構(gòu)造與論證教師版

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)構(gòu)造與論證教學(xué)目標(biāo)掌握最佳安排和選擇方案的組合問(wèn)題.利用基本染色去解決相關(guān)圖論問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)說(shuō)明各種探討給定要求能否實(shí)現(xiàn)，在論證中，有時(shí)需進(jìn)行分類(lèi)討論，有時(shí)則要著眼于極端情形，或從整體把握設(shè)計(jì)最佳安排和選擇方案的組合問(wèn)題，這里的最佳通常指某個(gè)量達(dá)到最大或最小解題時(shí)，既要構(gòu)造出取得最值的具體實(shí)例，又要對(duì)此方案的最優(yōu)性進(jìn)行論證論證中的常用手段包括抽屜原則、整除性分析和不等式估計(jì)組合證明題，在論證中，有時(shí)需進(jìn)行分類(lèi)討論，有時(shí)則需要著眼于極端情況，或從整體把握。若干點(diǎn)及連接

2、它們的一些線段組成圖，與此相關(guān)的題目稱(chēng)為圖論問(wèn)題。若干點(diǎn)及連接它們的一些線段組成圖，與此相關(guān)的題目稱(chēng)為圖論問(wèn)題，這里宜從特殊的點(diǎn)或線著手進(jìn)行分析各種以染色為內(nèi)容，或通過(guò)染色求解的組合問(wèn)題，基本的染色方式有相間染色與條形染色知識(shí)點(diǎn)撥板塊一、最佳安排和選擇方案5卷本百科全書(shū)按從第1卷到第5卷的遞增序號(hào)排列，今要將它們變?yōu)榉葱蚺帕?，即從?卷到第1卷如果每次只能調(diào)換相鄰的兩卷，那么最少要調(diào)換多少次?【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】2星 【題型】解答因?yàn)楸仨毷钦{(diào)換相鄰的兩卷，將第5卷調(diào)至原來(lái)第1卷的位置最少需4次，得到的順序?yàn)?1234；現(xiàn)在將第4卷調(diào)至此時(shí)第1卷的位置最少需3次，得到的順序?yàn)?4123；

3、現(xiàn)在將第3卷調(diào)至此時(shí)第1卷的位置最少需2次，得到的順序?yàn)?4312；最后將第1卷和第2卷對(duì)調(diào)即可所以，共需調(diào)換4+3+2+1=10次【答案】10次在2009張卡片上分別寫(xiě)著數(shù)字1、2、3、4、2009，現(xiàn)在將卡片的順序打亂，讓空白面朝上，并在空白面上又分別寫(xiě)上1、2、3、4、2009然后將每一張卡片正反兩個(gè)面上的數(shù)字相加，再將這2009個(gè)和相乘，所得的積能否確定是奇數(shù)還是偶數(shù)？【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】解答從整體進(jìn)行考慮所得的2009個(gè)和相加，便等于12009的所有數(shù)的總和的2倍，是個(gè)偶數(shù)2009個(gè)數(shù)的和是偶數(shù)，說(shuō)明這2009個(gè)數(shù)中必有偶數(shù)，那么這2009個(gè)數(shù)的乘積是偶數(shù)本題也

4、可以考慮其中的奇數(shù)由于12009中有1005個(gè)奇數(shù)，那么正反兩面共有2010個(gè)奇數(shù)，而只有2009張卡片，根據(jù)抽屜原理，其中必有2個(gè)奇數(shù)在同一張卡片上，那么這張卡片上的數(shù)字的和是偶數(shù)，從而所有2009個(gè)和的乘積也是偶數(shù)【答案】偶數(shù)一個(gè)盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚下面我們對(duì)這些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果顏色相同，就補(bǔ)1枚黑色棋子回去；如果顏色不同，就補(bǔ)1枚白色的棋子回去這樣的操作，實(shí)際上就是每次都少了1枚棋子，那么，經(jīng)過(guò)399次操作后，最后剩下的棋子是 顏色(填“黑”或者“白”)【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】填空在每一次操作中，若拿出的兩枚棋子同色

5、，則補(bǔ)黑子1枚，所以拿出的白子可能為0枚或2枚；若拿出的兩枚棋子異色，則補(bǔ)白子1枚，“兩枚棋子異色”說(shuō)明其中一黑一白，那么此時(shí)拿出的白子數(shù)為0枚可見(jiàn)每次操作中拿出的白子都是偶數(shù)枚，而由于起初白子有200枚，是偶數(shù)枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶數(shù)枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子【答案】黑子在黑板上寫(xiě)上、，按下列規(guī)定進(jìn)行“操怍”：每次擦去其中的任意兩個(gè)數(shù)和，然后寫(xiě)上它們的差(大數(shù)減小數(shù))，直到黑板上剩下一個(gè)數(shù)為止問(wèn)黑板上剩下的數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】解答根據(jù)等差數(shù)列求和公式，可知開(kāi)始時(shí)黑板上所有數(shù)的和為是一個(gè)偶數(shù)，而每一次“操作”，將、兩個(gè)數(shù)

6、變成了，它們的和減少了，即減少了一個(gè)偶數(shù)那么從整體上看，總和減少了一個(gè)偶數(shù)，其奇偶性不變，還是一個(gè)偶數(shù)所以每次操作后黑板上剩下的數(shù)的和都是偶數(shù)，那么最后黑板上剩下一個(gè)數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)是個(gè)偶數(shù)【答案】偶數(shù)在19971997的正方形棋盤(pán)上的每格都裝有一盞燈和一個(gè)按鈕按鈕每按一次，與它同一行和同一列方格中的燈泡都改變一次狀態(tài)，即由亮變?yōu)椴涣?，或由不亮變?yōu)榱寥绻瓉?lái)每盞燈都是不亮的，請(qǐng)說(shuō)明最少需要按多少次按鈕才可以使燈全部變亮?【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】4星 【題型】解答最少要1997次，將第一列中的每一格都按一次，則除第一列外，每格的燈都只改變一次狀態(tài)，由不亮變成亮而第一列每格的燈都改變1997次狀態(tài)

