橢圓軌道的量子化條件

1、玻爾理論的實驗基礎玻爾模型玻爾理論的修正和推廣夫蘭克赫茲實驗索末菲理論空間量子化與史特恩蓋拉赫實驗教學內(nèi)容1教學要求 （1）掌握氫原子光譜規(guī)律及巴爾末公式。（2）掌握玻爾基本假設、圓軌道的量子化條件、半徑公式、能量公式、氫原子能級圖，以及一些有關的重要常數(shù)值。 （3）掌握玻爾氫原子理論，能夠解釋氫原子和類氫離子光譜的實驗規(guī)律，掌握光譜項的物理意義。 （4）掌握夫蘭克赫茲實驗的原理、方法、實驗結(jié)果的分析及結(jié)論。 （5）了解索末菲量子化通則和電子橢圓軌道的特性。2 2.1 氫原子光譜光譜獲得或觀察光譜的儀器光譜儀一. 光譜知識 是電磁輻射的波長成分和強度分布的記 錄，有時只是波長成分的記錄。是研究

2、原 子結(jié)構(gòu)的重要途徑之一。光譜提供了研究原子核以外結(jié)構(gòu)的有力工具。3光 譜 種 類連續(xù)光譜線狀光譜帶狀光譜熾熱的固體或液體發(fā)出，具 有各種波長成分。氣態(tài)原子發(fā)出，只有某些波長，光譜由一條條清晰明亮的線組成。氣體分子發(fā)出，譜線分段密集，形成一個個帶。4連續(xù)光譜線狀光譜太陽光譜鈉的吸收光譜NaHHgCu5棱鏡攝譜儀6棱鏡光譜儀示意圖狹縫棱鏡屏紅藍12光源準直儀 接受裝置（照相底片或顯微鏡） 色散裝置（棱鏡或光柵）127拍攝氫光譜；鐵光譜8 光譜是光強度隨頻率的分布。用光譜儀測得氫的光譜如圖。 在可見光區(qū)，譜線的波數(shù) v 可表示為 B=364.56nm該式稱巴耳末公式，該組譜線稱巴耳末系。 1987

3、年里德堡給出了一個普遍公式RH=4/B 稱里德堡常數(shù)。T(n)= RH/n2稱光譜項。 是光譜項之差。 n=1,n =2、3、4稱賴曼系 n=3,n =4 、5 、6 稱帕邢系n=4,n =5、6、7稱布喇開系 n=5,n=6 、7 、8 稱普豐特系二. 氫原子光譜9 H6563H H H4861 4341 4102巴爾末線系的前4條譜線波長埃101914年 賴曼發(fā)現(xiàn) 賴曼系： 1908年 帕邢發(fā)現(xiàn) 帕邢系：1922年布喇開發(fā)現(xiàn) 布喇開系:1924年普芳德發(fā)現(xiàn) 普芳德系:11氫原子光譜規(guī)律總結(jié)并合原則巴爾末線系里德伯公式光譜項其它原子光譜與氫原子類似:但是光譜項的n不一定是整數(shù)。12 盧瑟福將

4、行星模型用于原子世界，雖然都受反平方有心力支配但電子帶-e電荷，軌道加速運動會向外輻射電磁能，這樣電子將會在10-9s時間內(nèi)落入核內(nèi)，正負電荷中和，原子宣告崩潰(塌縮)。但現(xiàn)實世界原子是穩(wěn)定的。 原子結(jié)構(gòu)及其穩(wěn)定性是令人困惑的一大難題。玻爾深信量子化這一新概念，特別是當它看到巴耳末氫光譜公式后，原子內(nèi)部結(jié)構(gòu)全然呈現(xiàn)在他們想象中。 玻爾的氫原子理論，可分三部分 1. 定態(tài)假設 2. 頻率條件 3. 角動量量子化和能量量子化 2.2 玻爾模型13一、基本假設1.定態(tài)假設 玻爾認為原子內(nèi)部存在一系列離散的穩(wěn)定狀態(tài)定態(tài)。電子在這些定態(tài)上運動量子化的能量能級守恒，電子不會輻射能量，這稱玻爾的定態(tài)假設。量

