計算水動力學

1、PAGE PAGE 46動量方程對于粘性為常數(shù)的不可壓流體 非守恒型控制方程的推導：幾點說明：從微元體的角度看，控制方程的守恒型與非守恒型是等價的，都是物理守恒定律的數(shù)學表示。但對有限大小的計算體積，兩個形式是有區(qū)別的。不論節(jié)點布置的疏密程度如何，根據(jù)控制方程導出的離散方程也具有對任意大小容積守恒的特性。非守恒型方程便于對離散方程進行理論分析，而守恒型控制方程能保持物理量守恒的性質，便于克服對流項非線性引起的問題。第七章 雙邊界法第八章 有限分析法(Finite analytical method) 80年代初發(fā)展起來的，克服高Re 數(shù)下數(shù)值解易發(fā)散或振蕩的缺點 將求解區(qū)域分成若干個子區(qū)域，給

2、出在各個子區(qū)域上的分析解 利用邊界條件耦合各子區(qū)域上的分析解從而得到離散化方程 最大限度地引入了分析解的成分 一般可以提高求解效率和精度 數(shù)學技巧非常高，與問題的性質有關 計算工作量較大，對計算區(qū)域的適應性較差，很難形成通用程序有限差分法( Finite difference method) 用差商與代替導數(shù) 容易引入對流項的高階格式 經典、成熟、數(shù)學理論基礎明確、主導方法離散方程守恒特性難以保證，不規(guī)則區(qū)域適應性差有限容積法(Finite volume method) 控制容積法（Control volume method） 積分守恒型控制方程離散，目前應用最普遍的方法 具有守恒性，對區(qū)域形

3、狀的適應性較好 基本上屬于有限差分法的范疇有限單元法(Finite element method) 將求解區(qū)域分成若干個小的單元（element） 設定待求變量在單元上的分布函數(shù) 對積分控制方程離散 適應性強，適用于復雜的求解區(qū)域 一度有取代FDM趨勢，流體計算不如FVM發(fā)展成熟 程序技巧要求高、數(shù)學基礎不如有限差分法明確邊界單元法(Boundary element method) 求解問題的空間維數(shù)降低一階，從而減小計算量及計算機容量 對數(shù)學模型在邊界上離散化 基于數(shù)學模型的基礎解 不需要全區(qū)域求解 數(shù)學技巧要求高，通用性差 數(shù)學基礎不是非常明確 需要已知所求解偏微分方程的格林函數(shù)基本解譜分

4、析方法(Spectral method，SM) 被求解的函數(shù)用有限項的級數(shù)表示，目前不普遍可以獲得高精度的解，但不宜編制通用程序 數(shù)值積分變換法(ITM) 對不具備分析解的非線性偏微分方程，把它的解表示成一個特征值問題的解及一個降維的定解問題解的組合 計算精度可以較高，但不易形成通用程序，特征值問題選取有任意性，對強非線性問題，計算量較大格子-Boltzmann方法(Lattice-BoltzmannMethod)基于分子運動論的一種模擬流體流動的數(shù)值方法，不再基于連續(xù)介質的假設，而是把流體看成是許多只有質量沒有體積的微粒所組成，這些微?？梢韵蚩臻g若干個方向任意運動。通過其質量、動量守恒的原理

5、，建立起表征質點在給定的時刻位于空間某一個位置附近的概率密度函數(shù)。再通過統(tǒng)計的方法來獲得質點微粒的概率密度分布函數(shù)與宏觀運動參數(shù)間的關系。數(shù)值解法的組成數(shù)學模型Mathematical Model (關鍵) (數(shù)值計算起點) 離散方法Discretization Method (關鍵) (如何離散PDE) 坐標系Coordinate and Basis Vector Systems (如何選擇網格) 網格Numerical Grid (關鍵) (如何表達PDE) 有限近似方法Finite Approximations (導數(shù)近似、形狀函數(shù)) 求解方法Solution Method (如何解代數(shù)

