導(dǎo)體表面電荷分布及表面曲率關(guān)系

1、-. z.摘要從導(dǎo)體外表電場的特征和電荷分布的微觀解釋導(dǎo)體外表電場的特性出發(fā)，我們對孤立帶電導(dǎo)體凹凸形尖端的外表電荷與電場分布進展了定性計算及分析。依據(jù)該帶電導(dǎo)體的等勢面與電場線正交的特征，得出了該帶電導(dǎo)體尖端處外表電荷與外表電場間的定量關(guān)系，而且進展了討論。對于孤立的帶電導(dǎo)體來說，電荷分布規(guī)律有以下的結(jié)論，其上面電荷的多少與該處外表的曲率有關(guān)，導(dǎo)體外表凸出尖端的地方 ( 曲率較大)，面電荷密度較大；外表較平緩的地方 ( 曲率較小) 電荷密度較??；外表凹下去的地方 ( 曲率小于零) 更小。本文將進展分析說明：電荷密度分布與曲率成正比只是一個大致的定性的規(guī)律，不能簡單地根據(jù)兩處的曲率大小來比擬兩

2、處的電荷密度的大小。關(guān)鍵詞：帶電導(dǎo)體 電荷面密度 電場分布 電荷面密度 外表曲率目錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc356305950一、導(dǎo)體外表電荷分布的有關(guān)因素 PAGEREF _Toc356305950 h 1HYPERLINK l _Toc3563059511電荷分布的微觀解釋 PAGEREF _Toc356305951 h 1HYPERLINK l _Toc3563059522尖端處外表電荷 PAGEREF _Toc356305952 h 1HYPERLINK l _Toc3563059533電荷分布與外表曲率關(guān)系 PAGEREF _Toc35630

3、5953 h 1HYPERLINK l _Toc356305954二、導(dǎo)體外表的電場 PAGEREF _Toc356305954 h 4HYPERLINK l _Toc3563059551電場分布的描述 PAGEREF _Toc356305955 h 4HYPERLINK l _Toc3563059562凸端處的場強 PAGEREF _Toc356305956 h 6HYPERLINK l _Toc3563059573凹端處的場強 PAGEREF _Toc356305957 h 7HYPERLINK l _Toc356305958三、結(jié)論 PAGEREF _Toc356305958 h 8HY

4、PERLINK l _Toc356305959參考文獻 PAGEREF _Toc356305959 h 9-. z.一、導(dǎo)體外表電荷分布的有關(guān)因素1電荷分布的微觀解釋我們所說的導(dǎo)體帶電，通常是指正負(fù)電荷中和后會出現(xiàn)多余凈電荷。假設(shè)正電荷數(shù)量大于負(fù)電荷，則中和后，導(dǎo)體就會多余出正的凈電荷，這些凈電荷都會帶有正的電性，我們也因此判定導(dǎo)體帶正電。又根據(jù)同種電荷間有庫倫力的作用，導(dǎo)體外表一樣電性的電荷將會齊向著斥力小的方向運動。此時假設(shè)導(dǎo)體呈球狀，電荷也會自由移動至均勻分布于球體外表，進而形成均勻的對稱電場。但假設(shè)導(dǎo)體非球狀，外表有凸凹時，凈電荷依舊向著斥力最小的方向自由移動。但由于凸面的頂端據(jù)其他外

5、表最遠(yuǎn)，會使得此處電荷受其他電荷的斥力最小。因此會吸引大量電荷移向此處，導(dǎo)致電荷分布最集中，隨之電場也會最強。反之，凹面距離其余電荷最近，庫倫力也最大，因此電荷密度最小，電場也最弱。2尖端處外表電荷總靜電荷不為零且與其他物體距離足夠遠(yuǎn)的孤立帶電導(dǎo)如果帶有電荷Q，當(dāng)自由電子不做自由運動到達(dá)靜電平衡時有：1導(dǎo)體電場強度為零2導(dǎo)體部電荷密度為零，電荷只能在導(dǎo)體外表分布;(3)在導(dǎo)體外部，緊靠導(dǎo)體外表的點的場強方向與導(dǎo)體外表垂直，場強大小與導(dǎo)體外表對應(yīng)點的電荷面密度成正比，可在導(dǎo)體外緊靠外表處人去一點做高斯面，有高斯定理知電場強度大小為E=，而導(dǎo)體外表的電荷密度是。大致來說，當(dāng)曲率半徑 0 時，任意形

6、狀的孤立帶電導(dǎo)體外外表，向外突出的地方電荷較密，場強也大。在突出部位較平坦的地方電荷很疏，場強也小；當(dāng)*處場強擊穿場強時，就發(fā)生常見的尖端放電現(xiàn)象。3電荷分布與外表曲率關(guān)系橢球面的代數(shù)方程式是比擬簡單的，當(dāng)橢球的三個半軸相等時，它的方程式就變成圓的方程?，F(xiàn)有一橢圓，使該橢圓繞短長軸旋轉(zhuǎn)而得到的橢球就相當(dāng)于一根細(xì)長棒。長棒兩端曲率很大，中間曲率較小，因此用這種導(dǎo)體研究外表曲率與電荷分布是能說明問題的，無論它是什么形狀的帶電導(dǎo)體，除了外界環(huán)境，導(dǎo)體部各處場強大小等于零是判斷導(dǎo)體電荷是否平衡分布的唯一條件。假設(shè)我們考慮的是一個繞軸旋轉(zhuǎn)的橢球體，它的兩個焦點分別為01和 O2 ，橢球外表的電荷分布使橢