7、，由不亮變亮如果少于1997次，則至少有一列和至少有一行沒(méi)有被按過(guò)，位于這一列和這一行相交處的燈保持原狀，即不亮的狀態(tài)【答案】1997次有3堆小石子，每次允許進(jìn)行如下操作：從每堆中取走同樣數(shù)目的小石子，或是將其中的某一石子數(shù)是偶數(shù)的堆中的一半石子移入另外的一堆開(kāi)始時(shí)，第一堆有1989塊石子，第二堆有989塊石子，第三堆有89塊石子問(wèn)能否做到：(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】4星 【題型】解答 (1)可以，如(1989，989，89) (1900，900，0)(950，900，950)(50，0，50)(25，25，50)(0，0，25)(

8、2)因?yàn)椴僮骶蛢煞N，每堆取走同樣數(shù)目的小石子，將有偶數(shù)堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子總數(shù)要么減少3的倍數(shù)，要么不變現(xiàn)在共有1989+989+89=3067，不是3的倍數(shù)，所以不能將3堆中所有石子都取走【答案】(1)可以 (2)不能在某市舉行的一次乒乓球邀請(qǐng)賽上，有3名專(zhuān)業(yè)選手與3名業(yè)余選手參加.比賽采用單循環(huán)方式進(jìn)行，就是說(shuō)每?jī)擅x手都要比賽一場(chǎng)為公平起見(jiàn)，用以下方法記分：開(kāi)賽前每位選手各有10分作為底分，每賽一場(chǎng)，勝者加分，負(fù)者扣分，每勝專(zhuān)業(yè)選手一場(chǎng)加2分，每勝業(yè)余選手一場(chǎng)加1分；專(zhuān)業(yè)選手每負(fù)一場(chǎng)扣2分，業(yè)余選手每負(fù)一場(chǎng)扣1分問(wèn)：一位業(yè)余選手最少要?jiǎng)賻讏?chǎng)，才能確保他的得分比某位專(zhuān)

9、業(yè)選手高?【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】4星 【題型】解答當(dāng)一位業(yè)余選手勝2場(chǎng)時(shí)，如果只勝了另兩位業(yè)余選手，那么他得10+2-3=9(分)此時(shí)，如果專(zhuān)業(yè)選手間的比賽均為一勝一負(fù)，而專(zhuān)業(yè)選手與業(yè)余選手比賽全勝，那么每位專(zhuān)業(yè)選手的得分都是10+2-2+3=13(分)所以，一位業(yè)余選手勝2場(chǎng)，不能確保他的得分比某位專(zhuān)業(yè)選手高當(dāng)一位業(yè)余選手勝3場(chǎng)時(shí)，得分最少時(shí)是勝兩位業(yè)余選手，勝一位專(zhuān)業(yè)選手，得10+2+2-2=12(分)此時(shí)，三位專(zhuān)業(yè)選手最多共得30+0+4=34(分)，其中專(zhuān)業(yè)選手之間的三場(chǎng)比賽共得0分，專(zhuān)業(yè)選手與業(yè)余選手的比賽最多共得4分.由三個(gè)人得34分，343=11，推知，必有人得分不超過(guò)11

10、分. 也就是說(shuō)，一位業(yè)余選手勝3場(chǎng)，能確保他的得分比某位專(zhuān)業(yè)選手高.【答案】勝3場(chǎng)n支足球隊(duì)進(jìn)行比賽，比賽采用單循環(huán)制，即每對(duì)均與其他各隊(duì)比賽一場(chǎng).現(xiàn)規(guī)定勝一場(chǎng)得2分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分.如果每一隊(duì)至少勝一場(chǎng)，并且所有各隊(duì)的積分都不相同，問(wèn)：（1）n=4是否可能？（2）n=5是否可能？【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】解答（1）我們知道4個(gè)隊(duì)共進(jìn)行了場(chǎng)比賽，而每場(chǎng)比賽有2分產(chǎn)生，所以4個(gè)隊(duì)的得分總和為2=12.因?yàn)槊恳魂?duì)至少勝一場(chǎng)，所以得分最低的隊(duì)至少得2分，又要求每個(gè)隊(duì)的得分都不相同，所以 4個(gè)隊(duì)得分最少2+3+4+5=1412，不滿(mǎn)足.即n=4不可能。（2）我們知道5個(gè)隊(duì)共

11、進(jìn)行場(chǎng)比賽，而每場(chǎng)比賽有2分產(chǎn)生，所以4個(gè)隊(duì)的得分總和為2=20.因?yàn)槊恳魂?duì)至少勝一場(chǎng)，所以得分最低的隊(duì)至少得2分，又要求每個(gè)隊(duì)的得分都不相同，所以5個(gè)隊(duì)得分最少為2+3+4+5+6=20，滿(mǎn)足.即n=5有可能.但是我們必須驗(yàn)證是否存在實(shí)例.如下所示，A得2分，C得3分，D得4分，B得5分，E得6分.其中“AB”表示A、B比賽時(shí)，A勝B；“B-C”表示B、C比賽時(shí)，B平C，余下類(lèi)推.【答案】（1）不可能 （2）可能如圖35-1，將1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個(gè)數(shù)分別填入圖中的10個(gè)圓圈內(nèi)，使任意連續(xù)相鄰的5個(gè)圓圈內(nèi)的各數(shù)之和均不大于某個(gè)整數(shù)M.求M的最小值并完成你的填圖. 【

12、考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】解答要使M最小，就要盡量平均的填寫(xiě)，因?yàn)槿绻械倪B續(xù)5個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)特別小，有的特別大，那么M就只能大于等于特別大的數(shù)，不能達(dá)到盡量小的目的 因?yàn)槊總€(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)都用了5次，所以10次的和為5(1+2+3+10)=275 每次和都小于等于朋，所以10M大于等于275，整數(shù)M大于28下面來(lái)驗(yàn)證M=28時(shí)是否成立，注意到圓圈內(nèi)全部數(shù)的總和是55，所以肯定是一邊五個(gè)的和是28，一邊是27因?yàn)閿?shù)字都不一樣，所以和28肯定是相間排列，和27也是相問(wèn)排列，也就是說(shuō)數(shù)組每隔4個(gè)差值為1，這樣從1填起，容易排出適當(dāng)?shù)奶顖D.【答案】如圖，在時(shí)鐘的表盤(pán)上任意作個(gè)的扇形，使得每一