6、方程) 收斂標準Convergence Criteria (數(shù)值計算結束?)數(shù)值解法的特性 相容性Consistency 穩(wěn)定性Stability 收斂性Convergence 守恒性Conservation 有界性Boundedness 可實現(xiàn)性Realizability 精確度Accur相容性、穩(wěn)定性與收斂性是相互關聯(lián)的相容性Consistency當時空步長趨于零時，格式收斂于原來的微分問題。在FDM中，將格式通過Taylor級數(shù)展開得到等價的微分方程(等價方程、修改方程)。若步長趨于零時，截斷誤差(修改方程與原始方程之差)為零，格式相容。穩(wěn)定性Stability求解差分方程的過程是逐層進

7、行的。在每次計算時，在計算機上只能取有限位，因而總有舍入誤差。如計算步數(shù)很多，舍入誤差可能會積累。所以要討論舍入誤差在全部數(shù)值計算過程中的發(fā)展問題，這就是差分解的穩(wěn)定性問題。收斂性Convergence數(shù)值格式的準確解與原微分問題的真解之差稱離散化誤差。當時空步長趨于零時，離散化誤差亦趨于零，稱格式具收斂性。相容性只保證數(shù)值格式收斂于原微分問題，更重要的顯然是數(shù)值解收斂于真解。守恒性Conservation所要求解的微分方程描述的是守恒律(質量、動量、能量等)，數(shù)值格式也應在局部(網格)和全局(整個求解區(qū)域)反映岀守恒律。為獲取物理上有意義的數(shù)值解，這是非常重要的。有界性Boundedness

8、數(shù)值解應是有界的。如物理上非負的量(如密度、紊動能等)數(shù)值求解時須保證總為正值。濃度的數(shù)值解應總是在0100%之間。有界性通常比較難保證。可實現(xiàn)性Realizability若物理過程本身極為復雜(如紊流、燃燒、多相流)，相應的模型難以直接處理，則可作些適當簡化，前提是要保證有物理意義的解。精確度Accuracy數(shù)值解僅僅是近似解。除了發(fā)展算法、編程、設置邊界條件過程中會引入誤差外，數(shù)值解總會有以下3種誤差： 模擬誤差實際流動與數(shù)學模型精確解間的差別 離散誤差數(shù)學模型精確解與相應離散代數(shù)方程組間的差別 迭代誤差離散代數(shù)方程組的迭代解與精確解間的差別除了了解這些誤差外，還應區(qū)分這些誤差。它們可能相

9、互抵消，這就是為什么粗網格的數(shù)值解比細網格(理論上更精確)的解與實驗更一致差分構造的基本方法：*泰勒(Taylor)展開方法*多項式方法任一在x附近連續(xù)可微函數(shù)(x) 可以表達為一Taylor級數(shù)：緊湊型格式(compact schemes)基于多項式擬合，使用鄰近節(jié)點的值和導數(shù)值來確定系數(shù)：一般地，緊湊型格式可以寫成：有限差分方程的建立 基本思想：以離散網格點上的變量的差分形式代替微分，結果得到一個包括所有節(jié)點上未知量的聯(lián)立代數(shù)方程組 計算流體力學中應用最多的離散化數(shù)值方法 作為計算技術它歷史最悠久，理論上相對成熟1） 直接用差商逼近代入微分方程中的所有各階偏導數(shù)分別選擇適當?shù)牟钌瘫平?并考

10、慮逼近的截斷誤差精度,從而將微分方程改寫為代數(shù)的差分方程;同時得到整個差分方程對微分方程的逼近的精度?；静襟E 借助Taylor級數(shù)展開給出各階導數(shù)的差商表達式 將方程中的各階導數(shù)用相應的差商表達式代替 整理化簡例：；x=0,u=0;x=1,u=1;精確解u=x2-x2） 由微分方程出發(fā)直接建立差分方程a) 待定系數(shù)離散化方法為了確定-1 0 1，可用Taylor展開，并與L(u)對比，使相應的偏導數(shù)項的系數(shù)相等；若L(u)為二階算子，則偏導數(shù)有0階，一階和二階三項，可建立三個方程式，正好確定-1 0 1三個系數(shù)，而三階以上的偏導數(shù)項則歸到誤差項中；而如果有三階(或更高階的)導數(shù)，則三節(jié)點格式