5、子化能級的出現(xiàn)是原子穩(wěn)定性的基石，因為能級之間是禁區(qū)。2.頻率條件 原子內(nèi)部狀態(tài)的任何變化，只能是從一個定態(tài)到另一個定態(tài)的躍遷。例如兩個定態(tài)，En1的正電荷，Z不同代表不同的類氫體系。類氫離子譜線的波數(shù)公式類氫離子31天文望遠鏡 錄像1，2，33233畢克林系與巴爾末系比較圖譜系限HHHHH25000厘米-1200001500034 類氫離子指原子被電離后核外只剩一個電子的離子。核外一個電子在+Ze的核庫侖力作用下運動。例如He+、Li2+、Be3+等。將氫公式中的e2 Ze2,就可給出類氫離子的相應的能量和光譜公式。例如He+,Z=2,對于n4上式為 它與氫的巴耳末系公式相似，差別僅僅是n1

6、可取半整數(shù)，所以譜線比氫的多。由于RHeRH，所以譜線相對氫紫移。3536例題3738 玻爾理論成功的解釋了氫原子和類氫離子光譜的實驗規(guī)律。關鍵在于：這個理論中提出了能量量子化的假設，即原子內(nèi)部存在著一系列不連續(xù)的穩(wěn)定狀態(tài)能級。39 類氫原子指帶有-e電荷的 子和 介子，被質(zhì)子或原子核俘獲后形成的 原子和 原子，以及正負電子形成的束縛系統(tǒng)電子偶素。對于類氫原子需考慮兩體運動，即引入折合質(zhì)量代替氫公式中的m。3.類氫原子例題14041例題242434.里德堡原子 當多電子原子的外層一個電子被激發(fā)到n=105630高激發(fā)態(tài)上時，它看到內(nèi)層電子屏蔽后的剩余電荷是+e，所以可以借助玻爾氫原子理論描述。

7、這樣的原子稱里德堡原子。這樣的原子半徑很大 ，對n=250，r2503.3m接近細菌大小；其壽命也很長 正比于 n4.5 ；但能級間距十分小，如 ，而實溫對應的能量為kBT(=300)=0.026eV，所以易受外界電磁場、溫度等的影響。445.堿金屬原子 堿金屬原子可以看作是一個外層價電子圍繞一個個子很大的原子實在運動，它感受到+e庫侖力作用，所以也可用玻爾氫原子理論近似描述。不過由于原子實內(nèi)有結(jié)構(gòu)，很易在價電子電場作用下產(chǎn)生極化。由于原子實個子較大，作橢圓軌道運動的價電子還可以進入原子實內(nèi)，發(fā)生較強的束縛作用。所以同一主量子數(shù)n的不同橢圓軌道會有不同的能結(jié)合，氫原子能級簡并度被解除了。見圖：

8、 4546 2.4 夫蘭克赫茲實驗 一、夫蘭克赫茲實驗目的、原理、裝置 二、實驗過程三、實驗結(jié)果與分析47一、夫蘭克赫茲實驗目的、原理、裝置 原子光譜，特別是氫原子光譜驗證了玻爾的理論。獨立于光譜方法的另一種驗證方法是夫蘭克、赫茲設計并改進的電子非彈性碰撞實驗。通過測量碰撞后電子的電流，證明了原子內(nèi)部的能量是量子化的。由此獲1925年諾貝爾物理獎。48陰極網(wǎng)狀柵極陽極真空管內(nèi)充入所要研究的水銀蒸汽49 他們讓加速后的低能電子與 汞原子碰撞，發(fā)現(xiàn)當柵壓小于4.9v時，碰撞是彈性的，電子與汞原子（質(zhì)量很大）碰撞損失能量很少。板極電流隨柵壓v增加而上升；當柵壓上升到4.9伏時，電流突然下降。如圖所示

9、4.9V二、實驗過程50 這個現(xiàn)象說明發(fā)生了非彈性碰撞，電子的4.9ev能量被汞原子全部吸收了。這個能量正是汞原子從基態(tài)躍遷至低激發(fā)態(tài)所需的能量，它正對應著兩個能級之差。當汞原子從該激發(fā)態(tài)向下躍遷時，還會出現(xiàn)相應的253.7nm的紫外光譜線。 在這個實驗裝置中，加速電子只要達到4.9ev，就被汞原子全部吸收了；因此不可能出現(xiàn)大于4.9ev能量以上的非彈性碰撞，故不能觀察汞原子的更高激發(fā)態(tài)。為此他們作了進一步改進，如圖所示三、實驗結(jié)果與分析5152 改進的實驗裝置主要是把加速電子（不碰撞）與電子和汞原子的碰撞（不加速）分別在兩個區(qū)域進行。在加速區(qū)電子被加速，獲得較高的能量。在寬闊的碰撞區(qū)較高能量