13、個(gè)扇形都恰好覆蓋個(gè)數(shù)，且每?jī)蓚€(gè)扇形覆蓋的數(shù)不全相同，求證：一定可以找到個(gè)扇形，恰好覆蓋整個(gè)表盤(pán)上的數(shù)并舉一個(gè)反例說(shuō)明，作個(gè)扇形將不能保證上述結(jié)論成立【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】清華附中，入學(xué)測(cè)試略【答案】要在表盤(pán)上共可作出12個(gè)不同的扇形，且112中的每個(gè)數(shù)恰好被4個(gè)扇形覆蓋將這12個(gè)扇形分為4組，使得每一組的3個(gè)扇形恰好蓋住整個(gè)表盤(pán)那么，根據(jù)抽屜原理，從中選擇9個(gè)扇形，必有個(gè)扇形屬于同一組，那么這一組的3個(gè)扇形可以覆蓋整個(gè)表盤(pán)另一方面，作8個(gè)扇形相當(dāng)于從全部的12個(gè)扇形中去掉4個(gè)，則可以去掉蓋住同一個(gè)數(shù)的4個(gè)扇形，這樣這個(gè)數(shù)就沒(méi)有被剩下的8個(gè)扇形蓋住，那么這8個(gè)扇

14、形不能蓋住整個(gè)表盤(pán)將1、2、3、4、5、6寫(xiě)在一個(gè)圓周上，然后把圓周上連續(xù)三個(gè)數(shù)之和寫(xiě)下來(lái)，則可以得到六個(gè)數(shù)、，將這六個(gè)數(shù)中最大的記為請(qǐng)問(wèn)在所有填寫(xiě)方式中，的最小值是什么？【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】2008年，臺(tái)灣小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔賽要由于每個(gè)寫(xiě)在圓周上的數(shù)都被用了三次，則，即寫(xiě)出來(lái)的這6個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，因此至少為11由上圖的排列方式可知為11的情形存在，故的最小值為11【答案】最小值為111998名運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼依次為1至1998的自然數(shù)現(xiàn)在要從中選出若干名運(yùn)動(dòng)員參加儀仗隊(duì)，使得剩下的運(yùn)動(dòng)員中沒(méi)有一個(gè)人的號(hào)碼等于另外兩人的號(hào)碼的乘積那么，選為儀仗隊(duì)的運(yùn)動(dòng)員最少有多少

15、人?【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】解答我們很自然的想到把用得比較多的乘數(shù)去掉，因?yàn)樗鼈儏⑴c的乘式比較多，把它們?nèi)サ粲兄谑故Ｏ碌臉?gòu)不成乘式，比較小的數(shù)肯定是用得最多的，因?yàn)樗鼈兊谋稊?shù)最多，所以考慮先把它們?nèi)サ簦P(guān)鍵是除到何處?考慮到44的平方為1936，所以去到44就夠了，因?yàn)槿绻Ｏ碌臉?gòu)成了乘式，那么乘式中最小的數(shù)一定小于等于44，所以可以保證剩下的構(gòu)不成乘式因?yàn)閷?duì)結(jié)果沒(méi)有影響，所以可以將1保留，于是去掉2，3，4，44這43個(gè)數(shù)但是，是不是去掉43個(gè)數(shù)為最小的方法呢?構(gòu)造297，396，495，4445，發(fā)現(xiàn)這43組數(shù)全不相同而且結(jié)果都比1998小，所以要去掉這些乘式就至少要

16、去掉43個(gè)數(shù)，所以43為最小值，即為所求.【答案】43一組互不相同的自然數(shù)，其中最小的數(shù)是1，最大的數(shù)是25，除1之外，這組數(shù)中的任一個(gè)數(shù)或者等于這組數(shù)中某一個(gè)數(shù)的2倍，或者等于這組數(shù)中某兩個(gè)數(shù)之和.問(wèn)：這組數(shù)之和的最小值是多少?當(dāng)取到最小值時(shí)，這組數(shù)是怎樣構(gòu)成的?【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】解答首先把這組數(shù)從小到大排列起來(lái)，那么最小的肯定為1，1后面只能是1的2倍即2，2后面可以是3或4，3的后面可以是4，5，6；4的后面可以是5，6，8最大的為25下面將所有的可能情況列出：1，2，3，4，25所有的和是35；1，2，3，5，25所有的和是36；1，2，3，6，25所有的和是3

17、7；1，2，4，5，25所有的和是37；1，2，4，6，25所有的和是38；1，2，4，8，25所有的和是40.25是奇數(shù)，只能是一個(gè)偶數(shù)加上一個(gè)奇數(shù)在中間省略的數(shù)中不能只有1個(gè)數(shù)，所以至少還要添加兩個(gè)數(shù)，而且這兩個(gè)數(shù)的和不能小于25，否則就無(wú)法得到25這個(gè)數(shù)要求求出最小值，先看這兩個(gè)數(shù)的和是25的情況，因?yàn)槭÷缘膬蓚€(gè)數(shù)不同于前面的數(shù)，所以從20+5開(kāi)始25=20+5=19+6=18+7=17+8=16+9=15+10=14+11=13+12這些數(shù)中20，19，18，17太大，無(wú)法產(chǎn)生，所以看：16+9=15+10=14+11=13+12看這些誰(shuí)能出現(xiàn)和最小的1，2，3，4，25中，檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)沒(méi)