11、不夠，應增加節(jié)點數(shù)，才能將待定系數(shù)確定。b) 多項式擬合法i) 采用A、B兩點線性擬合，得到P點(即D點的值)線性插值的值ii) 仍然采用線性擬合，但采用A、C兩點進行插值iii) 線性擬合，采用B、C兩點外插iv) 拋物線擬合，用A、B、C三點的值進行二次曲線擬合設：過A、B、C三點uA、uB、uC的值，為二次拋物線A、B、C三點的x坐標可以簡單地給為： x , 0, x3）分裂差分算子的離散化方法若微分方程中的微分算子L(u)可作“和”分裂，即依序離散構成。即分裂式(2)應由(1)式得到的差分解”續(xù)接”計算(反之亦可)上述格式與源方程的誤差項可并入T.E. 考慮, 而不影響差分的最后精度。

12、證畢。差分方程的相容性、收斂性及穩(wěn)定性：實例：對流現(xiàn)象的方程和邊界條件時間前差、空間前差（FTFS）時間前差、空間中心差（FTCS）時間前差、空間后差（FTBS）用差分形式離散上方程時，F(xiàn)TFS，F(xiàn)TBS， FTCS及其他形式似乎都可以。其差分離散是否任意?不是。對一個確定的微分方程，可以用不同的差分格式離散，但絕不是任意差分離散均可獲得合理的解。而且可以使用的差分格式一般也存在著優(yōu)劣。下面介紹為了取得有意義的微分方程的數(shù)值解，差分離散時應當遵循的基本原則。當x、t趨于0時，上式等號右側趨于零，因此該差分方程與原微分方程相容。 收斂性(Convergence)：設U是微分方程的精確解，u是差分

13、方程的精確解，那么對一個具體問題來說自變量增量趨于零時，u必須趨近于U，即：式中t=jt ，xjx。滿足上式的差分方程的解具有收斂性，否則差分方程的解無意義，不能用它來解對應的微分方程。 收斂性(Convergence)：用計算機解差分方程時，由于計算中的舍入誤差及迭代精度等的限制，計算出來的是近似解，用表示。數(shù)值計算微分方程的解的誤差可表示為：為離散(discretization)誤差，稱為舍入(roundoff)誤差。由此可見：恰好是收斂性定義的表達式；而隨著時間迭代步數(shù)n的增長，r 是否有界則是穩(wěn)定性問題。如果求解過程不穩(wěn)定，解可能出現(xiàn)指數(shù)增長性振蕩，使數(shù)值計算無法進行下去說明：相容性、

14、收斂性及穩(wěn)定性要求是用有限差分法(或有限體積法等)求解微分方程時選擇差分格式必須滿足的條件，但并不充分，即并不是滿足上述條件，流體力學控制方程或其他方程即可求得較正確的解。截斷誤差= 差分方程- 將差分方程精確解代入微分方程，顯然當自變量t、x趨于零時，截斷誤差趨于零，則達到相容性條件。離散誤差D = U - u ， lim D= 0 收斂性條件。舍入誤差，隨著時間步數(shù)n的增長，r是否有界則是穩(wěn)定性問題。(2)、對流擴散方程的差分格式：一維對流擴散方程：當a = 0： (擴散方程，是拋物型的) 當= 0： (對流方程，是雙曲型的)1)、擴散方程的差分格式：FTCS差分格式FTCS差分格式精度B

15、TCS差分格式無條件穩(wěn)定Crank-Nicolson差分格式（FTCS和BTCS差分格式的聯(lián)合）DuFort-Frankel差分格式2)、對流方程的差分格式：FTCS差分格式迎風差格式蛙跳(leap-frog)格式Lax-Wendroff(LW)格式Crank-Nicolson格式 3)、對流擴散方程的差分格式：FTCS差分格式BTCS差分格式Crank-Nicolson差分格式（FTCS和BTCS差分格式的聯(lián)合）迎風差格式蛙跳(leap-frog)格式2、一維熱傳導方程相容性、穩(wěn)定性的推導Lax等價定理在采用一種差分格式寫成差分方程并討論其相容、收斂與穩(wěn)定的性質時可以看到，相容性是比較容易證

