釩和稀土對(duì)合金的影響(共17頁(yè))

1、福建農(nóng)林(nn ln)大學(xué)2014年數(shù)學(xué)(shxu)建模競(jìng)賽我們(w men)參賽選擇的題號(hào)是（從A/B中選擇一項(xiàng)填寫）： A 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：序號(hào)年級(jí)專業(yè)姓名聯(lián)系電話112信科葉建軍15759171272212信科劉藝導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 論文提交日期： 2014 年 07 月 14 日評(píng)閱編號(hào)（由評(píng)閱負(fù)責(zé)人在評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：PAGE 18評(píng)閱編號(hào)(bin ho)（由評(píng)閱負(fù)責(zé)人在評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：評(píng)閱(pngyu)記錄：評(píng)閱人評(píng)分備注題 目： 釩和稀土對(duì)合金(hjn)性能的影響 關(guān) 鍵 詞： 多項(xiàng)式擬合 因子分析 統(tǒng)計(jì)回歸 非線性

2、規(guī)劃 摘 要本文主要針對(duì)釩和稀土對(duì)合金性能的影響進(jìn)行分析。針對(duì)單獨(dú)添加釩、單獨(dú)添加稀土和混合添加三種方案，采用多項(xiàng)式擬合及統(tǒng)計(jì)回歸不同方法分別進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合得到近似函數(shù)關(guān)系式，例如問題一的擬合模型為：針對(duì)問題二首先是利用多項(xiàng)式擬合出函數(shù)然后利用Lingo對(duì)函數(shù)進(jìn)行求最值從而得出單獨(dú)添加稀土的數(shù)量約時(shí)，產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度達(dá)到最大值單獨(dú)添加稀土的數(shù)量約時(shí)，延伸率達(dá)到最大為，單獨(dú)添加稀土的數(shù)量約時(shí)，熱裂傾向值HCS達(dá)到最小3.0178。另外，通過因子分析法得到單獨(dú)添加稀土?xí)r對(duì)合金性能影響的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)及三個(gè)指標(biāo)變量的權(quán)向量0.352,0.349.-0.341，對(duì)進(jìn)行非線性規(guī)劃由lingo求得單獨(dú)添加稀土的

3、數(shù)量約為時(shí)，對(duì)提高產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上造成較好的影響。針對(duì)問題三，首先分別對(duì)釩（V）和稀土（RE）的添加數(shù)量與抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS之間的關(guān)系建立線性和純二次兩種模型，然后通過模型比較，選擇最優(yōu)模型。緊接著為了解決“應(yīng)該添加釩和稀土的數(shù)量分別約為多少，才能保證產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度不低于150，延伸率不低于7.00，同時(shí)使熱裂傾向值HCS盡可能減少？”建立非線性規(guī)劃模型并在MATLAB中進(jìn)行求解，最終得出添加釩和稀土的數(shù)量分別約為時(shí)才能保證產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度不低于150，延伸率不低于7.00，同時(shí)使熱裂傾向值HCS盡可能減少。最后為了判讀三個(gè)方案的優(yōu)劣性，對(duì)所給數(shù)

4、據(jù)進(jìn)行預(yù)處理后在spss中進(jìn)行因子分析，得出三個(gè)方案的綜合得分（見表3）。從而知道第二種方案（即單獨(dú)添加稀土）對(duì)提高產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上效果更加明顯。一、問題重述紡織經(jīng)編機(jī)鋁盤頭是紡織工業(yè)重要的零部件。通過前期的努力，某高校(goxio)課題組已成功開發(fā)出一種新型鑄造Al-Zn-Mg-Cu 合金，能夠在以鑄代鍛工藝下生產(chǎn)出滿足實(shí)際應(yīng)用需要的鋁盤頭工件。目前這種高性能鋁盤頭已投入市場(chǎng)(shchng)，使用廠家反映良好；但生產(chǎn)過程中仍會(huì)出現(xiàn)較為嚴(yán)重的熱裂缺陷，因此需進(jìn)一步改善該合金的力學(xué)性能和抗熱裂性能。題目(tm)給出在實(shí)驗(yàn)室中，通過對(duì)基礎(chǔ)合金Al-4.5Zn-1.