18、有可以滿(mǎn)足的：再看1，2，3，5，25，發(fā)現(xiàn)1，2，3，5，10，15，25滿(mǎn)足，所以：1+2+3+5+10+15+25=36+25=61【答案】1+2+3+5+10+15+25=36+25=612004枚棋子，每次可以取1、3、4、7枚，最后取的獲勝。甲、乙輪流取，如果甲先取，如何才能保證贏？【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】解答先從簡(jiǎn)單的情況看起，看看棋子數(shù)量較少時(shí)，在什么情況下先取者勝，什么情況下后取者勝可以列表如下： 棋子數(shù)量先取者勝后取者勝1枚2枚3枚4枚5枚6枚7枚8枚9枚10枚11枚12枚13枚14枚15枚16枚17枚18枚19枚20枚棋子數(shù)是18時(shí)比較容易看得出來(lái)是先取

19、者勝還是后取者勝，可以看出只有棋子數(shù)是2枚和8枚時(shí)是后取者勝，其他情況下都是先取者勝當(dāng)棋子數(shù)大于8時(shí)，可以先取若干枚棋子，使得剩下的棋子數(shù)變成前面已有的棋子數(shù)先取者為了取勝，第一次取后，應(yīng)該使剩下的棋子數(shù)是后取者勝的情況，比如變成剩下2枚或8枚這樣推下去，可以發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)棋子數(shù)是8的倍數(shù)或者除以8余2時(shí)，是后取者勝，其他情況下是先取者勝題目中有2004枚棋子，除以8余4，所以先取者肯定可以取勝不過(guò)取勝的策略比較靈活，不能明確地說(shuō)每次后取者取多少枚先取者就相應(yīng)地取多少枚，應(yīng)該從除以8的余數(shù)來(lái)考慮：先取者第一次可以先取4枚，這樣還剩下2000枚，2000除以8的余數(shù)是0；先取者為了保證獲勝，在每一次

20、后取者取了之后，先取者再取的時(shí)候，應(yīng)該使得自己取后剩下的棋子數(shù)是8的倍數(shù)或者除以8余2；后取者每次可以取1，3，4，7枚，每次先取者取后剩下的棋子數(shù)除以8的余數(shù)是0或2，所以每次后取者取后剩下的棋子數(shù)除以8的余數(shù)是7，5，4，1或1，7，6，3.所以接下來(lái)先取者可以對(duì)應(yīng)地取7，3，4，1或1，7，4，3枚棋子，這樣剩下的剩下的棋子數(shù)除以8的余數(shù)為0，2，0，0或0，0，2，0.這樣就保證了第點(diǎn)每次先取者取后剩下的棋子數(shù)除以8的余數(shù)是0或2，那么最后一枚棋子肯定是先取者取得，所以先取者獲勝【答案】見(jiàn)解析在1019方格表的每個(gè)方格內(nèi)，寫(xiě)上0或1，然后算出每行及每列的各數(shù)之和問(wèn)最多能得到多少個(gè)不同的

21、和數(shù)?【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】解答首先每列的和最少為0，最多是10，每行的和最少是0，最多是19，所以不同的和最多也就是0，1，2，3，4，18，19這20個(gè)下面我們說(shuō)明如果0出現(xiàn)，那么必然有另外一個(gè)數(shù)字不能出現(xiàn)如果0出現(xiàn)在行的和中，說(shuō)明有1行全是0，意味著列的和中至多出現(xiàn)0到9，加上行的和至多出現(xiàn)10個(gè)數(shù)字，所以少了一種可能 如果0出現(xiàn)在列的和中，說(shuō)明在行的和中19不可能出現(xiàn)，所以0出現(xiàn)就意味著另一個(gè)數(shù)字不能出現(xiàn)，所以至多是19，下面給出一種排出方法.【答案】在88的國(guó)際象棋盤(pán)上最多能夠放置多少枚棋子，使得棋盤(pán)上每行、每列及每條斜線上都有偶數(shù)枚棋子?【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難

22、度】3星 【題型】解答因?yàn)?8的國(guó)際象棋盤(pán)上的每行、每列都正好有偶數(shù)格，若某行(某列)有空格，必空偶數(shù)格而斜線上的格子數(shù)有奇也有偶，不妨從左上角的斜線看起：第一條斜線只有1格，必空；第三條有3格，必至少空1格；第五、七條分別有5、7格，每條線上至少空1格由對(duì)稱(chēng)性易知共有16條斜線上有奇數(shù)格，且這16條斜線沒(méi)有共用的格子，故至少必空出16格其實(shí)，空出兩條主對(duì)角線上的16個(gè)格子就合題意此時(shí)，最多可放置48枚棋子，放在除這兩條主對(duì)角線外的其余格子中，如下圖所示【答案】在下圖中有16個(gè)黑點(diǎn)，它們排成了一個(gè)44的方陣用線段連接其中4點(diǎn)，就可以畫(huà)出各種不同的正方形現(xiàn)在要去掉某些點(diǎn)，使得其中任意4點(diǎn)都不能連

23、成正方形，那么最少要去掉多少個(gè)點(diǎn)?【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】解答至少要除去6個(gè)點(diǎn)，如下所示為幾種方法：【答案】個(gè)三個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形并排放在一起，成為13的長(zhǎng)方形.求證：.【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】解答仔細(xì)分析，要證， 由于，所以，只需證明就可以了！于是想到能否把（）移動(dòng)位置，與（）拼合在一起，恰成一個(gè)的角呢？于是想到：如圖1所示，再拼上一個(gè)單位正方形DFK，則三角形AKC為等腰直角三角形，又直角三角形KCF 與AHD全等，所以. 因此，.有了拼合與的思想，學(xué)生往往產(chǎn)生不同的拼合方式，沿著拼合全等的思路發(fā)散開(kāi)來(lái)，又可以找到許多拼法. 如圖2三角形AHP是等腰直角