16、明的，只須用Taylor級數(shù)展開就行；穩(wěn)定性的證明以后可以介紹諸如Von Neumann法等來解決，而收斂性證明一般比較麻煩，但Lax等價定理很好地解決了這個難題。Lax定理：對給定的適定的線性初值問題，用有限差分方程去近似時，若差分方程滿足相容性條件，則其穩(wěn)定性是其收斂性的充分必要條件。簡單地表達為：這個定律的作用是明顯的。對適定的線性初值問題，只須證明其相容性與穩(wěn)定性，收斂性自然滿足，從而省卻證明收斂性的麻煩。一維熱傳導方程：采用FTCS差分格式由時間n層通過簡單運算就可以得到時間n+1層上的u。(1)、相容性及精度推導Taylor公式上式說明FTCS格式在網格加密直至間距趨于零時就趨向于

17、原微分方程差分格式與原微分方程相容的。將上式改寫為：它對于時間是一階的，對于空間是二階的。在時間方向上具有一階精度，在空間方向上具有二階精度。(2)、穩(wěn)定性推導Von Neumann穩(wěn)定性分析(Fourier分析):Fourier級數(shù)展開：An是波數(shù)為kx(波長=2/kx)的分量在時間n層的振幅,與x無關。定義相位角=kxx, 代入差分方程，對于每個Fourier分量有:第四章 小結1、FVM的原理將控制方程在控制容積上積分從而得到離散化方程的離散化方法。具體步驟： 將控制方程在控制容積上積分； 假定適當?shù)姆植己瘮?shù)(distribution function) 階梯分布 線性分布 將分布函數(shù)代

18、入并完成積分，整理化簡得離散化方程。第六章 小結1、有限分析法FAM(1)基本思想：把求解區(qū)域劃分成許多矩形網格，四個網格組成一個單元；在局部單元內將微分方程線性化，在單元邊界上為一近似函數(shù)；局部單元內求解微分方程的解析解；建立單元中心的和其周圍八個結點之間的迭代關系式。(2)格式推導：對象：對流擴散方程標準的橢圓型方程：2Afx +2Bfy =fxx +fyy +G步驟：1)、線性化 2)、齊次化 3)、邊界近似：假設變量近似滿足指數(shù)多項式分布 。 4)、有限分析解 式中： Cn 為有限分析系數(shù) A B h k (dx dy ) (3)優(yōu)、缺點優(yōu)點：1)、穩(wěn)定性好。有限分析系數(shù)的大小取決于單

19、元雷諾數(shù)Ah、Bk及網格長寬比k/h=b；有限分析系數(shù)CSC、CNC、CWC、CEC、CSW、CSE、CNW、CNE 及P1、P2、E2的值都在0和1之間；八個系數(shù)之和等于1。這一特性能保證迭代格式具有較好的穩(wěn)定性。 2)、對稱性好。由于橢圓型方程及矩形網格單元都具有對稱性，因而有限分析系數(shù)也具有許多對稱性。當A2=-A1時，兩種情況的有限分析系數(shù)關于NS軸對稱；當B2=-B1時，兩種情況的有限分析系數(shù)關于WE軸對稱；當A2=-A1 B2=-B1時，兩種情況的有限分析系數(shù)關于NW-SE軸對稱；當A2= B 1、B2= A1、b=1/b1時，兩種情況的有限分析系數(shù)關于SW-NE軸對稱；根據(jù)這一特