5、0Mg-0.8Cu分別單獨(dú)添加微量的釩（V）和稀土（RE），測(cè)定出產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度（MPa）、延伸率（%）、熱裂傾向值HCS以及混合添加微量的釩（V）和稀土（RE）時(shí)，對(duì)該合金的力學(xué)性能和抗熱裂性能產(chǎn)生的影響等數(shù)據(jù)。我們首先需要建立對(duì)該合金單獨(dú)添加微量的釩時(shí)，產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于釩的數(shù)量之間的近似函數(shù)關(guān)系；其次要分別研究對(duì)該合金單獨(dú)添加稀土的數(shù)量約為多少時(shí)，產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度達(dá)到最大值，延伸率達(dá)到最大，熱裂傾向值HCS達(dá)到最小，分析得到單獨(dú)添加稀土的數(shù)量約為多少時(shí)，對(duì)提高產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上造成較好的影響？然后，要建立數(shù)學(xué)模型，研究分析對(duì)該合金混

6、合添加微量的釩（V）和稀土（RE）時(shí)，應(yīng)該添加釩和稀土的數(shù)量分別約為多少，才能保證產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度不低于150，延伸率不低于7.00，同時(shí)使熱裂傾向值HCS盡可能減少？最后，要綜合評(píng)判單獨(dú)添加微量的釩、單獨(dú)添加微量的稀土、混合添加微量的釩和稀土這三種方案中，哪一種對(duì)提高產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上效果更加明顯。二、問題分析針對(duì)問題一，需要通過所給的數(shù)據(jù)點(diǎn)建立對(duì)該合金單獨(dú)添加微量的釩時(shí)，產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于釩的數(shù)量之間的近似函數(shù)關(guān)系，擬合的方式有很多，為了保證得到較好的擬合效果，需要通過檢驗(yàn)進(jìn)行分析判斷，最終確定擬合函數(shù)關(guān)系式。針對(duì)問題二，要研究對(duì)該合

7、金單獨(dú)添加稀土的數(shù)量約為多少時(shí)，產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS的最值問題，以及單獨(dú)添加稀土的數(shù)量，對(duì)提高產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上造成的影響，因此仍然需要先確定出擬合函數(shù)關(guān)系式。然后建立綜合評(píng)判指標(biāo)與稀土數(shù)量之間的關(guān)系，以此來(lái)描述單獨(dú)添加稀土的數(shù)量，對(duì)提高產(chǎn)品整體上造成的影響。針對(duì)問題三，需要建立數(shù)學(xué)模型，研究對(duì)該合金混合添加微量的釩（V）和稀土（RE）時(shí)，對(duì)產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS的影響。此時(shí)對(duì)于抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS三個(gè)因變量來(lái)說(shuō)需要用釩（V）和稀土（RE）這兩個(gè)自變量來(lái)綜合刻畫，因此，有必要進(jìn)行二元多項(xiàng)式或統(tǒng)計(jì)回歸模型進(jìn)行擬合

8、。針對(duì)問題四，要對(duì)單獨(dú)添加微量的釩、單獨(dú)添加微量的稀土、混合添加微量的釩和稀土這三種方案進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，以確定哪一種對(duì)提高產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上效果更加明顯。因此需要建立對(duì)三種方案綜合評(píng)判的數(shù)學(xué)模型，通過綜合評(píng)價(jià)得分來(lái)判斷哪種方案對(duì)合金的性能有較好的影響。三、模型假設(shè)（1）假設(shè)合金中除Al-4.5Zn-1.0Mg-0.8Cu外，不含其他影響實(shí)驗(yàn)的物質(zhì)；（2）假設(shè)實(shí)驗(yàn)過程中不受其他外界因素（如溫度、壓強(qiáng)）的影響；（3）假設(shè)(jish)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)不存在明顯誤差；（4）假設(shè)實(shí)驗(yàn)是在一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的條件下進(jìn)行，并且環(huán)境(hunjng)適宜。四、符號(hào)(fho)說(shuō)明表1釩（V）