24、三角形，所以.如圖3三角形AQC是等腰直角三角形，. 如圖4三角形WDB是等腰直角三角形, ，. 所以.如圖5三角形ZAH是等腰直角三角形， 因此. 其他的沿著“拼合全等”的思路的證法就不例舉了. 如果利用相似三角形的知識(shí)，如圖5所示，又所以，因此，但，. 用相似三角形法不用添設(shè)輔助線，簡(jiǎn)潔明了.再開(kāi)思路，可用三角法證明如下：與都是小于的銳角，可知+是銳角. 又，.，所以.【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解析板塊二、染色與賦值問(wèn)題某學(xué)校的學(xué)生中，沒(méi)有一個(gè)學(xué)生讀過(guò)學(xué)校圖書(shū)館的所有圖書(shū)，又知道圖書(shū)館內(nèi)任何兩本書(shū)都至少被一個(gè)同學(xué)都讀過(guò)問(wèn)：能否找到兩個(gè)學(xué)生甲、乙和三本書(shū)4、B、C，使得甲讀過(guò)A、B，沒(méi)讀過(guò)C，乙讀過(guò)

25、B、C，沒(méi)讀過(guò)A?說(shuō)明判斷過(guò)程【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】解答略【答案】首先從讀書(shū)數(shù)最多的學(xué)生中找一人甲由題設(shè)，甲至少有一本書(shū)未讀過(guò)，記為C設(shè)B是甲讀過(guò)的書(shū)中一本，由題意知，可找到學(xué)生乙，乙讀過(guò)B、C由于甲是讀書(shū)數(shù)最多的學(xué)生之一，乙讀書(shū)數(shù)不能超過(guò)甲的讀書(shū)數(shù)，而乙讀過(guò)C書(shū)，甲未讀過(guò)C書(shū)，所以一定可以找出一本書(shū)A，使得甲讀過(guò)而乙未讀過(guò)，否則乙就比甲至少多讀過(guò)一本書(shū)這樣一來(lái)，甲讀過(guò)A、B，未讀過(guò)C；乙讀過(guò)B、C未讀過(guò)A.因此可以找到滿(mǎn)足要求的兩個(gè)學(xué)生4個(gè)人聚會(huì)，每人各帶2件禮品，分贈(zèng)給其余3個(gè)人中的2人試證明：至少有2對(duì)人，每對(duì)人是互贈(zèng)過(guò)禮品的【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】

26、解答略?！敬鸢浮繉⑦@四個(gè)人用4個(gè)點(diǎn)表示，如果兩個(gè)人之間送過(guò)禮，就在兩點(diǎn)之間連一條線 由于每人送出2件禮物，圖中共有42=8條線，由于每人禮品都分贈(zèng)給2個(gè)人，所以每?jī)牲c(diǎn)之間至多有1+1=2條線。四點(diǎn)間，每?jī)牲c(diǎn)連一條線，一共6條線，現(xiàn)在有8條線，說(shuō)明必有兩點(diǎn)之間連了2條線，還有另外兩點(diǎn)(有一點(diǎn)可以與前面的點(diǎn)相同)之間也連了2條線即為所證結(jié)論有9位數(shù)學(xué)家，每人至多能講3種語(yǔ)言，每3個(gè)人中至少有2個(gè)人有共通的語(yǔ)言.求證：在這些數(shù)學(xué)家中至少有3人能用同一種語(yǔ)言交談。 【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】解答略【答案】假設(shè)任意三位數(shù)學(xué)家都沒(méi)有共同會(huì)的語(yǔ)言，這表明每種語(yǔ)言至多有兩人會(huì)說(shuō).即這九位數(shù)學(xué)家

27、為A、B、C、D、E、F、G、I由于一位數(shù)學(xué)家最多會(huì)三種語(yǔ)言，而每種語(yǔ)言至多有兩人會(huì)說(shuō)，所以一位數(shù)學(xué)家至多能和另外三人通話，即至少與五人語(yǔ)言不通不妨設(shè)A不能與B、C、D、E、F通話同理，B也至多能和三人通話，因此在C、D、E、F中至少有一人與B語(yǔ)言不通，設(shè)為C.則A、B、C三人中任意兩人都沒(méi)有共同語(yǔ)言，與題意矛盾這表明假設(shè)不成立，結(jié)論得證在10001000的方格表中任意選取n個(gè)方格染為紅色，都存在3個(gè)紅色方格，它們的中心構(gòu)成一個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)求n的最小值【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】解答首先確定1998不行反例如下：其次1999可能是可以的，因?yàn)槭紫葟男锌矗?999個(gè)紅點(diǎn)分布在1

28、000行中，肯定有一些行含有2個(gè)或者以上的紅點(diǎn)，因?yàn)楹?或1個(gè)紅點(diǎn)的行最多999個(gè)，所以其他行含有紅點(diǎn)肯定大于等于1999-999=1000，如果是大于1000，那么根據(jù)抽屜原理，肯定有兩個(gè)這樣紅點(diǎn)在一列，那么就會(huì)出現(xiàn)紅色三角形；如果是等于1000而沒(méi)有這樣的2個(gè)紅點(diǎn)在一列，說(shuō)明有999行只含有1個(gè)紅點(diǎn)，而剩下的一行全是紅點(diǎn)，那也肯定已經(jīng)出現(xiàn)直角三角形了，所以n的最小值為1999【答案】n的最小值為1999甲、乙、丙三個(gè)班人數(shù)相同，在班級(jí)之間舉行象棋比賽各班同學(xué)都按1，2，3，4，依次編號(hào)當(dāng)兩個(gè)班比賽時(shí)，具有相同編號(hào)的同學(xué)在同一臺(tái)對(duì)壘在甲、乙兩班比賽時(shí)，有15臺(tái)是男、女生對(duì)壘；在乙、丙班比賽

