1 橢圓的左右頂點(diǎn)分別是，左右焦點(diǎn)分別是.若成等差數(shù)列，則此橢圓的離心率為_.變式2 已知橢圓的左頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，若，則該橢圓的離心率是_.例10.6 過橢圓的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的

8、離心率為( )A. B. C. D. 變式1 已知正方形，以為焦點(diǎn)，且過兩點(diǎn)的橢圓的離心率為_.變式2 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，且，點(diǎn)在橢圓上，且垂直于軸，則橢圓的離心率等于（ ）A. B. C. D. 變式3 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，焦距，若直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)滿足，則橢圓的離心率等于_.變式4 設(shè)，是橢圓的兩焦點(diǎn)，以為圓心，且過橢圓中心的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，若直線與圓相切，則橢圓的離心率為（ ）A. B. C. D. 例10.7橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，橢圓上存在點(diǎn)使，則橢圓的離心率的取值范圍為_.變式1 已知，是橢圓的兩焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓的離心（ ）A. B. C. D

9、. 例10.8 橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若為其上一點(diǎn)，且，則此橢圓離心率的取值范圍為_變式1橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓上存在使得橢圓方程可以是（ ）A. B. C. D. 變式2 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在一點(diǎn)使，則橢圓的離心率的取值范圍為_.題型138 焦點(diǎn)三角形思路提示焦點(diǎn)三角形的問題常用定義與解三角形的知識來解決，對于涉及橢圓上點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)將距離問題常用定義，即.例10.9已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)， 為橢圓上一點(diǎn)，且，若的面積為9，則_.變式1 已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為該橢圓上一點(diǎn)，且，求的面積.變式2 已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到軸的距離為_.例10.10 已知橢圓的

10、左、右焦點(diǎn)分別為，是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）求的取值范圍；變式1 橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上任一點(diǎn)，且的最大值的取值范圍是，其中，則橢圓的離心率的取值范圍（ ）A. B. C. D. 變式2 設(shè)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，分別是左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，則的最小值是（ ）A. B. C. D. 變式3 設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，是橢圓上任一點(diǎn)，若的最大值為，則此橢圓的離心率為_.最有效訓(xùn)練題42（限時(shí)45分鐘）1. 已知點(diǎn)，橢圓與直線交于，則的周長（ ）A. 4B. 8C. 12D. 162.已知為橢圓上的一點(diǎn)，分別為圓和圓上的點(diǎn)，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 3. 橢圓的焦點(diǎn)為，橢圓上的

11、點(diǎn)滿足，則的面積是（ ）A. B. C. D. 4. 如圖10-4所示，橢圓中心在原點(diǎn)，是左焦點(diǎn)，直線與交于，且，則橢圓的離心率為（ ）FxODCBAy圖10-4A. B. C. D. 5. 若橢圓的離心率，則的值為（ ）A. B. C. D. 6. 若點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（ ）A.2B.3C. 6D. 87. 已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，若線段的延長線交于點(diǎn)，且，則的離心率為_.8. 橢圓的左，右頂點(diǎn)分別是，左、右焦點(diǎn)分別是，若成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_.9.橢圓上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的乘積為，則當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是_. 10. 已知橢圓的離心率為，經(jīng)過點(diǎn)， （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，判斷以為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.11. 已知橢圓的