9、的添加量(wt%)稀土（RE）的添加量（wt%）合金的抗拉強(qiáng)度（MPa）合金的延伸率（%）合金的熱裂傾向值HCS方案一的綜合評(píng)級(jí)指標(biāo)方案二的綜合評(píng)級(jí)指標(biāo)方案三的綜合評(píng)級(jí)指標(biāo)因子一得分因子二得分方案綜合得分方案下抗拉強(qiáng)度方案下延伸率方案下熱裂傾向值HCS五、模型的建立與求解5.1問題一根據(jù)給出的表1（見附錄）數(shù)據(jù)，由于試驗(yàn)次數(shù)較少（所得的數(shù)據(jù)點(diǎn)較少），很難直接通過散點(diǎn)圖初步判斷出數(shù)據(jù)之間的近似函數(shù)關(guān)系。因此首先直接對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，建立對(duì)該合金單獨(dú)添加微量的釩時(shí)，產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于釩的數(shù)量之間的近似函數(shù)關(guān)系，然后通過檢驗(yàn)判斷擬合效果是否良好。多項(xiàng)式擬合：假設(shè)給定數(shù)據(jù)

10、點(diǎn)求一多項(xiàng)式使得達(dá)到最小，稱之為多項(xiàng)式擬合，滿足上述條件的多項(xiàng)式稱為最小二乘擬合多項(xiàng)式。1擬合效果的評(píng)價(jià)通過以下數(shù)據(jù)來(lái)描述：2誤差平方和SSE，SSE的值越接近0擬合效果越好。相關(guān)指數(shù)RSquarc,RSquarc的取值范圍是0, 1，R2的值越接近1,表示擬合曲線的效果越好。根均方誤差（標(biāo)準(zhǔn)差）RMSE，其值越接近于0擬合效果越好。對(duì)于多項(xiàng)式擬合的具體操作我們可直接利用MATLAB中函數(shù)擬合工具箱cftool作最小二乘擬合。首先將數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB中，用相應(yīng)的向量保存數(shù)據(jù)，然后利用擬合工具箱對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，依次增加多項(xiàng)式的次數(shù)觀察圖形的擬合效果。最終得出擬合三次效果最佳，分別得到擬合

11、圖像及參數(shù)值如下圖所示：圖1抗拉強(qiáng)度(kn l qin d)與釩的數(shù)量(shling)的關(guān)系(gun x)圖2延伸率與釩的數(shù)量的關(guān)系圖3熱裂傾向值HCS與數(shù)量的關(guān)系根據(jù)擬合結(jié)果檢驗(yàn)中的三個(gè)指標(biāo)SSE、RSquarc、RMSE的值可以知道該三次多項(xiàng)式擬合效果還是很好的，因此得到對(duì)該合金單獨(dú)添加微量的釩時(shí)，產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于釩的數(shù)量之間的近似函數(shù)關(guān)系為： 5.2問題二5.2.1函數(shù)擬合首先，根據(jù)所給的數(shù)據(jù)中的表1，仿照問題一的方法建立產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于稀土的數(shù)量之間的近似函數(shù)關(guān)系，同樣的利用MATLAB工具箱對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合。得到較為理想的擬

12、合函數(shù)表達(dá)式如下： 其中(qzhng)參數(shù)矩陣為如下： 利用Lingo軟件對(duì)上述表達(dá)式進(jìn)行(jnxng)求最值操作，例如：求的最大值（代碼及運(yùn)行(ynxng)結(jié)果見附錄一）。得到在區(qū)間內(nèi)擬合函數(shù)值在時(shí)取得最大值530.9253。同理可得當(dāng)時(shí)的最大值為10.578，當(dāng)時(shí)的最小值3.0178，即單獨(dú)添加稀土的數(shù)量約時(shí)，產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度達(dá)到最大值單獨(dú)添加稀土的數(shù)量約時(shí)，延伸率達(dá)到最大為，單獨(dú)添加稀土的數(shù)量約時(shí)，熱裂傾向值HCS達(dá)到最小3.0178。5.2.2因子分析采用因子分析法在單獨(dú)添加稀土的情況下刻畫描述該合金性能的綜合指標(biāo)：3對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理進(jìn)行因子分析的指標(biāo)變量有3個(gè)，分別為，選取單獨(dú)

