3.2.1直線(xiàn)的方向向量與直線(xiàn)的向量方程 課件（人教B選修2-1）

1、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用直線(xiàn)的方向向量與直線(xiàn)的向量方程第三章空間向量與立體幾何學(xué)習(xí)導(dǎo)航學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn):利用向量的方法證明平行與垂直問(wèn)題.難點(diǎn):用直線(xiàn)的方向向量求異面直線(xiàn)所成的角.新知初探思維啟動(dòng)1.用向量表示直線(xiàn)或點(diǎn)在直線(xiàn)上的位置(1)直線(xiàn)的方向向量與直線(xiàn)_的非零向量,叫做此直線(xiàn)的方向向量.平行或共線(xiàn)(2)空間直線(xiàn)的向量參數(shù)方程點(diǎn)A為直線(xiàn)l上的定點(diǎn),a為直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量,點(diǎn)P為直線(xiàn)l上任一點(diǎn),t為一個(gè)任意實(shí)數(shù).以上三種形式都叫做空間直線(xiàn)的向量參數(shù)方程.做一做1.若A(1,0,1),B(1,4,7)在直線(xiàn)l上,則直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量為()A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,

2、1,3) D.(3,2,1)答案:A2.用向量方法證明線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行、面面平行(1)設(shè)空間直線(xiàn)l1與l2的方向向量分別為v1,v2,則l1l2(或l1與l2重合)_.(2)已知兩個(gè)非零向量v1,v2與平面共面,一條直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量為v,則l(或l)存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x,y,使_.v1v2vx v1yv2(3)平面與平面平行已知兩個(gè)不共線(xiàn)的向量v1,v2與平面共面,則或與重合_.3.用向量運(yùn)算證明兩條直線(xiàn)垂直或求兩條直線(xiàn)所成的角設(shè)兩條直線(xiàn)所成角為(銳角),則直線(xiàn)方向向量間的夾角與_.設(shè)直線(xiàn)l1與l2的方向向量分別為v1和v2,則l1l2_,cos_.v1且v2相等或互補(bǔ)v1v2|cosv1,v

3、2|想一想2.兩條直線(xiàn)所成的角如何通過(guò)這兩條直線(xiàn)的方向向量的夾角求得？提示:當(dāng)兩方向向量的夾角是銳角時(shí),兩者相等,當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時(shí),應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩直線(xiàn)所成的角.做一做3.若直線(xiàn)l1的方向向量與l2的方向向量的夾角為150,則l1與l2這兩條異面直線(xiàn)所成的角等于()或150D.以上均錯(cuò)答案:A典題例證技法歸納題型探究例1【名師點(diǎn)評(píng)】利用直線(xiàn)上的一個(gè)已知點(diǎn)和直線(xiàn)的方向向量可以確定直線(xiàn)的位置,進(jìn)而利用向量的運(yùn)算確定直線(xiàn)上任一點(diǎn)的位置.變式訓(xùn)練題型二用向量法證明平行問(wèn)題 已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,E、F分別是BB1、DD1的中點(diǎn),求證:(1)FC1平面ADE；(2)平面

4、ADE平面B1C1F.例2【名師點(diǎn)評(píng)】用向量方法證明空間中的平行關(guān)系線(xiàn)線(xiàn)平行設(shè)直線(xiàn)l1、l2的方向向量分別是a、b,則要證明l1l2,只需證明ab,即akb(kR).線(xiàn)面平行根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理,在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線(xiàn)的方向向量是共線(xiàn)向量即可.證明一條直線(xiàn)l與一個(gè)平面平行,只需證明l的方向向量能用平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)向量線(xiàn)性表示.面面平行轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線(xiàn)線(xiàn)平行或線(xiàn)面平行.變式訓(xùn)練2.在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AB4,AD3,AA12,P、Q、R、S分別是AA1、D1C1、AB、CC1的中點(diǎn).證明:PQRS.例3【名師點(diǎn)評(píng)】(1)證明兩直線(xiàn)垂直,可轉(zhuǎn)化成兩直線(xiàn)的方向向量垂直,即證其數(shù)

5、量積為零.(2)求兩條異面直線(xiàn)所成角常用的方法有兩種:向量法即通過(guò)兩條直線(xiàn)方向向量的夾角來(lái)求兩條異面直線(xiàn)所成的角.定義法(平移法)由兩條異面直線(xiàn)所成角定義將求兩條異面直線(xiàn)所成角的大小轉(zhuǎn)化為平面角求解.求解的方法是解三角形.變式訓(xùn)練3.如圖,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,E、F分別是B1C1,C1D1的中點(diǎn),且AA12,ABAD1.(1)求證:EFA1C；(2)求直線(xiàn)A1C1與DF所成角的余弦值.如圖所示,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,O是B1D1的中點(diǎn).求證:B1C平面ODC1.備選例題方法技巧1.直線(xiàn)與直線(xiàn)平行、直線(xiàn)與平面平行的向量證法根據(jù)是空間向量共線(xiàn)、共面定理.2.利用直線(xiàn)的方向向量證明直線(xiàn)與直線(xiàn)平行、直線(xiàn)與平面平行時(shí),要注意向量所在的直線(xiàn)與所證直線(xiàn)或平面無(wú)公共點(diǎn).方法感悟3.兩異面直線(xiàn)所成的角可以通過(guò)這兩條直線(xiàn)的方向向量的夾角來(lái)求得,但二者不完全相同,當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時(shí),應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線(xiàn)所成的角,即直線(xiàn)的方向向量的夾角與相等或互補(bǔ).失誤防范1.注意向量平行與直線(xiàn)平行