20、性，在分析計算時，我們只需考慮A、B0的情況，其它情況可以由對稱性得到。3)、具有自動迎風效應。網格雷諾數(shù)在運動方程中，相當于水流的流速分量，因此，當水流從西南方向流來，流向（風向）為東北方向，西南方向點對中心點的影響最大，相應有限分析系數(shù)CWS（權系數(shù)）最大，其次為CSC、CWC兩點，并且隨著Ah、Bk的增大，對流作用逐漸增大，西南方向點對中心點的影響逐漸最大，有限分析系數(shù)CWS逐漸增大。 缺點：指數(shù)、級數(shù)、交錯級數(shù)，每次計算都要耗費較多的計算時間，在單元雷諾數(shù)較大時（如Ah、Bk 35），直接采用公式計算，會出現(xiàn)錯誤的負系數(shù)或大于1的正系數(shù)，這與上述有限分析系數(shù)的特性相矛盾。造成這一錯誤，

21、并不是有限分析法的理論問題，而是有限分析系數(shù)的計算問題。隨著單元雷諾數(shù)增大，交錯級數(shù)收斂所需的項數(shù)和所需的有效位數(shù)也逐漸增多，一般計算機的八位有效為數(shù)不能滿足計算要求，即使雙精度變量，也不能解決根本問題。另外，一般計算機的數(shù)值范圍為（10-381038），在指數(shù)計算時也應注意避免計算機溢出。2、混和有限分析法HFAM(1)基本思想：在局部單元線性化；一維對流擴散方程的有限分析解；線形算子迭加原理；導出二維對流擴散方程的有限分析解；建立單元中心點和其周圍四個結點之間的迭代關系式。(2)格式推導：(3)優(yōu)、缺點1)、避免了交錯級數(shù)帶來的問題，2)、指數(shù)溢出問題依然存在，3)、不能反映單元四個角點對

22、中心點的影響。4)、對稱性、迎風效應：網格雷諾數(shù)Ah、Bk在運動方程中，相當于水流的流速分量。當水流從西南方向流來，流向（風向）為東北方向。隨著Ah、Bk的增大，對流作用逐漸增大，西方和南方兩點對中心點的影響逐漸增大，相應有限分析系數(shù)CSC、CWC也逐漸最大。自動迎風效應只是在Ah、Bk較小時有效，當Ah、Bk5時，CSCCWC0.5，混合有限分析法又蛻化為一維簡單迎風格式。 3、有限近似法FPM(1)基本思想：1)、在網格單元內構造方程的基本解；2)、由這些基本解構造出一個函數(shù) ；在六邊形網格區(qū)域內滿足拉普拉斯方程，式中有六個系數(shù)(i=1,6)。3)、4)、 (2)格式推導：正六邊形有限近似

23、解7點格式（系數(shù)計算）：(3)特點有限體積法：FVM的原理將控制方程在控制容積上積分從而得到離散化方程的離散化方法具體步驟 將控制方程在控制容積上積分； 假定適當?shù)姆植己瘮?shù)(distribution function) 階梯分布 線性分布 將分布函數(shù)代入并完成積分，整理化簡得離散化方程階梯型分布函數(shù) 控制容積上均勻分布（為一常數(shù)） 控制容積代表點（節(jié)點）處的值為分布值：，x x , x。節(jié)點間線性分布：分布函數(shù)說明：梯形分布主要用于 計算控制容積上待求變量的值 源項，非導數(shù)項 非穩(wěn)定項 線性分布主要用于 待求變量的梯度值 控制界面處待求變量值FVM的四個基本原則它對于時間是一階的，對于空間是二階的。在時間方向上具有一階精度。在空間方向上具有二階精度。計算表明，當t，x減小，但 = t/x2保持不變，則當 = 1時不管它們如何縮小，計算發(fā)散的情況不會有任何改善。當 = 1/2或 = 1/6時則當t 、x縮小時趨于精確解。這里還可以看到，對于本例 = 1/6時收速度還更快一些。設n = 0時沒有誤差，計算過程也無誤差，則得到的將是差分格式的真解，如果在n = 0的某一點上有誤差，而在以后計算中不再引入新的誤差，這時把真解記作近似解記作它在n = 0時只有一個點為，其它點上均為零。誤差是向兩邊擴散的，但誤差值不斷減少，當n不斷增加時誤差不會增加。可見格式