13、添加稀土的8組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，第組的第個(gè)指標(biāo)的取值為。將各指標(biāo)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)，有：其中：即為第個(gè)指標(biāo)的樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。相應(yīng)的，稱為標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)變量。計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣相關(guān)系數(shù)矩陣，有其中(qzhng)是第個(gè)指標(biāo)(zhbio)與第個(gè)指標(biāo)(zhbio)的相關(guān)系數(shù)。計(jì)算初等載荷矩陣計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量，其中初等載荷矩陣選擇m個(gè)主因子根據(jù)初等載荷矩陣，計(jì)算各個(gè)公因子的貢獻(xiàn)率，并選擇m個(gè)主因子。對(duì)提取的因子載荷矩陣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得到（其中為的前m列，T為正交矩陣），構(gòu)造因子模型計(jì)算因子得分用回歸方法求單個(gè)因子得分函數(shù)將因子得分作為各指標(biāo)在綜合評(píng)價(jià)中的權(quán)重系數(shù)。對(duì)于上述幾個(gè)步驟，直接利用sps

14、s軟件進(jìn)行分析求解。得到如下成分得分系數(shù)矩陣：圖4因子得分圖因此得到合金性能的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)模型： 把上面問題二的多項(xiàng)式擬合函數(shù)抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于稀土的數(shù)量之間的近似函數(shù)關(guān)系代入上面的表達(dá)式，整理得到合金性能綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)與添加的稀土數(shù)量的關(guān)系如下：利用Lingo求最大值（代碼見附錄）可得：當(dāng)時(shí)，取得最大值138240。即由綜合分析模型可知單獨(dú)添加稀土的數(shù)量約為時(shí)，對(duì)提高產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度和延伸率、減少熱裂傾向值HCS整體上造成較好的影響。5.3問題三5.3.1統(tǒng)計(jì)回歸(hugu)模型及其求解。4回歸分析是研究一個(gè)(y )變量與其它若干(rugn)變量之間相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)工具，它

15、是在一組試驗(yàn)或觀測(cè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，尋找被隨機(jī)性掩蓋了的變量之間的依存關(guān)系。粗略地講，可以理解為用一種確定的函數(shù)關(guān)系去近似代替比較復(fù)雜的相關(guān)關(guān)系，這個(gè)函數(shù)稱為回歸函數(shù)，在實(shí)際問題中稱為經(jīng)驗(yàn)公式。回歸分析所研究的主要問題就是如何利用變量，的觀察值（樣本），對(duì)回歸函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)判斷，包括對(duì)它進(jìn)行估計(jì)及檢驗(yàn)與它有關(guān)的假設(shè)等。利用MATLAB軟件中的以下回歸分析命令進(jìn)行回歸分析：散點(diǎn)圖：plot(x,y,o)回歸工具箱：rstool 線性回歸：b,bint,r rint,states=regress(y, x, alpha)殘差圖：rcoplot(r, rint) 多項(xiàng)式回歸：p,S=polyfit(x,

16、y, m) 其中統(tǒng)計(jì)工具箱提供了一個(gè)作多元二項(xiàng)式回歸的命令，它可以產(chǎn)生一個(gè)交互式畫面，并輸出有關(guān)信息，用法是：，輸入數(shù)據(jù)分別是矩陣和維向量，為顯著性水平（缺省時(shí)設(shè)定為0.05），由下列4個(gè)模型中選擇1個(gè)（用字條串輸入，缺省時(shí)設(shè)定為線性模型）：（線性）: （純二次）：（交叉）：（完全二次）：由于所給的數(shù)據(jù)無(wú)法滿足交叉模型和完全二次模型，因此下面分別對(duì)釩（V）和稀土（RE）的添加數(shù)量與抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS之間的關(guān)系建立線性和純二次兩種模型，并且對(duì)兩種模型進(jìn)行分析比較，給出最終模型。對(duì)于抗拉強(qiáng)度建立如下兩種模型：模型一：（線性）利用MATLAB中的多遠(yuǎn)二項(xiàng)式回歸命令rstool，對(duì)模型

17、進(jìn)行求解。（具體程序見附錄二）運(yùn)行后得到一個(gè)交互式畫面如下圖：圖5給出兩幅圖形，左邊是x1（=0.05）固定時(shí)的曲線y（x2）及其置信區(qū)間，右邊是x2(=0.11833)固定時(shí)的曲線y(x1)及其置信區(qū)間。點(diǎn)擊圖左下方的Export菜單向MATLAB工作區(qū)傳送數(shù)據(jù)如下：Beta(回歸系數(shù))= 192.2002 -530.0 -121.4098Rmse(剩余(shngy)標(biāo)準(zhǔn)差)= 8.7143其中(qzhng)，剩余標(biāo)準(zhǔn)差為8.7143比較小，并且從交互式畫面也可以看出該模型能得到一個(gè)較好的擬合效果。由beta數(shù)據(jù)可得模型一：模型(mxng)二：（純二次）利用MATLAB中的多遠(yuǎn)二項(xiàng)式回歸命令