10、的電子與汞原子進行充分有效的碰撞。凡發(fā)生非彈性碰撞,電流突然下降，這時的加速電壓都對應汞原子向較高能級的躍遷，包括向亞穩(wěn)態(tài)的躍遷。當加速電壓升至8v，可以出現(xiàn)六個低的激發(fā)態(tài)；當加速電壓升至10v時，可以出現(xiàn)十四個激發(fā)態(tài)，對應的汞原子發(fā)射光譜相應出現(xiàn)13條譜線（見圖）。5354f是自由度數(shù)目，p是廣義動量, qi是廣義坐標,積分號是對一個周期的積分一、量子化通則55二、對圓軌道的修正 索末非考慮了更一般的橢圓軌道運動，發(fā)現(xiàn)對同一個由n標定的能級(n稱主量子數(shù))，可以有n個不同偏心率的橢圓軌道運動，但它們是能量簡并的態(tài)。56橢圓軌道的量子化條件半長軸57半長軸半短軸能 量量子數(shù)58橢圓軌道的特征能

11、級是簡并的：即一個能級對應著n個不同的運動狀態(tài),簡并度為n,當n確定時，能量就確定了，半長軸也確定了，但是由于n可取由1 n共n個可能值,所以半短軸有n個，因而有n個不同形狀的軌道,其中一個是圓，(n-1)個是橢圓。59橢圓軌道的相對大小a1n=1,n=1n=2,n=2n=2 ,n=12a14a16a13a19a1n=3,n=3n=3,n=2n=3,n=1例如 n =1,2,3時，各種可能的軌道形狀如下：60例題1616263按相對論原理，物體質(zhì)量隨它的運動速度而改變：物體動能：橢圓軌道運動時電子的軌道不是閉合的，而是連續(xù)的進動。三、相對論修正64 一個電子軌道的進動65 玻爾軌道速度為vn=

12、c/n(vn/c= /n)，玻爾第一軌道速度是最大的,為v1= c=c/137,所以應考慮相對論效應。對于圓軌道相對論的修正是 索末非對橢圓軌道也作了相對論修正，計算結(jié)果表明系統(tǒng)的總能量不僅與n有關，而且還與橢圓的角動量有關(不同的偏心率橢圓對應有不同的角動量)。66軌道的進動使得在n相同n不同的軌道上運動時能量略有差別。索末菲按相對論力學原理推得：式中67展成級數(shù)形式得：68 2 .6 空間量子化與史特恩蓋拉赫實驗一、電子軌道運動的磁矩二、軌道取向量子化理論三、史特恩蓋拉赫實驗69一、電子軌道運動的磁矩dre-70 1.電子的軌道磁矩的經(jīng)典表示式又稱旋磁比ri-enoL71磁矩在磁場B中受力

13、矩 ，將引起角動量的變化 其中=B是拉莫爾進動的角速度。拉莫爾進動（見圖）是角動量L旋進的運動。 磁矩在磁場中的 相互作用能為 72 因為=-L，量子力學的角動量是量子化的，所以2. 的量子表示73二、軌道取向量子化理論： 2、三維空間中運動時，量子 化條件為：1、 原子處于磁場中時，電 子受到一個力矩作用：BM74描述電子三維運動的極坐標NHrpp-eZe7576軌道的方向量子化n=+1n =1n=+2n =2n=+3n=30-1+10-1-2+2+10-1-2-377三、史特恩蓋拉赫實驗目的：證明原子在外磁場中具有空間量子化 特征。原理：磁矩為的小磁體（或線圈），在非 均勻磁場中受到的合力

14、不為零：78無磁場有磁場NS79史特恩蓋拉赫實驗的儀器示意圖pc）os1s2sNa)pAcANb) s 80方法：基態(tài)銀原子束以相同的速度方向通過 與速度方向垂直的不均勻磁場，不同 Z的原子受力不同，因而落在照相底 片上位置不同。由底片上銀原子的分布 情況可以判斷Z的分布情況。結(jié)論：（1）基態(tài)銀原子有磁矩，且Z=B。 （2）磁矩相對于磁場的取向有兩種可 能，偏離直線前進應到達的c點的 距離： 結(jié)果：相片P上有兩條黑斑，兩者對稱分布。81（3）用其它原子來做實驗時，測出等 于B的整數(shù)倍，原子束也分成若干 束。具有空間量子化特性。存在問題：理論上預言應分為2n+1束,即 奇數(shù)束。實驗上是兩束，為偶