29、時(shí)，有9臺(tái)是男、女生對(duì)壘試說(shuō)明在甲、丙班比賽時(shí)，男、女生對(duì)壘的臺(tái)數(shù)不會(huì)超過(guò)24并指出在什么情況下，正好是24 ？【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】解答不妨設(shè)甲、乙比賽時(shí)，115號(hào)是男女對(duì)壘，乙、丙比賽時(shí)在115號(hào)中有a臺(tái)男女對(duì)壘，15號(hào)之后有9-a臺(tái)男女對(duì)壘(0a9) 甲、丙比賽時(shí)，前15號(hào)，男女對(duì)壘的臺(tái)數(shù)是15-a(如果1號(hào)乙與1號(hào)丙是男女對(duì)壘，那么1號(hào)甲與1號(hào)丙就不是男女對(duì)壘)，15號(hào)之后，有9-a臺(tái)男女對(duì)壘.所以甲、丙比賽時(shí)，男女對(duì)壘的臺(tái)數(shù)為15-a+9-a=24-2a24 僅在a=0，即必須乙、丙比賽時(shí)男、女對(duì)壘的號(hào)碼，與甲、乙比賽時(shí)男、女對(duì)壘的號(hào)碼完全不同，甲、丙比賽時(shí)，男、

30、女對(duì)壘的臺(tái)數(shù)才等于24【答案】即必須乙、丙比賽時(shí)男、女對(duì)壘的號(hào)碼，與甲、乙比賽時(shí)男、女對(duì)壘的號(hào)碼完全不同，甲、丙比賽時(shí)，男、女對(duì)壘的臺(tái)數(shù)才等于24將59的長(zhǎng)方形分成10個(gè)邊長(zhǎng)為整數(shù)的長(zhǎng)方形證明：無(wú)論怎樣分法分得的長(zhǎng)方形中必有兩個(gè)是完全相同的【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】解答略【答案】10個(gè)邊長(zhǎng)為整數(shù)的長(zhǎng)方形，其面積顯然也均是正整數(shù)劃分出的長(zhǎng)方形按面積從小到大為：11，12，13，14，22，15，16，23，17，18，24，19，3325，26，34，27，35，28，44，29，36，從這些長(zhǎng)方形中選出10個(gè)不同的長(zhǎng)方形，其面積和最小為：11+12+13+14+22+15+16

31、+23+17+18=46而原長(zhǎng)方形的面積為59=4546所以分出的長(zhǎng)方形必定有某兩個(gè)是完全一樣的將1515的正方形方格表的每個(gè)格涂上紅色、藍(lán)色或綠色證明：至少可以找到兩行，這兩行中某一種顏色的格數(shù)相同【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】解答略【答案】如果找不到兩行的某種顏色數(shù)一樣，那么就是說(shuō)所有顏色的列與列之問(wèn)的數(shù)目不同那么紅色最少也會(huì)占0+1+2+14=105個(gè)格子 同樣藍(lán)色和綠色也是，這樣就必須有至少： 3(0+l+2+14)=315個(gè)格子 但是，現(xiàn)在只有1515=225個(gè)格子，所以和條件違背，假設(shè)不成立，結(jié)論得證在平面上有7個(gè)點(diǎn)，其中任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上如果在這7個(gè)點(diǎn)之字連

32、結(jié)18條線段，那么這些線段最多能構(gòu)成多少個(gè)三角形 ？ 【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】解答平面上這7個(gè)點(diǎn)，任意3點(diǎn)都不在同一條直線上，若任意2點(diǎn)連接，共可連接出=762=21條線段現(xiàn)在只連接18條線段，有3條沒(méi)有連出，要使得這18條線段所構(gòu)成的三角形最多，需使得沒(méi)連出的這3條線段共同參與的三角形總數(shù)最多，故這3條線斷共點(diǎn).對(duì)于這3條線段中的任何一條，還與其他5個(gè)點(diǎn)本應(yīng)構(gòu)成5個(gè)三角形，故這3條線段沒(méi)連出，至少少構(gòu)成53-3=12個(gè)三角形. 如上圖所示，在圖中AD、AE、AF之間未連接，因?yàn)槠渲蠥DE、AED，ADF、AFD，AEF、AFE被重復(fù)計(jì)算，所以減去3而平面內(nèi)任何三點(diǎn)不共線的7

33、個(gè)點(diǎn)，若任何2點(diǎn)連線，最多可構(gòu)成=35個(gè)三角形故現(xiàn)在最多可構(gòu)成三角形35-12=23個(gè)【答案】最多可構(gòu)成三角形23個(gè)在99棋盤(pán)的每格中都有一只甲蟲(chóng)，根據(jù)信號(hào)它們同時(shí)沿著對(duì)角線各自爬到與原來(lái)所在格恰有一個(gè)公共頂點(diǎn)的鄰格中，這樣某些格中有若干只甲蟲(chóng)，而另一些格則空著問(wèn)空格數(shù)最少是多少?【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】4星 【題型】解答方法一：考慮到甲蟲(chóng)總是斜著爬，我們把棋盤(pán)黑白相間染色，發(fā)現(xiàn)原來(lái)黑色格子里的甲蟲(chóng)都會(huì)爬到黑色的格子里面，而白色格子里面的甲蟲(chóng)都會(huì)爬到白色格子里面，所以我們只用觀察最少能空出多少個(gè)黑格子，多少個(gè)白格子因?yàn)榧紫x(chóng)每次都從奇數(shù)行爬到偶數(shù)行，偶數(shù)行爬到奇數(shù)行，而由奇數(shù)行有25個(gè)黑格子

34、，偶數(shù)行有16個(gè)黑格子知，偶數(shù)行的16只甲蟲(chóng)爬到奇數(shù)行會(huì)空出9個(gè)黑格子，而奇數(shù)行的25只蟲(chóng)子爬到偶數(shù)行就可以沒(méi)有空格白格子蟲(chóng)子也會(huì)從奇數(shù)行爬到偶數(shù)行，偶數(shù)行爬到奇數(shù)行，但是奇數(shù)行和偶數(shù)行都是20個(gè)格子，最少的情況下不會(huì)出現(xiàn)空格子，所以最少出現(xiàn)9個(gè)空格方法二：對(duì)22棋盤(pán)如下黑白染色，則易知兩黑格及兩白格分別對(duì)換甲蟲(chóng)即可使棋盤(pán)格不空；從而得到2n2n棋盤(pán)可劃分為若干塊22棋盤(pán)，棋盤(pán)格均不空對(duì)33棋盤(pán)如下黑白染色，注意到圖中有5個(gè)黑格，黑格中的甲蟲(chóng)爬行后必進(jìn)入黑格，且四個(gè)角上的黑格內(nèi)的甲蟲(chóng)必爬人中心黑格，而中心黑格內(nèi)的甲蟲(chóng)只能爬人某一格，必至少空3個(gè)黑格對(duì)55棋盤(pán)黑白染色后，利用、的結(jié)論易知至少空5