18、rstool，對(duì)模型進(jìn)行求解。（具體程序見附錄二）運(yùn)行后得到一個(gè)交互式畫面如下圖：圖6同樣的得到回歸系數(shù)和剩余標(biāo)準(zhǔn)差如下：Beta1= 197.9486 -978.4193 -79.2944 4.4842e+03 -168.9765Rmse1= 3.3151剩余標(biāo)準(zhǔn)差為3.3151比較小，由beta1數(shù)據(jù)可得模型二：模型比較：比較剩余標(biāo)準(zhǔn)差的值可以知道模型二的擬合效果比模型一好，因此對(duì)取最終模型為：對(duì)延伸率建立如下兩種模型：模型一：（線性）利用MATLAB中的多遠(yuǎn)二項(xiàng)式回歸命令rstool，對(duì)模型進(jìn)行求解。（具體程序見附錄二）運(yùn)行后得到一個(gè)交互式畫面如下圖：圖7得到(d do)回歸系數(shù)和剩余標(biāo)

19、準(zhǔn)差如下：Beta2= 8.7007 -27.3 -4.5555Rmse2= 0.7593剩余標(biāo)準(zhǔn)差為0.7593比較小，由beta2數(shù)據(jù)(shj)可得模型一：模型(mxng)二：（純二次）利用MATLAB中的多遠(yuǎn)二項(xiàng)式回歸命令rstool，對(duì)模型進(jìn)行求解。（具體程序見附錄二）運(yùn)行后得到一個(gè)交互式畫面如下圖：圖8得到回歸系數(shù)和剩余標(biāo)準(zhǔn)差如下：Beta3= 8.4482 -45.6001 8.4719 183.0013 -51.033Rmse3= 0.3584剩余標(biāo)準(zhǔn)差為0.3584比較小，由beta2數(shù)據(jù)可得模型二：模型比較：比較剩余標(biāo)準(zhǔn)差的值可以知道模型二的擬合效果比模型一好，因此對(duì)取最終模

20、型為：對(duì)于熱裂傾向值HCS建立如下兩種模型：模型一：（線性）利用MATLAB中的多遠(yuǎn)二項(xiàng)式回歸命令rstool，對(duì)模型進(jìn)行求解。（具體程序見附錄二）運(yùn)行后得到一個(gè)交互式畫面如下圖：圖9得到回歸系數(shù)和剩余(shngy)標(biāo)準(zhǔn)差如下：Beta4= 71.3709 100 -12.9932Rmse4= 8.7461剩余標(biāo)準(zhǔn)差為8.7461比較小，由beta4數(shù)據(jù)(shj)可得模型一：模型(mxng)二：（純二次）利用MATLAB中的多遠(yuǎn)二項(xiàng)式回歸命令rstool，對(duì)模型進(jìn)行求解。（具體程序見附錄二）運(yùn)行后得到一個(gè)交互式畫面如下圖：圖10得到回歸系數(shù)和剩余標(biāo)準(zhǔn)差如下：Beta5= 74.0048 282

21、.9990 -145.7986 -1.83 520,2088Rmse5= 8.0722剩余標(biāo)準(zhǔn)差為8.0722比較小，由beta5數(shù)據(jù)可得模型二：模型比較：比較剩余標(biāo)準(zhǔn)差的值可以知道模型二的擬合效果比模型一好，因此對(duì)取最終模型為：綜合以上分析可知釩（V）和稀土（RE）的添加數(shù)量與抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS之間的關(guān)系模型如下：5.3.2非線性規(guī)劃模型5針對(duì)問題“研究對(duì)該合金混合添加微量的釩（V）和稀土（RE）時(shí)，應(yīng)該添加釩和稀土的數(shù)量分別約為多少，才能保證產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度不低于150，延伸率不低于7.00，同時(shí)使熱裂傾向值HCS盡可能減少？”通過建立非線性規(guī)劃模型來(lái)解決。非線性規(guī)劃的MAT