7、球部任一點的場強矢量和為零。一般來說，這種現(xiàn)象是導(dǎo)體外表電荷產(chǎn)生的場強相互抵消的結(jié)果。但是，對于焦點 O1 和 O2 ，這種抵消是一對一成立的。過橢球的焦點 O1 作一個較小的立體角，它在橢球外表上切出兩塊外表 d s 和 d s2 ,通過嚴(yán)格的理論證明 , d s上的電荷在焦點 O1 處產(chǎn)生的場強與 d s2 上的電荷在 O1處產(chǎn)生的場強恰恰相互抵消，所以，整個橢球外表上的電荷在 O1產(chǎn)生的場強之和為零，根據(jù)這一規(guī)律，就可以找到帶電導(dǎo)體外表電荷分布的一些規(guī)律。圖1 旋轉(zhuǎn)橢球焦點場強分布如圖 1，設(shè) d s1 處電荷密度為 1 ，離 O1 的距離為 r 1，即d s 上的帶電量為 d q1 =

8、 1d s，這些電荷在 O1 處產(chǎn)生的場強 d 為：d注意， d s = d s / c o s 1 , 是與該處外表法線間的夾角。 d s = d， d是d s 對 O1 的立體角。因此：d同理，d s2 上的電荷在 O1 處產(chǎn)生的場強也可以用同樣的方法求出。d s2 對 O1 的立體角也是 d 1 。同理：d其中是 d上的法線與之間的夾角，因為在焦點上是對應(yīng)的電荷產(chǎn)生的場進展抵消，所以d E1 = d E2 ，進而得到/ = ，這也就是說 c o s ,這就是橢球外表電荷分布的具體規(guī)律，依據(jù)以焦點為原點的橢圓方程： r=( P是焦點參數(shù) , 是偏心率)可以求出 r 、處的cos ,為：=由

9、次我們可以求出導(dǎo)體上任意兩點 ( 即 1 和 2) 的外表電荷密度之比。如 :1) 在最平的一點 B，=-=-=根據(jù)以上討論得密度比為：=2在橢圓最鋒利的一端 A ， A = 0 , c o s A = 13 ) 在A與B之間的其它的點，其中cos值是介于與之間的，我們假設(shè)橢球長軸逐漸變長，當(dāng)很接近于 1 時，焦點 O1 、 O2 逐漸到達(dá)橢球兩端，橢球上很大一局部面積的，因而cos 0 ，所以電荷集中分布在橢球兩長軸末尾的尖端這一很小的區(qū)域，長橢球中間部位多地方的電荷分布幾乎為零。首先對導(dǎo)體外表面電荷率和外表曲率的關(guān)系進展定性分析，如圖1、我們可以簡單的知道，外表曲率小的地方，角大，cos值

10、小；外表曲率大的地方，角小，cos值大。所以可知曲率大的地方的電荷密度大于曲率小的地方的電荷密度，這個說法是正確的，但應(yīng)該想到，這并不是一個一般的結(jié)論，我們可以來進展下面的分析。由數(shù)學(xué)學(xué)過的知識可知平面曲線的曲率為：k=其中dl是曲線該題目中即為橢圓上的一段弧長，通過計算可得，k與cos的關(guān)系并部確定，影響它的因素有多個，所以電荷密度與K也不是一一對的的，與曲率并不成簡單的正比關(guān)系，可推測它們二者之間的關(guān)系是一個很復(fù)雜的函數(shù)。通過這樣分析，就可以得到結(jié)論，用細(xì)導(dǎo)線連接兩個導(dǎo)體球面而得到的可以看成一個孤立導(dǎo)體的模型中，電荷密度與曲率 K 成正比的結(jié)論并不一定。進一步分析，任意一個曲面上*一點有兩

11、個曲率值。比方旋轉(zhuǎn)橢球上短軸上的 B 點，在橢球旋轉(zhuǎn)方向上有一個曲率，在橢圓形的平面上還有一個曲率，我們的電荷密度與半徑成反比，即與曲率成正比這句話到底是指旋轉(zhuǎn)方向的曲率還是外表曲率？當(dāng)出現(xiàn)一個方向的曲率很小，另一個方向的曲率又很大的情況時，電荷又將怎么分布呢？圖2 旋轉(zhuǎn)橢球面電荷分布 圖3 旋轉(zhuǎn)橢球面電荷分布二、導(dǎo)體外表的電場1電場分布的描述 圖4 等勢面現(xiàn)在孤立導(dǎo)體外部空間電場中，取一等勢面元s，s面上的兩個主曲率半徑分別為和，再沿著s面的法線方向外移一段線元dz，即得到另一個等勢面的面元 s+ds，如圖4 所示：由于兩層面元之間不存在電荷，可由高斯定理得：d ( ES) = 0 ，所以