35、個(gè)黑格依次類(lèi)推，可知對(duì)99棋盤(pán)黑白染色后，至少空9個(gè)空格下圖是甲蟲(chóng)爬行的一種方法【答案】最少出現(xiàn)9個(gè)空格若干臺(tái)計(jì)算機(jī)聯(lián)網(wǎng)，要求： 任意兩臺(tái)之間最多用一條電纜連接； 任意三臺(tái)之間最多用兩條電纜連接； 兩臺(tái)計(jì)算機(jī)之間如果沒(méi)有電纜連接，則必須有另一臺(tái)計(jì)算機(jī)和它們都連接有電纜若按此要求最少要用79條電纜 問(wèn)：(1)這些計(jì)算機(jī)的數(shù)量是多少臺(tái)? (2)這些計(jì)算機(jī)按要求聯(lián)網(wǎng)，最多可以連多少條電纜?【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】4星 【題型】解答將機(jī)器當(dāng)成點(diǎn)，連接電纜當(dāng)成線，我們就得到一個(gè)圖，如果從圖上一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，可以沿著線跑到圖上任一個(gè)其它的點(diǎn)，這樣的圖就稱(chēng)為連通的圖，條件表明圖是連通圖 我們看一看幾個(gè)點(diǎn)的連

36、通圖至少有多少條線可以假定圖沒(méi)有圈(如果有圈，就在圈上去掉一條線)，從一點(diǎn)出發(fā)，不能再繼續(xù)前進(jìn)，將這一點(diǎn)與連結(jié)這點(diǎn)的線去掉考慮剩下的n-1個(gè)點(diǎn)的圖，它仍然是連通的用同樣的辦法又可去掉一點(diǎn)及一條線這樣繼續(xù)下去，最后只剩下一個(gè)點(diǎn)因此n個(gè)點(diǎn)的連通圖至少有n-1條線(如果有圈，線的條數(shù)就會(huì)增加)，并且從一點(diǎn)A向其他n-1個(gè)點(diǎn)各連一條線，這樣的圖恰好有n-1條線 因此，(1)的答案是n=79+1=80，并且將一臺(tái)計(jì)算機(jī)與其他79臺(tái)各用一條線相連，就得到符合要求的聯(lián)網(wǎng) 下面看看最多連多少條線 在這80個(gè)點(diǎn)(80臺(tái)計(jì)算機(jī))中，設(shè)從引出的線最多，有k條，與相連的點(diǎn)是,，由于條件，,，之間沒(méi)有線相連 設(shè)與不相連

37、的點(diǎn)是，則m+k=80，而，, 每一點(diǎn)至多引出k條線，圖中至多有mk條線，因?yàn)?所以mk1600，即連線不超過(guò)1600條另一方面，設(shè)80個(gè)點(diǎn)分為兩組：,，；，第一組的每一點(diǎn)與第二組的每一點(diǎn)各用一條線相連，這樣的圖符合題目要求，共有4040=1600條線【答案】(1) 80 (2) 1600 在一個(gè)66的方格棋盤(pán)中，將若干個(gè)11的小方格染成紅色如果隨意劃掉3行3列，在剩下的小方格中必定有一個(gè)是紅色的那么最少要涂多少個(gè)方格?【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】解答方法一：顯然，我們先在每行、每列均涂一個(gè)方格，使之成為紅色，如圖A所示，但是在圖B中，劃去3行3列后，剩下的方格沒(méi)有紅色的，于是再

38、將兩個(gè)方格涂成紅色(依據(jù)對(duì)稱(chēng)性，應(yīng)將2個(gè)方格同時(shí)涂成紅色)，如圖C所示，但是圖D的劃法，又使剩下的方格沒(méi)有紅色，于是再將兩個(gè)方格涂成紅色(還是由于對(duì)稱(chēng)的緣故，將2個(gè)方格涂成紅色)，得到圖E，圖E不管怎么劃去3行3列，都能使剩下的方格含有紅色的 這時(shí)共涂了10個(gè)方格 方法二：一方面，圖F表明無(wú)論去掉哪三行哪三列總會(huì)留下一個(gè)涂紅的方格 另一方面，如果只涂9個(gè)紅色方格，那么紅格最多的三行至少有6個(gè)紅格(否則第三多的行只有1個(gè)紅格，紅格總數(shù)5+3=8)，去掉這三行至多還剩3個(gè)紅格，再去掉三列即可將這三個(gè)紅格也去掉綜上所述，至少需要將10個(gè)方格涂成紅色【答案】至少需要將10個(gè)方格涂成紅色如圖，把正方體的

39、6個(gè)表面剖分成9個(gè)相等的正方形現(xiàn)用紅、黃、藍(lán)3種顏色去染這些小正方形，要求有公共邊的正方形所染的顏色不同那么染成紅色的正方形的個(gè)數(shù)最多是多少個(gè)? 【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】解答如上面右圖所示，它們的對(duì)面也同樣的染色，這樣就有(5+4+2)2=22(個(gè))方格染色，而且有公共邊的正方形顏色不同所以，用紅色染成的正方形的個(gè)數(shù)最多是22個(gè)【答案】用紅色染成的正方形的個(gè)數(shù)最多是22個(gè)證明：在666的正方體盒子中最多可放入52個(gè)1l4的小長(zhǎng)方體，這里每個(gè)小長(zhǎng)方體的面都要與盒子的側(cè)面平行【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】解答略【答案】先將6 66的正方體盒子視為實(shí)體，那么666的正方