22、LAB解法MATLAB中非線性的數(shù)學(xué)模型問題可寫成以下形式：其中(qzhng)：是標(biāo)量(bioling)函數(shù)；是相應(yīng)(xingyng)維數(shù)的矩陣和向量；是非線性向量函數(shù)。MATLAB中的命令是：x,fva1=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)X的返回值是決策向量x的取值，fva1返回的是目標(biāo)函數(shù)的取值，其中fun使用M文件定義的函數(shù)；x0是x的初始值；A,b,Aeq,beq定義了線性約束如果沒有線性約束，則A= ,b= ,Aeq ,beq= ;lb和ub是變量x的下界和上界，如果沒有上界和下界的約束，則lb= ,ub= ，也可以寫

23、成lb的各分量都為-inf，ub的各分量都為inf；nonlcon是用M文件定義的非線性向量函數(shù)options定義了優(yōu)化參數(shù)。根據(jù)題目要求把問題歸結(jié)為以下非線性規(guī)劃問題來(lái)求解。目標(biāo)函數(shù)：約束條件：編程見附錄四。運(yùn)行得到當(dāng)時(shí)，取得最小值66.6189。即應(yīng)該添加釩和稀土的數(shù)量分別約為時(shí)才能保證產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度不低于150，延伸率不低于7.00，同時(shí)使熱裂傾向值HCS盡可能減少。5.4問題四在問題二的第二個(gè)問中，曾經(jīng)建立了在單獨(dú)添加稀土的情況下對(duì)合金性能的綜合評(píng)價(jià)模型，我們得到抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS三個(gè)指標(biāo)在綜合指標(biāo)中的權(quán)重向量0.352， 0.349， -0.341。利用這個(gè)結(jié)論以及在

24、前面分析得到的在不同方案下同之間的擬合關(guān)系式，我們仿照的計(jì)算方法雖然同樣可以得到在單獨(dú)添加釩（V）和混合添加兩種方案下的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)模型如下：但是由于三種方案的量綱并不相同，我們無(wú)法直接通過比較的大小來(lái)判斷哪一種方案最佳，另一方面要對(duì)得到的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行無(wú)量綱化或標(biāo)準(zhǔn)化處理是一件比較困難的，因此我們采取另一種方法對(duì)三個(gè)方案進(jìn)行評(píng)價(jià)。首先，對(duì)所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。計(jì)算三種不同(b tn)方案下抗拉強(qiáng)度(kn l qin d)、延伸率、熱裂傾向(qngxing)值HCS三個(gè)指標(biāo)的平均值并制成下表：表2不同方案下指標(biāo)平均值方案抗拉強(qiáng)度均值延伸率均值熱裂傾向值HCS均值1（釩）146.756.1425

25、106.52（稀土）150.8757.427585.53（釩+稀土）151.336.8074.83將表2的數(shù)據(jù)導(dǎo)入spss中，進(jìn)行因子分析。首先將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，然后對(duì)三個(gè)變量進(jìn)行因子分析（固定選取2個(gè)主要因子）得到圖11由此得到這兩個(gè)因子可以解釋總方差的100%各因子的得分函數(shù)為：利用綜合因子得分公式計(jì)算出三種方案的綜合得分表如下：表3方案綜合得分方案1（釩）-1.154640.01206-1.01652（稀土）0.587770.993910.63603（釩+稀土）0.56687-1.005980.3803從上表可以清楚(qng chu)地看出，方案二的得分最高，因此第二種方案（即單獨(dú)添加稀土）

26、對(duì)提高產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度和延伸率、減少(jinsho)熱裂傾向值HCS整體上效果更加明顯。六、模型(mxng)評(píng)價(jià)模型的優(yōu)點(diǎn)利用多項(xiàng)式擬合函數(shù)關(guān)系式可以直接應(yīng)用MATLAB的擬合工具箱對(duì)離散數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合，同時(shí)能給出擬合評(píng)價(jià)指標(biāo)值，不需要編程求解，運(yùn)行簡(jiǎn)單。利用統(tǒng)計(jì)回歸模型能夠較方便的找出因變量與多個(gè)自變量之間的關(guān)系，從而很好地描述了釩（V）和稀土（RE）的添加數(shù)量與抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS之間的函數(shù)關(guān)系。通過因子分析的方法，能夠初略地給出合金性能的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)，以便對(duì)問題進(jìn)行客觀的分析。該模型有助于解決合金在生產(chǎn)過程中的熱裂缺陷，從而進(jìn)一步改善該合金的力學(xué)性能和抗熱裂性能。模型的缺點(diǎn)問