12、Ed S + S d E = 0 整理得：= -(1)由此可見導(dǎo)體外表場強大小與此處面積的相對變化率變化方向相反，但絕對值相等，隨著Z值的逐漸變大，離導(dǎo)體外表越遠(yuǎn)的地方，場強越小。如圖由幾何關(guān)系可知：(2)聯(lián)立兩式并把高階無窮小項略去，得到：dS=()dzdd(3)同除以S得：=dz=(+)dzdz(4)聯(lián)立 ( 1) ( 4) 式得：或=E(5)可知，電場在此處的相對變化率與該處等勢面的曲率半徑成反比。當(dāng)導(dǎo)體外表為平面時，；在凹面外， 0，即沿 Z 方向，E 越來越小，且越小，場強變小的速度越快，凸處尖端電場強度 E 最大。圖5 凸端場強 圖6 凹端處場強2凸端處的場強如圖 5 所示，以凸處

13、尖端的棱角處為原點，取電場線線方向為Z軸。在Z軸上A，與原點相距為Z，設(shè)A處等勢面的曲率半徑為，將其在原點處以曲率半徑展開，得泰勒級數(shù)如下。即：+，=0。且略去上式高次項，整理上式得：，把Z代入 ( 5) 式，有：因為凸處尖端外部曲率半徑增大，所以式中。設(shè)點A 處場強為，凸處尖端0 點場強為，則有：=-=-要使上式等號成立，其中的值有限，則，可得，這樣的話在此處可出現(xiàn)尖端放電這種現(xiàn)象。導(dǎo)體尖端附近電荷面密度與是成正比，這里r表示導(dǎo)體外表上的任意一點到尖端的距離， v 是一個與錐角有關(guān)的變量，如圖 4?，F(xiàn)假設(shè) = 10 時， v 0.2 ； = 1 時，v = 0 . 1 。以此類推，我們可得到

14、，當(dāng)導(dǎo)體尖端錐角很小時， v 0，這時，電荷面密度與曲率成反比，因為當(dāng) r 足夠小時，任何尖端都趨于圓弧，所以以上公式不能用于離尖頂太近的地方，理論上說，r = 0 處，這實際上是不可能的。由此可知，電荷面密度和外表曲率的并不是成正比這種簡單的關(guān)系。3凹端處的場強如圖 6 所示，設(shè)，因為曲率半徑是負(fù)的，而凹處外部逐漸增大，所以其變化率仍小于零，所以有：-=-。要使等式成立，其中可知為有限值，所以=一定是 0，即凹處 = 0，因此，場強最小?，F(xiàn)看一個比擬復(fù)雜形狀的導(dǎo)體，進展進一步考察，例如圖 5 的元寶導(dǎo)體，顯然在凹陷的區(qū)域有些地方的曲率很大，但是電荷密度不會很大。圖5 圖6三、結(jié)論從以上論述中

15、，可得:電荷在導(dǎo)體上的分布是非常不均，難以測量的，由以上論證也只可得到電荷密度與外表曲率有著正相關(guān)的定性關(guān)系，但是還不能證明電荷密度的大小由各處外表曲率決定。參考文獻1 黃瑩. 電磁學(xué)原理在科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用M . :兵器工業(yè),1998. 516.2 敬仕超. 物理學(xué)導(dǎo)論M . :科技大學(xué),1995. 216246.3 之翔. 帶電導(dǎo)體橢球的電勢和電荷分布J . 大學(xué)物理,2008 ,27 (1) :11213.4 斯米爾諾夫. 高等數(shù)學(xué)教程:第二卷,第二分冊M . 念增,譯. :高等教育社,1956 :202 ,19822045 斌,有泉,沙健,等. 介觀電路中電荷的量子效應(yīng)J . 物理學(xué)報,

16、1997 ,46 (1) :1292133.6 玉霞.面電荷所在處的電場強度J. 師專學(xué)報. 1994(03) 7 金仲輝.均勻帶電球面上的電場強度如何計算J. 現(xiàn)代物理知識. 2002(04) 8 之翔.帶電導(dǎo)體橢球的電勢和電荷分布J. 大學(xué)物理. 2008(01)9 盂.關(guān)于曲率與面電荷分布問題J. 大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版). 1986(04)AbstractFrom the perspective of the peculiarities of power field of the conductor surface and micro e*planation of the distrib

17、ution of the electric charge , we make a qualitative calculation and analysis of the distribution of electric charge and power field of the isolated electric conductors concavo-conve* pointed surface.According to the peculiarities of the perpendicular of equipotential surface and the electric field

18、of the electric conductor,we can conclude the quantitative determination bears of the electric charge and power field of conductors pointed surface and have a discussion.To isolated electric conductor,electric charge has the flowing conclusion of its distribution law:the quantity of the electric charge has relation with its surface curvature ,the