40、體可分成216個(gè)小正方體，這216個(gè)小正方體可以組成27個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體我們將這27個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體按黑白相間染色，如下圖所示 其中有14個(gè)黑色的，13個(gè)白色的，而一個(gè)白色的222的正方體可以對(duì)應(yīng)的放人4個(gè)每個(gè)面都與盒子側(cè)面平行的1l4的小長(zhǎng)方體，所以最多可以放入134=52個(gè)114的小長(zhǎng)方體注：666的正方體的體積為216，114的小長(zhǎng)方體的體積為4，所以可放入的小正方體數(shù)目不超過(guò)2164=54個(gè)用若干個(gè)16和17的小長(zhǎng)方形既不重疊，也不留孔隙地拼成一個(gè)1112的大長(zhǎng)方形，最少要用小長(zhǎng)方形多少個(gè)?【考點(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】3星 【題型】解答我們先通過(guò)面積計(jì)算出最優(yōu)情況： 1112=13

41、2，設(shè)用16的小長(zhǎng)方形x個(gè)，用17的小長(zhǎng)方形y個(gè)，有解得：（t為可取0的自然數(shù))，共需x+y=19+t個(gè)小長(zhǎng)方形 (1)當(dāng)t=0時(shí)，即x+y=1+18=19，表示其中的16的小長(zhǎng)方形只有1個(gè)，剩下的18個(gè)小長(zhǎng)方形都是17的 大長(zhǎng)方形中無(wú)論是1行還是1列，最多都只能存在1個(gè)17的小長(zhǎng)方形，所以在大長(zhǎng)方形中最多只能無(wú)重疊的同時(shí)存在16個(gè)l7的小長(zhǎng)方形 現(xiàn)在卻存在18個(gè)17的小長(zhǎng)方形，顯然不滿(mǎn)足； (2)當(dāng)t=1時(shí)，即x+y=8+12=20，有如下分割滿(mǎn)足，所以最少要用小長(zhǎng)方形20個(gè)【答案】20個(gè)試著把邊長(zhǎng)為的這99個(gè)小正方形不重疊地放入1個(gè)邊長(zhǎng)為l的正方形內(nèi)。能做到就畫(huà)出一種放法，不能，請(qǐng)說(shuō)明理由

42、?！究键c(diǎn)】構(gòu)造與論證 【難度】5星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】走美杯，6年級(jí)，決賽能.+2=1,4=1,8=1,16=1,31=1,371.=1. 如下圖，將邊長(zhǎng),的小正方形放入長(zhǎng)l、寬的長(zhǎng)方形； 將邊長(zhǎng)的小正方形放入長(zhǎng)1、寬的長(zhǎng)方形； 將邊長(zhǎng)的小正方形放入長(zhǎng)l、寬的長(zhǎng)方形； 將邊長(zhǎng)的小正方形放入長(zhǎng)l、寬的長(zhǎng)方形；將邊長(zhǎng)的小正方形放入入l、寬的長(zhǎng)方形；將邊長(zhǎng)的小正方形放入長(zhǎng)1、寬的長(zhǎng)方形?！敬鸢浮磕苡?0個(gè)整數(shù)克的砝碼(允許砝碼重量相同)，將其中一個(gè)或幾個(gè)放在天平的右邊，待稱(chēng)的物品放在天平的左邊，能稱(chēng)出1，2，3，200的所有整數(shù)克的物品來(lái)；那么，這10個(gè)砝碼中第二重的砝碼最少是_克【考點(diǎn)】構(gòu)造與

43、論證 【難度】5星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】迎春杯，六年級(jí)，初賽這10個(gè)整數(shù)克的砝碼共重應(yīng)該是200，這樣，才能在最重的定下來(lái)后，第二重的盡量少作為一般結(jié)論，如果要連續(xù)稱(chēng)出一些重量，只在天邊的一邊放砝碼，另一邊放重物，則砝碼最少的情況應(yīng)該結(jié)合二進(jìn)制，即1，2，4，8，16，32，64，128這種情況下，只需要7個(gè)砝碼，就能至多稱(chēng)到1282-1=255克重而本題共有10個(gè)砝碼，只需要調(diào)整一下這里的砝碼：第一種方案：為了實(shí)現(xiàn)第二重最少，則可以讓第一重盡量大，而且不止一個(gè)，這里的思路是：如果后面6個(gè)數(shù)中，有5個(gè)相同的最大，把前面所有5個(gè)數(shù)的和與之相等，200=633+2，即后面有5個(gè)33，前面則有1，

44、2，4，8，18這種方案中，無(wú)法湊出16,17這兩種重量于是換一種思路，讓最大數(shù)相同的只有4個(gè)，前面6個(gè)砝碼看作一個(gè)則最重的為40，這樣，可以構(gòu)造出1，2，4，8，12，13，40，40，40，40不過(guò)，對(duì)于這種解法，與官方的推薦答案不符，原因在于，最重的有4個(gè)，次重的被看作“第五名”在這里，“第五名”“第二重”之間是有一定的歧義的所以，我們建議大家做這道題應(yīng)用高級(jí)技巧“歧義解決”即說(shuō)清楚：如果只看重量，第一重(可以并列)與第二重，則第二重最少可以是13克如果根據(jù)“名次”，第二名(可以并列)為第二重，則第二重最少可以是18克這種情況的算理是：首先考慮1、2、4、8這四種砝碼必須有，另外，對(duì)于第二重，至少要是16這里除了第一重之外，16最多可以有5個(gè)砝碼，即：1、2、4、8、16、16、16、16、16要稱(chēng)200，第一重的要達(dá)到200(12481616161616)105則96-104的重量無(wú)法稱(chēng)出來(lái)所以，把第二重的調(diào)整為17，即；1、2、4、8、17、17、17、17、17、100但16無(wú)法稱(chēng)出來(lái)，所以要調(diào)整出16，必會(huì)現(xiàn)18，(如果調(diào)整給100，即100變?yōu)?01，則100無(wú)法稱(chēng)出來(lái))所以，“最佳方案”是1、2、4、8、16、17、17、17、18、100【答案】小明和8個(gè)好朋友去李老師家玩李老師給每人發(fā)了一頂帽子，并在每個(gè)人的帽子