27、題二中在擬合抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于稀土的數(shù)量之間的近似函數(shù)關(guān)系時(shí)擬合次數(shù)達(dá)到7次，這種較高次的多項(xiàng)式在計(jì)算和表達(dá)上都顯得不夠簡(jiǎn)潔。利用因子分析確定抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS在綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)中的權(quán)重的做法由于沒辦法對(duì)的表達(dá)式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，使得這種做法顯得粗糙。七、模型改進(jìn)與擴(kuò)展從模型的評(píng)價(jià)可以看出，模型總體上是可行的，但是任然存在一些不足之處，為了彌補(bǔ)這些缺點(diǎn)，我們?cè)谀Ｐ蜕线M(jìn)行適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)。例如：在建立抗拉強(qiáng)度、延伸率、熱裂傾向值HCS關(guān)于稀土的數(shù)量之間的近似函數(shù)關(guān)系時(shí)，可以采用高斯函數(shù)或者傅里葉函數(shù)進(jìn)行擬合。進(jìn)而表不同擬合方式下模型的優(yōu)缺點(diǎn)，從而確定最終模型，在MATLA

28、B擬合工具箱中可以直接選擇不同的擬合方法。（2）針對(duì)綜合評(píng)價(jià)模型，可以通過模糊綜合評(píng)價(jià)法、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法、灰色關(guān)聯(lián)分析法以及主成分分析法等不同方法進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。對(duì)比不同的綜合評(píng)價(jià)方法，根據(jù)實(shí)際的問題選擇最為恰當(dāng)?shù)脑u(píng)判指標(biāo)，這樣有利于對(duì)實(shí)際問題給出更合理的解決方案。（3）該模型還適用于對(duì)其他相關(guān)問題的分析與應(yīng)用，如機(jī)器性能的影響因素分析、合金材料主成成分的定量等問題。八、參考資料1 姜永，數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書第26頁(yè)，2013年12月2 網(wǎng)上資料 基于MATLAB的不同曲線擬合方式的比較研究，2011年5月3 司守奎，孫璽菁，數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用第230頁(yè)，國(guó)防工業(yè)出版社4 姜永，數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)(sh

29、yn)指導(dǎo)書第31頁(yè)，2013年12月5 司守奎，孫璽菁，數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用第20頁(yè)，國(guó)防工業(yè)(u fn n y)出版附錄(fl)一的最大值的Lingo程序及運(yùn)行(ynxng)結(jié)果max=(-6.007e+09)*x7+(4.999e+09)*x6+(-1.644e+09)*x5+(2.723e+08)*x4+(-2.383e+07)*x3+(1.036e+06)*x2+(-1.684e+04)*x+133;x0;x0.25;運(yùn)行(ynxng)結(jié)果如下：Local optimal solution found. Objective value: 530.9253 Infeasibilities

30、: 0.000000 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 26 Variable Value Reduced Cost X 0.2371128 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 530.9253 1.000000 2 0.2371128 0.000000 3 0.1288719E-01 0.000000附錄(fl)二線性模型求解程序x1=0.05 0.05 0.05 0 0.05 0.1;x2=0 0.1 0.25 0.12 0.12 0.12;y1=160 153 130 18

31、6 146 133;x=x1,x2;rstool(x,y1,linear)純二次模型求解程序x1=0.05 0.05 0.05 0 0.05 0.1;x2=0 0.1 0.25 0.12 0.12 0.12;y1=160 153 130 186 146 133;x=x1,x2;rstool(x,y1,purequadratic)純二次模型求解程序x1=0.05 0.05 0.05 0 0.05 0.1;x2=0 0.1 0.25 0.12 0.12 0.12;y2=6.60 7.22 5.57 8.73 6.66 6.00;x=x1,x2;rstool(x,y2,linear)線性模型求解程序x1=0.05 0.05 0.05 0 0.05 0.1;x2=0 0.1 0.25 0.12 0.12 0.12;y2=6.60