15、數(shù)。為什么？82實驗裝置例83 磁矩在非均勻磁場B中如同電偶極子在非均勻電場中一樣，質(zhì)心會受力作用產(chǎn)生運動，如沿z方向磁場不均勻，則有 原子進入非均勻磁場l中，沿x方向不受力,作勻速運動。xv0t。沿Z方向作勻加速運動：在xl1處84原子不受力，作自由運動。經(jīng)l后沿Z偏移為在l段原子沿Z總位移85 原子蒸氣被送入不均勻磁場后，發(fā)射的原子束將分裂為多束。這證明了原子磁矩 z 的空間量子化行為。但實驗發(fā)現(xiàn)H（基態(tài)）原子（T=7104K,kT=9.0eV10.2eV）進入史特恩蓋拉赫裝置后分裂為兩束；基態(tài)氧原子分裂為五束，汞原子束不分裂。 按照H原子理論，基態(tài)H是1s，l0，m0, z 0,不受力，

16、不會分裂為二。實驗發(fā)現(xiàn)如何解釋這一矛盾呢？86一、電子軌道運動的磁矩二、軌道取向量子化理論三、史特恩蓋拉赫實驗小 結(jié)872 .7 玻爾對應原理一、玻爾對應原理二、玻爾理論的成功之處三、玻爾理論的困難四、波爾理論與量子力學主要結(jié)論對比表88一、玻爾對應原理899091929394二、玻爾理論的成功之處（1）應用于氫原子和類氫離子光譜時， 理論計算與實驗測量結(jié)果符合得很好。（2）里德堡常數(shù)的理論值與實驗值符合極好。 R實=10967758m-1， R理=10973731m-1（3）原子定態(tài)假設至今有效。（4）輻射頻率法則是正確的。95原 因?qū)嶒灮A理論基礎光譜實驗規(guī)律；黑體輻射實驗；光電效應實驗。

17、原子核式結(jié)構(gòu)模型；普朗克量子假 說；愛因斯坦光子假說。96三、玻爾理論的困難3、軌道的概念不正確。2、角動量量子化條件 與現(xiàn)代實驗結(jié)果不符只是人們的假 設， 無理論根據(jù)。1、只能計算氫原子和類氫離子的光譜線的 頻率，對于多于一個電子的氦原子。理 論完全不適 用，且不能計算譜線的強度。97原 因1、理論內(nèi)在的不統(tǒng)一，不是自洽的。一方面提出了與經(jīng)典理論完全矛盾的假設。另一方面又認為經(jīng)典理論（牛頓定律、侖定律）適用。所以不是一貫的量子理論，也不是一貫的經(jīng)典理論，而是量子論 + 經(jīng)典理論的混合物。2、沒有抓住微觀粒子的根本特性：波粒二象性，仍然把微觀粒子看作經(jīng)典理論中的質(zhì)點。更完整、更準確的、應用面更

18、廣的關于原子的理論是1925年建 立起來的量子力學。98 四、波爾理論與量子力學主要結(jié)論對比表99一、玻爾的氫原子理論橢圓軌道量子化橢圓軌道特征二、玻爾理論應用于類氫離子三、索末菲理論四、相對論效應小結(jié)五、玻爾對應原理和地位100 思考題 （1）19世紀末經(jīng)典物理出現(xiàn)哪些無法解決的矛盾？（1999長春光機所）（2）用簡要的語言敘述玻爾理論，并根據(jù)你的敘述導出氫原子基態(tài)能量表達式.（1998南開大學）（3）寫出下列物理量的符號及其推薦值（用國際單位制）：真空的光速、普朗克常數(shù)、玻爾半徑、玻爾磁子、玻爾茲曼常數(shù)、萬有引力恒量. （2000南開大學）101（4）解釋下列概念：光譜項、定態(tài)、簡并、電子

19、的軌道磁矩、對應原理.（5）簡述夫蘭克赫茲實驗的原理、方法、實驗結(jié)果的分析及結(jié)論。（6）簡述玻爾對原子結(jié)構(gòu)的理論的貢獻和玻爾理論的地位與不足。（7）在玻爾模型的理論框架下，導出氫原子中電子作圓周運動時能量的相對論修正。（吉林大學2000）（8）何謂里德伯原子？為什么在現(xiàn)代生命科學、同位素分離、激光等研究領域中要研究里德伯原子？102作業(yè)題 （1）單色光照射使處于基態(tài)的氫原子激發(fā),受激發(fā)的氫原子向低能級躍遷時可能發(fā)出10條譜線。問：入射光的能量為多少？其中波長最長的一條譜線的波長為多少？（hc=12400eV）（2）已知一對正負電子繞共同質(zhì)心轉(zhuǎn)動會形成類似氫原子結(jié)構(gòu)-正電子素.試求：正電子素處于基態(tài)時